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[대한수학회] 대67. 방정식의 해의 개수는 얼마나 빨리 늘어날까?
수학동아 2022.07.01 09:07 조회 565

 

대한수학회 67번

 

 

방정식의 해의 개수는 얼마나 빨리 늘어날까?

 

 

이지운 KAIST 수리과학과 교수

 

 

 

이 문제에서는 차수가 n인 다항방정식의 해의 개수에 대해서 생각해 보려 합니다. 구체적으로는, 다음과 같은 다항방정식을 생각해 봅시다.

 

 

1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}=0                                                 (1)

 

 

여기서 각 a_{i}1, 0, -1 중 하나입니다. 이러한 방정식은 3^{n}개 존재하는 데, 이 중 0과 1 사이의 해의 개수가 최대인 것이 존재할 것이며, 이 방정식의 (0, 1)사이의 해의 개수를 P(n)이라 하겠습니다. 이 P_{n}n이 증가함에 따라 어떻게 증가하는지 알아보고자 합니다.

 

 

 

 

 

문제 1. P(n)은 n에 대한 증가함수임을 보이세요. 

 

 

 

 

 

한편, P(n)이 아주 큰 값일 수는 없습니다. 예를 들어, n> 3이고, a_n \neq 0인 경우, 위 (1)의 형태의 방정식은 실수가 아닌 해를 가지게 됩니다.

 

 

 

 

 

문제 2. n> 3이고 a_{n}\neq 0인 경우, 위 (1)의 형태의 방정식은 실수가 아닌 해를 가지게 됨을 보이세요. 

 

 

 

 

 

다음은 이 문제에서 증명하고자 하는 바와 상관없어 보이지만 사실은 매우 중요하게 사용될 수 있는 결과입니다.

 

 

 

 

 

문제 3. 위 (1)의 형태의 방정식 중에서 x = 1을 해로 가지며 그 중복도(multiplicity)가 다음 식 이상인 것이 적어도 하나 존재함을 증명하세요. (단, n\geq 2라 가정합니다.)

 

 

 

\sqrt{\frac{2nlog2}{logn}}-1

 

 

 

이제, 마지막 단계로 다음을 증명하면, P(n)이 적어도 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{logn}} 정도의 크기로 증가함을 보일 수 있게 되어 우리가 원하는 바를 얻게 됩니다.

 

 

 

 

 

문제 4. 다음 방정식이 x = 1을 해로 가지며 그 중복도가 2q 이상이라고 가정합시다.

 

 

1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots +a_{m}x^{m}=0.

 

 

이 때, 다음 방정식은 (0, 1) 사이의 해를 적어도 q개 가진다는 것을 보이세요.

 

 

1+a_{1}x+a_{2}x^{4}+a_{3}x^{9}+\cdots +a_{m}x^{m^{2}}=0.

 

 

 

 

 

이 방법 외에도 P(n)에 대해서 근사적으로 알 수 있는 더 좋은 방법들이 있으니 더 찾아 보시기 바랍니다.

 

 

 

 

 

끝.

 

  •  
    pure math Lv.7 2022.07.04 18:40

    2번 문제에서 an>0 아닌가요?

    댓글 작성하기 좋아요1 댓글수8
    •  
      Amath Lv.8 2022.07.04 20:35

      n=2인 경우에, a_{2}=-1이라면 가능하지 않나요?

      좋아요0
    •  
      pure math Lv.7 2022.07.04 23:17

      n>3, 0< <1 이라서요

      좋아요0
    •  
      김다인(멘토) Lv.15 2022.07.13 12:02

      답하고자 하는 문제는 "실수가 아닌 해가 있다"입니다. 즉, 모든 해가 허수일 필요는 없으며, 적어도 하나의 해가 허수임을 보이시면 됩니다.

       

      다인 멘토 드림

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    •  
      pure math Lv.7 2022.07.13 21:13

      넵!

      좋아요0
    •  
      Amath Lv.8 2022.07.16 10:45

      또, n=3의 경우에도 

      x^{3}-x^{2}-x+1=(x-1)^{2}(x+1)로, 

       

      한 가지 경우가 존재합니다. 

      좋아요0
    •  
      pure math Lv.7 2022.07.16 17:44

      0과 1사이의 해이면 0과 1은 포함되지 않는다는 것 아닌가요?

      좋아요0
    •  
      Amath Lv.8 2022.07.23 13:04

      적어도 허수해가 존재하지는 않으니까 괜찮지 않을까요?

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    •  
      pure math Lv.7 2022.07.23 15:45

      하지만 정의 때문도 있고 정의 때문에 해의 개수가 증가하지 않는데 0,1도 포함시키는 정의를 채택해야 할 수도 있겠네요..

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  •  
    pure math Lv.7 2022.07.04 19:06

    그리고 문제 1번에서 단조 증가 함수 아닌가요?

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수2
    •  
      유지연_매니저 Lv.15 2022.07.14 10:52

      pure math님, 안녕하세요~!

      이지운 교수님께서 "문제 1에서 증가(increasing)함수와 단조증가(monotone increasing)가 같은 뜻이라고 생각해서 이렇게 썼는데, 증가함수를 순단조증가(strictly increasing)함수로 받아들이신 것 같습니다. 문제에서 뜻하는 바는 물론 "n<=m 이면 P(n)<=P(m)이다"입니다."라고 말씀해주셨습니다~

      풀이에 도움이 되길 바라요!

      감사합니다.

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    •  
      pure math Lv.7 2022.07.15 23:17

      넵 감사합니다!

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