폴리매스

대한수학회 66번

Shapiro 부등식의 일반화

서인석 서울대학교 수리과학부 교수

먼저 유명한 Nesbitt의 부등식을 살펴보자.

이 부등식을 푸는 방법은 수십가지가 알려져 있다. 그 중 하나는 코시-슈바르츠 부등식을 이용하는 것으로, 다음과 같다.

먼저 라 하면 코시-슈바르츠 부등식에 의해 다음을 얻는다.

따라서, 만약 라면 이를 위 부등식의 우변에 적용한 뒤 를 약분하여 Nesbitt의 부등식을 증명할 수 있다.

그런데 는 과 동치이므로 Nesbitt의 부등식은 성립하며,

부등식의 등호는 일 때 성립함을 알 수 있다.

이 결과를 자세히 살펴보면, 다음과 같은 부등식 역시 성립하리라 기대할 수 있다.

[질문] 일 때, 임의의 양의 실수 에 대해, 다음이 성립하는가?

이 부등식을 Shapiro의 부등식이라고 부른다. 물론, 이 부등식이 성립한다면 부터 이 모두 같을 때 등호가 성립할 것이다.

놀랍게도, 이 Shapiro의 부등식은 까지는 성립하지만, 일 때는 성립하지 않음이 Troesch가 1985년에 찾은 다음과 같은 반례로부터 알려져 있다.

여기서 은 매우 작은 양수로, 같은 것을 택하면 된다.

실제로 인 경우에 Shapiro의 부등식은 에 대해서는 성립하지만 이 외의 수들에 대해서는 성립하지 않음이 알려져 있다.

문제 1. 앞선 코시-슈바르츠 부등식을 이용한 방법을 이용하여 Shapiro의 부등식에서 인 경우를 증명해보자.

문제 2. 다음과 같이 Shapiro의 부등식을 분모가 3개의 합으로 나타내어지는 경우로 일반화 할 수 있다.

물론, 이 부등식은 일 때만 의미가 있다. 이 부등식을 최대한 많은 에 대해서 증명 또는 반증해 보자.

문제 3. 앞의 문제 2와 마찬가지로 Shapiro의 부등식의 분모가 4개나 5개, 더 나아가 개의 합으로 나타내어지는 일반적인 경우에 대해 생각해보자. 물론 분모가 개의 합으로 나타내어지면 일 때만 살펴보면 충분하다.

문제 4. 원래 형태의 Shapiro의 부등식에서 인 경우는 간단한 풀이가 아직 알려져 있지 않다. 간단한 풀이를 찾아보자.