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[대한수학회] 대66. Shapiro 부등식의 일반화
수학동아 2022.06.01 09:31 조회 595

대한수학회 66번

 

 

Shapiro 부등식의 일반화

 

 

서인석 서울대학교 수리과학부 교수

 

 

 

먼저 유명한 Nesbitt의 부등식을 살펴보자.

 

 

 

 [Nesbitt의 부등식] a, b, c > 0에 대해, 다음이 성립한다.

 

\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}

 

 

 

 

이 부등식을 푸는 방법은 수십가지가 알려져 있다. 그 중 하나는 코시-슈바르츠 부등식을 이용하는 것으로, 다음과 같다.

 

 

먼저 Y=a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)라 하면 코시-슈바르츠 부등식에 의해 다음을 얻는다.

 

(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})Y\geq (a+b+c)^{2}

 

 

따라서, 만약 (a+b+c)^{2}\geq \frac{3}2{}Y라면 이를 위 부등식의 우변에 적용한 뒤 Y를 약분하여 Nesbitt의 부등식을 증명할 수 있다.

 

그런데 (a+b+c)^{2}\geq \frac{3}2{}Y (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0과 동치이므로 Nesbitt의 부등식은 성립하며,

 

 

부등식의 등호는 a=b=c 일 때 성립함을 알 수 있다.

 

 

이 결과를 자세히 살펴보면, 다음과 같은 부등식 역시 성립하리라 기대할 수 있다.

 

 

 

 

[질문] 일 때, 임의의 양의 실수 에 대해, 다음이 성립하는가?

 

\frac{a_{1}}{a_{2}+a_{3}}+\frac{a_{2}}{a_{3}+a_{4}}+\cdots +\frac{a_{n}}{a_{1}+a_{2}}\geq \frac{n}{2}

 

 

이 부등식을 Shapiro의 부등식이라고 부른다. 물론, 이 부등식이 성립한다면 a_{1}부터 a_{n}이 모두 같을 때 등호가 성립할 것이다.

 

 

놀랍게도, 이 Shapiro의 부등식은 n=3, 4, \cdots , 13 까지는 성립하지만, n=14 일 때는 성립하지 않음이 Troesch가 1985년에 찾은 다음과 같은 반례로부터 알려져 있다.

 

(a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{14})=(\epsilon, 42, 2, 42, 4, 41, 5, 39, 4, 38, 2, 38, \epsilon , 40)

 

 

여기서 \epsilon 은 매우 작은 양수로, 10^{-100}같은 것을 택하면 된다.

 

 

실제로 n\geq 14인 경우에 Shapiro의 부등식은 n=15, 17, 19, 21, 23에 대해서는 성립하지만 이 외의 수들에 대해서는 성립하지 않음이 알려져 있다.

 

 

 

 

 

 

문제 1. 앞선 코시-슈바르츠 부등식을 이용한 방법을 이용하여 Shapiro의 부등식에서 n=4, 5, 6인 경우를 증명해보자.

 

 

 

문제 2. 다음과 같이 Shapiro의 부등식을 분모가 3개의 합으로 나타내어지는 경우로 일반화 할 수 있다.

 

\frac{a_{1}}{a_{2}+a_{3}+a_{4}}+\cdots +\frac{a_{n}}{a_{1}+a_{2}+a_{3}}\geq \frac{n}{3}

 

 

물론, 이 부등식은 n\geq 4일 때만 의미가 있다. 이 부등식을 최대한 많은 n에 대해서 증명 또는 반증해 보자.

 

 

 

문제 3. 앞의 문제 2와 마찬가지로 Shapiro의 부등식의 분모가 4개나 5개, 더 나아가 k개의 합으로 나타내어지는 일반적인 경우에 대해 생각해보자. 물론 분모가 k개의 합으로 나타내어지면 n\geq k+1일 때만 살펴보면 충분하다.

 

 

 

문제 4. 원래 형태의 Shapiro의 부등식에서 n\geq 7인 경우는 간단한 풀이가 아직 알려져 있지 않다. 간단한 풀이를 찾아보자.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
끝.
 
 
  •  
    부분해결
    굴러가던 도토리 Lv.5 2022.06.01 19:26

    문제 1번의 n=4일 때의 풀이입니다.

    댓글 작성하기 좋아요1 댓글수2
    •  
      김준수 Lv.2 2022.06.02 15:21

      잘 풀었어요! 

      나머지 문제들도 도전해 보세요~~

      좋아요1
    •  
      굴러가던 도토리 Lv.5 2022.06.02 21:39

      감사합니다!

      좋아요0
  •  
    굴러가던 도토리 Lv.5 2022.06.02 23:42
    확인요청중

    문제 1번의 n=5인 경우입니다.

    댓글 작성하기 좋아요1 댓글수1
    •  
      강지원 멘토 Lv.4 2022.06.07 10:49

      n=5인 경우 잘 해결했습니다!

      좋아요0
  •  
    J6 Lv.6 2022.06.04 01:07
    확인요청중

    일단 생각나서 문제 1번의 n=6일때를 풀다가,위에 a+b+c+d+e+f-ab-ac-ae-af-bc-bd-bf-cd-ce-de-df-ef+2ad+2be+2cf\geq0부터,증명하기가 어려워지네요(머리가 별로라 그런가,특정히 정리할 방법이 떠오르지 않네요...). 혹시 무언가 잘못된게 있거나,이걸 정리하실 수 있는 분 있나요?

     

    +구머 님이 정리한 것을 넣으면

    이 됩니다.

    댓글 작성하기 좋아요1 댓글수4
    •  
      구머 Lv.5 2022.06.04 14:41

      1/2 (  (a+d-b-e)^2 + (b+e-c-f)^2 + (c+f-a-d)^2 )

      이면 저 식이 나오네용. 해당 식이 0보다 큰건 자명하기에 증명이 된 것 같습니다.

      좋아요1
    •  
      J6 Lv.6 2022.06.04 22:41

      오 그렇군요!(전 잘 몰라서...)감사합니다!

      좋아요0
    •  
      굴러가던 도토리 Lv.5 2022.06.05 18:41

      Funmaster 씨와 구머 씨의 풀이를 정리해보았습니다.

      ​​​​​​​

      좋아요0
    •  
      강지원 멘토 Lv.4 2022.06.07 10:52

      n=6인 경우 잘 해결했습니다! 이제 뒤쪽 문제들도 해결해 보아요~

      좋아요0
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