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[폴리매스 어셈블] [김준수 멘토] 최대 수 찾기
수학동아 2022.05.27 10:04 조회 237

국제수학올림피아드 출신 대학생 6명으로 꾸려진 수학 멘토 군단 폴리매스 어셈블~!

 

폴리매스 어셈블은 여러분을 위해 문제 풀이에 달려들고 싶게 만드는 ‘창의 수학’ 문제를 내고

 

수학 공부법과 진로 등에 대한 상담도 해 주고 있어요.

 

2022년, 다섯 번째 폴리매스 어셈블 문제를 내 준 멘토는 김준수 멘토입니다.

 

 

 

 

 

안녕하세요~.

 

 

2020년 국제수학올림피아드(IMO)에서 은메달을 수상하고,

 

 

현재 서울대학교 수리과학부에 재학 중인 김준수입니다.

 

 

수의 성질을 탐구하는 여러분은 수학의 여러 분야 중에 어떤 분야를 가장 좋아하나요?

 

 

저는 ‘정수론’을 가장 좋아하는데요, 지금도 학교에서 정수론 수업을 수강 중이랍니다.

 

 

x^{n}+y^{n}=z^{n}이라는 간단한 식으로 표현되지만,

 

 

360여 년 동안 아무도 풀지 못했던 ‘페르마의 마지막 정리’처럼,

 

 

정수론은 누구나 이해할 수 있는 간단한 대상들을 다루면서도 기발한 아이디어와 심오한 본질을 담고 있어요.

 

 

저는 그런 이중적인 모습을 보고 아름답다고 느꼈어요.

 

 

페르마의 마지막 정리는 n이 3 이상일 때 x^{n}+y^{n}=z^{n} 을 만족 하는 양의 정수 x, y, z는 없다는 것입니다.

 

 

오늘 들고 온 문제도 비슷한 맥락으로, 누구나 이해할 수 있는 간단한 문제지만 아름다운 아이디어로 풀 수 있답니다!

 

 

 

 

 

 

 

김준수 멘토의 폴리매스 어셈블 문제

 

 

 

문제1 항상 짝수임을 보이기

 

함수 f(x) = x^{2} + x는 모든 정수 x에 대해서 항상 짝수가 됩니다. 마찬가지로, 함수 g(x) = x^{3} - 4x + 3 은 모든 x에 대해서 항상 3의 배수가 됩니다. 이를 증명해 보세요

 

 

문제2 최대 수 찾기

 

모든 정수 x에 대해 주어진 함수 f(x)가 항상 m의 배수가 된다면, mf의 '최대 수'라고 합니다.

 

1) 모든 f(x) = x 2 + ax + b꼴(a, b는 정수)의 이차함수들 중, f의 최대 수 중 가장 큰 m은 얼마일 까요?

 

2) 모든 f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c꼴(a, b, c는 정수)의 삼차함수들 중에서는 어떻게 될까요?

 

 

문제3 최대 수 찾기 - 일반화

 

일반적으로,f(x) = x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots+ a_{1}x + a_{0}꼴 (a_{0}, a_{1},\cdots , a_{n}은 정수)의 함수들 중, f의 최대 수 중 가장 큰 m은 얼마일까요?

 

힌트 : 함수 h(x) = f(x + 1) - f(x)를 생각해 보세요.

 

 

 

 

끝. 

  •  
    K-RIEMANN Lv.10 2022.05.27 22:27
    확인요청중

    문제 1

    1-1. x^{2}+x=x(x+1)이므로 x가 어떤 정수든 (짝수)*(홀수)이기 때문에 짝수입니다.

    1-2. x^{3}-4x+3=(x-1)(x^{2}+x-3)=(x-1)[x(x+1)-3]이고

    x(x-1)(x+1)-3(x-1)입니다. 여기서 -3(x-1)는 3의 배수이고 x(x-1)(x+1)는 연속된 세 정수의 곱이기 때문에 역시 3의 배수입니다.

    따라서 3의 배수에서 3의 배수를 뺐으니 x^{3}-4x+3은 3의 배수입니다.

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