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폴리매스 문제
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[대한수학회] 대65. 부등식 문제
수학동아 2022.05.01 00:50 조회 441

대한수학회 65번

 

 

부등식 문제

 

 

송용진 인하대 수학과 교수

 

 

 

 

 

다소 까다로운 부등식 문제는 학교에서 잘 다루지 않고 수학올림피아드에서도 최근에는 잘 출제되지 않고 있는 경향이지만, 부등식은 수학에서 매우 중요한 분야예요. 그래서 이번 달 폴리매스에서는 부등식 문제를 탐구해 봅시다.

 

 

양의 실수 x, y에 대해서 산술-기하 평균 부등식

 

 

 

 

이 성립하고, 일반적으로 n개의 양의 실수 x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n}에 대해서도 산술-기하 평균 부등식

 

 

x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\leq (\frac{{x_{1}}+\cdots +x_{n}}{n})^{n}

 

 

이 성립하죠. 이제 이와 유사한 형태의 부등식에 대해 생각해 볼까요? 실수  x, y에 대한 산술-기하 평균 부등식 대신 이와 유사한 형태인

 

 

  (K는 양의 상수)

 

 

와 같은 부등식은 성립할까요? 부등식이 성립하는 경우도 있고 그렇지 않은 경우도 있어요.

 

예를 들어 인인 경우 좌변은 40이 되고 우변은 \frac{625}{16}=39.25가 되어 부등식이 성립하지 않아요. 그럼 어떤 경우에 부등식이 성립할까요? 그리고 일반적으로 n개의 수에 대해서는 어떤 경우에 부등식이 성립할까요?

 

 

이번 달의 폴리매스 문제는 이러한 형태의 부등식이 성립하기 위한 조건(필요충분조건)을 찾고 그때 부등식이 성립함을 보이는 문제에요. 문제 3과 4에서는 수학적 귀납법을 쓰면 좋을 것 같네요. 고등학교 교과서에 나오는 수학적 귀납법의 형식은 명제 P(n)이 ( n=2일 때 성립함을 보인 후) n=k   (k\geq 2)일 때 성립한다고 가정하고 n=k+1일 때 명제가 성립함을 보이는 형식이죠. 하지만 이것 대신 좀 더 일반적인 형태의 수학적 귀납법으로, 명제 P(n) n=k   (k\geq 2)일 때 성립한다고 가정하고 n=k+1일 때 명제가 성립함을 보여도 돼요.

 

 

문제 4는 탐구문제에요. 각자 넉넉히 긴 시간을 갖고 탐구해 보기 바라요. 독자들은 이번 폴리매스에서는 문제 3까지만 풀어 보아도 충분할 것 같아요.

 
 

※양의 실수 K가 상수로 주어져 있어요.

 

 

 

 

문제 1. 실수 x, y에 대하여 다음 부등식이 성립하기 위한 필요충분조건을 구하세요.

 

 

 

문제 2. 실수 x, y, z에 대하여 다음 부등식이 성립하기 위한 필요충분조건을 구하세요.

(x^{2}+K)(y^{2}+K)(z^{2}+K)\leq ((\frac{x+y+z}{3})^{2}+K)^{3}  

 

 

문제 3. 실수 에 대하여 다음 부등식이 성립하기 위한 필요충분조건을 구하세요.

(x_{1}^{2}+K)(x_{2}^{2}+K)\cdots (x_{n}^{2}+K)\leq ((\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n})^{2}+K)^{n}

 

 

문제 4.  N2 이상의 자연수(상수)이고 이 양의 실수일 때, 다음 부등식에 대해서는 어떤 결과를 얻을 수 있을까요? 우선, N=3일 때는 어떨까요?

(x_{1}^{N}+K)(x_{2}^{N}+K)\cdots (x_{n}^{N}+K)\leq ((\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n})^{N}+K)^{n}

 

 

 

 

 

 

 

끝.

 

  • 폴리매스 문제는 과학기술진흥기금 및 복권기금의 재원으로 운영되고, 과학기술정보통신부와 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물로 우리나라의 과학기술 발전과 사회적 가치 증진에 기여하고 있습니다.

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