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[대한수학회] 대62. 볼록 집합과 경계선
수학동아 2022.02.04 12:15 조회 1647

대한수학회 62번

 

볼록 집합과 경계선

 

문제 출제자 : 최경수 고등과학원 수학부 교수

 

 

 

 

* 대한수학회 62번 문제의 1번 문제가 수정되었습니다(2022.02.11). 수정된 부분은 아래와 같습니다.

 

이 때, 부분 집합 K\setminus Int\left ( K \right )가 경로 연결되어 있음을 보여라.

-> 이 때, 부분 집합 K\setminus Int\left ( K \right )가 경로 연결되어 있거나, 평행한 두 직선의 합집합임을 보여라. 

 

문제 풀이에 참고하세요~! 감사합니다.

 

=======================================================================================

 

 

정의1 볼록 집합 

좌표 평면 위의 집합 K \subset \mathbb{R}^{2}의 임의의 두 원소 A, B\in K가 주어졌을 때, \overline{AB}K의 부분 집합이라면, 우리는 K를 볼록 집합이라고 부른다.

 

 

정의2 닫힌 집합

 집합 K \subset \mathbb{R}^{2}가 자신의 원소로 이루어진 점열 \left \{ X_{n} \right \}^{\infty }_{n=1}\subset K가 어떤 점 X_{\infty }로 수렴{\color{Blue} ^{1}}할 때, 반드시 그 극한점 X_{\infty }을 원소로 갖는다면, 우리는 K를 닫힌 집합이라고 부른다.

 

 

정의3 경로 

닫힌 구간 I에서{\color{Blue} ^{2}} 정의된 벡터 함수 \gamma :I\rightarrow \mathbb{R}^{2}가 연속{\color{Blue} ^{3}}이라면 우리는 \gamma를 경로하고 한다.

 

 

정의4 경로 연결 

집합 K \subset \mathbb{R}^{2}의 임의의 두 원소 A, B\in K가 주어졌을 때, 어떤 경로\gamma :\left [ a, b \right ]\rightarrow \mathbb{R}^{2}가 존재하여, 경로의 양 끝점이A, B이고 경로 위의 모든 점이 K의 원소라면{\color{Blue} ^{4}}, 우리는 K가 경로 연결되어 있다고 한다.

 

 

정의5 집합의 내부 

어떤 원 B_{r}\left ( X \right )= \left \{ Y\in \mathbb{R}^{2} \vdots \left \| X-Y \right \|< r \right \}K의 부분 집합이 라면 원의 중심 XK의 내부에 있다고 한다. 그리고 Int\left ( K \right )K의 내부에 있는 점의 집합을 나타낸다.

 

 

정의6 외접선 

집합 K \subset \mathbb{R}^{2}가 직선 L이 나누는 두 개의 반평면 중 하나의 부분 집합 이고, 교집합 L\cap K가 어떤 원소 A를 갖는다면, LA에서 접하는 K의 외접선이다.

 

 

정의7 국소 외접선

어떤 원 Br\left ( A \right )과의 교집합 K\cap Br\left ( A \right )이 원의 중심 A\in K에서 접 하는 외접선 L을 갖는다면, LA에서 K에 접하는 국소 외접선이며, 외접 반경은 r이상 이라고 한다.

 

 

 

문제 1. 어떤 K \subset \mathbb{R}^{2}가 닫힌 볼록 집합이라고 하자. 이 때, 부분 집합 K\setminus Int\left ( K \right )가 경로 연결되어 있거나 평행한 두 직선의 합집합임을 보여라. (K\setminus Int\left ( K \right )K의 내부에 있지 않는 K의 원소의 집합이다.)

 

 

문제2. 어떤 K \subset \mathbb{R}^{2}가 경로 연결된 닫힌 집합이라고 하자. 그리고 각각의 원소 X\in K마다 어떤 양수 r이 존재해서 교집합 K\cap Br\left ( X \right )이 볼록 집합이 된다고 가정하자. 이 때, K가 볼록 집합임을 보여라.

 

문제 3. 어떤 경로 \gamma \vdots \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{2}가 각각의 t\in R에 대해, \left |s-t \right |< \delta라면 1\leq \frac{\left \| \gamma \left ( t \right )-\gamma \left ( s \right ) \right \|}{\left | s-t \right |}\leq 2를 만족하는 어떤 양수 \delta를 가진다. 또한 치역    au =\left \{ \gamma \left ( t \right ):t\in \mathbb{R} \right \}은 각각의 원소 A\in    au마다 A에서 접하는 외접 반경이 1이상인 국소 외접선을 하나 이상 가진다. 이 때, 어떤 닫힌 볼록 집합 K가 존재하여 K\setminus Int\left ( K \right )=   au임을 보여라.

 

문제4. 어떤 경로 \gamma \vdots \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{2}가 각각의 t\in R에 대해, \left |s-t \right |< \delta라면 1\leq \frac{\left \| \gamma \left ( t \right )-\gamma \left ( s \right ) \right \|}{\left | s-t \right |}\leq 2를 만족하는 어떤 양수 \delta를 가진다. 또한 치역    au =\left \{ \gamma \left ( t \right ):t\in \mathbb{R} \right \}은 각각의 원소 A\in    au마 다 A에서 접하는 국소 외접선을 하나 이상 가진다. 하지만 어떤 닫힌 볼록 집합 K에 대해서도 K\setminus Int\left ( K \right )=   au가 아니다. 이러한 경로의 예를 하나 찾아라.

 

 

각주 

1.  좌표 평면 위의 두 점 {\color{Blue} X=(x_{1}, x_{2})}{\color{Blue} Y=(y_{1}, y_{2})}의 거리 {\color{Blue} \left \| X-Y \right \|}는 피타고라스 정리에 의해 {\color{Blue} \sqrt{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}}이다. 좌표 평면 위의 어떤 점열 {\color{Blue} \left \{ X_{n} \right \}^{\infty }_{n=1}=\left \{ x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots \right \}}에 대해서 어떤 점 {\color{Blue} X_{\infty }\in \mathbb{R}^{2}}가 존재하여 {\color{Blue} \lim_{n\rightarrow \infty }\left \| X_{n}-X_{\infty } \right \|=0}이라면, 점열 {\color{Blue} \left \{ X_{n} \right \}^{\infty }_{n=1}가 점 {\color{Blue} X_{\infty }}으로 수렴한다고 한다.

 

2.  이 문제에서는 {\color{Blue} a\leq b}에 대하여  {\color{Blue} \left [ a, b \right ], \left [ a,+\infty \right ], (-\infty ,b], (-\infty , +\infty )} 모두 닫힌 구간이다.

 

3.  임의로 주어진 {\color{Blue} t\in I}와 양수 \varepsilon에 대해서, 어떤 충분히 작은 양수 {\color{Blue} \varepsilon \delta}가 존재하여, 모든 {\color{Blue} s\in I\cap (t-\delta , t+\delta )}{\color{Blue} \left \| \gamma (S))-\gamma (t)) \right \|< \varepsilon}를 만족하면 {\color{Blue} \gamma}는 연속이다.

 

4. 다시 말해 {\color{Blue} \gamma (a)=A, \gamma (b)=B}이며, 모든 {\color{Blue} t\in \left [ a, b \right ]}에 대해서 {\color{Blue} \gamma (t)\in K}

 

  •  
    pure math Lv.6 2022.02.04 14:48

    새로운 대한수학회 문제가 나왔네요!! 62번이 새로 올라왔습니다!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 난제가 수학계에 하나 더 추가된 것이죠!

    댓글 작성하기 좋아요2 댓글수22
    •  
      groundmath Lv.4 2022.02.06 16:14

      좀 어렵네요;;;;;;;;;;

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.06 16:16

      헷갈리는 용어랑 모르는 용어가 너무 많아서,...문제 이해 자체가 어려워요..ㅠ

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    •  
      RedoC Lv.5 2022.02.06 17:48

      용어에 겁먹지 않으셔도 돼요. 저 정의들은 실제 문제를 풀며 수학적인 정의를 할 때에만 사용되니까 문제 이해할때는 간단히 그림을 그려가며 어떤 개념인지만 느끼시면 됩니다.

      특히 '경로', '외접선', '볼록 집합'처럼 여러분들이 들어본 개념들의 경우에는 지문에 적힌 정의의 뜻과 교과서나 책에서 배운 쉬운 정의의 뜻이 유사하니까 참고하시면 좋을 것 같아요. 

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.06 18:33

      오 그렇군요! 감사합니다!! 외계어인 줄 알았는데..믿음이 가네요!!

      와!!! 감사합니다!!!

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.06 18:36

      그런데 어떻게 볼록 집합 정의할 때 AB가 K의 부분집합이 될 수 있나요?? K는 무엇들의 집합인가요???

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    •  
      RedoC Lv.5 2022.02.06 18:41

      일단 K는 좌표평면 내 점들의 집합이라고 이해하시면 됩니다. 

      선을 점의 집합으로 표현하면 AB라는 선분은 좌표평면 내 연속한 점들의 집합으로 생각할 수 있고, 이제 AB에 대한 집합적 서술이 가능하겠죠!

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.06 18:47

      아하! R이 뜻하는게 정수인줄 알았어요! 실수를 의미하는 거였군요! 칼답...감사합니다! 물도 벨 칼답이네요!

      좋아요1
    •  
      pure math Lv.6 2022.02.06 20:02

      혹시... 점열 뜻이...무엇인지 아시는 분 있어요..??

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    •  
      RedoC Lv.5 2022.02.06 20:11

      https://sasamath.com/blog/articles/calculus-limit-of-a-sequence-introduction/ 참고하세요

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.06 20:12

      아하!;;;

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.06 20:27

      그럼 닫힌 집합을 연속된, 꽉 채워진 집합이라고 생각해도 무방한가요?

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    •  
      RedoC Lv.5 2022.02.06 20:32

      정확히 말하자면 경계를 포함하고 있는 집합이라고 할 수 있겠죠

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.06 20:36

      안쪽에 구멍이 뚫리지 않고 경계가 있어야 하는데...1번 문제의 K/Int(K)는 K의 내부에 있지 않는 K의 원소의 집합이면...K의 내부에 있지 않은데 K의 원소일 수가 있나요??

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    •  
      RedoC Lv.5 2022.02.06 20:40

      Int(K)는 K의 경계를 포함하지 않아요

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.06 20:48

      그러면 K의 경계를 말하는 거군요!

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    •  
      RedoC Lv.5 2022.02.06 20:51

      네. 그리고 지문에 나온 연속의 정의는 엡실론-델타 논법인 것 같네요

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.06 20:53

      다행히 엡실론-델타 논법은 압니다! 헤헤

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.06 21:12

      그럼 1번 문제에서 K/Int(K)가 경로 연결되어 있단 말은 볼록한 하나의 폐곡선(K의 경계)에서 두 점을 잡아 벡터 함수를 만들 때 그 벡터 함수의 모든 점이 K/Int(K)의 원소이다. 라는 것인가요?? 근데 이것은 불가능하지 않나요?

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    •  
      RedoC Lv.5 2022.02.06 21:47

      벡터함수가 존재하기만 하면 됩니다. 예를 들어, 사진과 같은 폐곡선에서 임의의 점 A, B 사이 경로 중 하늘색으로 표시된 경로가 유효하겠죠

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.06 21:53

      곡선으로 휘어져도 되나요??

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    •  
      RedoC Lv.5 2022.02.06 21:57

      당연하죠. 함수니까요!

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.06 21:59

      오늘 굉장히 많이 알게 됐네요! 아직 오늘이 끝난 건 아니지만... 나이가 어려 아는게 없는데 문제 이해라도 하고 싶어서... 질문만 한것이 방해가 안됐을까...걱정되고 죄송합니다...

      그리고 많은 걸 배웁니다! 감사합니다!

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  •  
    다시 도전
    pure math Lv.6 2022.02.07 09:44

    1)

    집합K가 닫힌 볼록 집합이라면, 우선 모든 곳에서 연속이여야 하고, 경계가 볼록하기만 해야 한다. 만약에 약간이라도 오목한 부분이 생기면, AB가 K 밖으로 나갈 수도 있어서 볼록 집합이 아니게 된다. 그리고, K/Int(K)는 K의 경계면을 의미하는데, 이것은 경로 연결 되어있다.

    K의 볼록한 경계면에서 두 점을 잡아 A, B라고 한다. 이제, 그 A, B를 잇는 K의 경계 위의 곡선이 있으면 된다. K는 모든 점, 곳에서 연속이니 경계면도 연속하는 둥그런 폐곡선일 것이니 그 위에 두 점을 잡고, 그 두 점을 잇는 K의 경계 위의 곡선은 반드시 존재한다. 또한, 벡터 함수니 연속적이기만 하면 된다.(암튼 곡선도 가능하단 얘기, 모두 벡터로 표현 가능하니까) 그러니 K/Int(K)는 경로 연결되어 있다.

     

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    •  
      조영준 멘토 Lv.3 2022.02.07 16:56

      직관적으로 문제를 잘 이해하신 것 같아요!

      하지만 제가 생각하기에 교수님의 의도는 이것보다는 좀 더 수학적으로 엄밀한 증명을 원하셨을 것 같다는 생각이 듭니다.

      (저도 교수님의 풀이를 아는 것은 아니라 확실하진 않지만요)

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.07 17:37

      아 그런가요?? 엄밀한 증명이라는게 수식이나 전문용어로 증명을 하는 건가요?? 근데 안 배워서 그런 걸 잘 몰라서... 혹시 수식이나 전문용어로 쓰는 것이 아니면 문제에 나와있는 용어를 사용해서 최대한 해볼게요!

      그리고 멘토님! 존경합니다

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  •  
    다시 도전
    pure math Lv.6 2022.02.07 19:47

    1)

    일단, K가 닫힌 볼록 집합이라면 K/Int(K)는 모든 점에서의 접선이 이 점이 아닌 다른 점에서 만나면 안됩니다. 한마디로 모든 곳에서 볼록한 폐곡선이라는 것이죠. 집합K가 볼록해야 하는데, 볼록 집합과 AB가 K의 집합이 되는 것, 그리고 접선이 딱 만나는 한 점에서만 만난다는 것은 모두 필요충분조건입니다. 그러므로, 둥그런 폐곡선이 되는 것입니다.

    그런데, K/Int(K)는 경로 연결되어 있습니다. 임의로 곡선 위에 점 A,B를 잡는다 하면 곡선 위의 점 A,B를 잇는 K/Int(K)의 일부분이 존재합니다.(아마 두 개가 존재할 것입니다.) 그것이 매끄러운 곡선일지라도, 그것은 벡터 함수입니다. 그 곡선을 직선이 되게 잘게 쪼개어 벡터로 표현하거나, 특정 스칼라를 곱하며 평면을 회전시키면 곡선이 생길 수 있기 때문입니다.

    긴 글 읽어주셔서 감사합니다.

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수3
    •  
      유지연_매니저 Lv.15 2022.02.08 17:15

      안녕하세요~!

      대한수학회 62번 문제에 관심가져주시고 열심히 풀어주시는 모습이 너무 멋지고 감사합니다~

      폴리매스 어셈블의 조영준 멘토에게 답변 확인 요청을 드렸습니다~!

      3일 이내에 답변을 주실거예요!

      조금 기다려주세요~

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.08 17:36

      네! 감사합니다!

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    •  
      조영준 멘토 Lv.3 2022.02.10 15:40

      볼록한 폐곡선이라는 용어는 정의되지 않은 용어입니다. 문제에서 볼록의 정의를 보면 볼록한 폐곡선이라는 것은 틀린 용어임을 알 수 있습니다.

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  •  
    다시 도전
    pure math Lv.6 2022.02.07 20:26

    2)

    만약 K가 볼록하지 않은 집합이라 해봅시다.

    그러면 K의 경계 중 한 점에서 그 점에서의 접선이 다른 곳에서도 만나는 일이 생깁니다. 

    그런데, K의 경계가 아닌 내부의 점에서는 r이 생길 수 있습니다. 그런데, 문제는 K의 경계에 X가 있을 때 입니다.

    우선, r은 0이 아니어야 합니다. 자, 이제 K의 경계 중 그 점에서의 접선이 K와 또 만나는 점에서 생각해봅시다. r은 0이 아니니, 원과 K의 교집합은 팩맨처럼 될 것입니다.

    한마디로, K처럼 볼록하지 않은 집합이 되는 것이죠. 근데 이것은 문제의 조건이 맞지 않습니다.

     

    반대로, K가 볼록집할일때도 내부에 X가 있으면 아무 문제가 되지 않습니다.

    그런데, 다시 경계에 있다 해봅시다.

    모든 점에서 볼록하니 그냥 아무 점이나 잡아도 같습니다. r은 0이 아니니, 일단 그냥 잡아봅시다. 그러면, 원중 K안에 있는 호와 원 안에 있는 K의 호가 모여서 교집합을 이룰 것입니다.

    여기서, 원은 볼록집합이고 K도 볼록집합이니 모든 호에는 아무런 이상이 없습니다. 문제가 되는 부분은 연결지점에 있겠죠.

    그런데, 여기서 연결부분으로 나누어지는 두 호는 방향이 반대가 되게 볼록합니다. 고로, 연결부분도 볼록할 수 밖에 없죠.

    고로, 교집합이 볼록 집합일 경우, K는 볼록집합이 되야합니다.

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수6
    •  
      RedoC Lv.5 2022.02.07 20:34

      제가 보기에는 pure math님의 증명에 엄밀함이 조금 부족한 것 같아요. 물론 출제자가 허용한 엄밀함의 정도에 대해선 저도 모르지만, 어떤 사실을 보일 때 단순히 '~~입니다'로 서술하는 것이 아니라 수학적인 식으로 이를 증명하는 것이 나을 것 같다는 게 제 생각입니다.

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.07 21:08

      어...어떤 수학식이요??

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.07 21:09

      저도 쓰고 싶은데 어떤 형식, 방법으로 써야 할지 전혀 감도 않오고 모르겠어요...ㅠㅠ

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    •  
      RedoC Lv.5 2022.02.07 21:16

      https://sasamath.com/blog/articles/calculus-limit-of-a-sequence-introduction/

      https://sasamath.com/blog/articles/calculus-open-and-closed-sets/

      조금 어려운 편이긴 해도 읽어 보세요. 적어도 지문에 나온 개념에 대해서는 확실히 알 수 있을 거에요

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.07 21:24

      외계어지만 제가 외계인이 되서라도 어떻게든 이해해보겠습니다! 문제를 이해해 답을 적은 것처럼요!

      이렇게 귀중한 정보 매우 엄청나게 많이 완전 감사합니다!

      댓글에선 매스티콘 사용이 안되나요?ㅠㅠ

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    •  
      조영준 멘토 Lv.3 2022.02.10 15:43

      모든 점에서 접선이 항상 존재하지 않습니다. 예를 들어서 삼각형의 꼭짓점에서의 접선은 존재하지 않죠. 또한 팩맨처럼 될 것이므로 볼록하지 않다와 같은 설명도 엄밀하지 않은 부분입니다.

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  •  
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    pure math Lv.6 2022.02.07 21:07

    3)

    우선 국소 외접선에 대해 재정의 하겠습니다.

    교집합이 A에서 접해야 하므로, 그 지점 A는 연속이여야 합니다. 그러므로 A는 K의 경계 중에서 연속인 부분에 위치해야 하는 것이죠.

    이제 문제로 다시 한번 가봅시다.

    그냥 t를 A로, s를 B로 하겠습니다. 위 조건(델타)의 뜻은 경로 r위에 위치하는 A,B에서 그 두 점을 이은 기울기의 절댓값(크기)가 1이상 2이하여야 하는 것이지요.

    또한, 조건(저 기호 뭔지 모르겠어요)의 뜻은 경로 r위의 모든 점이 다 연속하고, 접선을 가져야 한다는 뜻입니다. 또한 외접 반경이 1이상이지요.

    이제, 조건1을 생각해보겠습니다.

    반지름의 크기가 1이상 2이하인 기울기가 있어야 하는데, 경로가 끊어진 선이고, 전체 평균 기울기를 조절할 수 있다면, 적절하게 최소한 한 점에서 기울기가 1이상 2이하가 아니게 만들 수 있습니다. 빈 공간을 공략하면 되죠! 이 방법을 일반화하기는 어렸지만, 접선을 잘 고려하면 만들 수 있습니다. 고로, 모든 점에 대하여 델타가 존재하기 위해서는 경로가 닫힌 폐곡선이어야 합니다. 닫힌 폐곡선에서, 임의의 한 점을 잡고, 기울기의 절댓값이 1이상 2이하가 되는 부분을 그려보면 쉽게 이해할 수 있습니다. 경로의 중심을 기준으로의 사분면중 최소 한 군데 이상에서 기울기 조건을 만족하는 점이 생기게 됩니다.

    또한, 경로가 볼록하지 않다고 해봅시다. 어느 한곳에서는 접선이 다른 곳에서도 만나게 됩니다. 그 오목한 곳에 A를 찍으면, 접한다는 것은 한 점에서만 만난다는 것인데, A를 지난다고 해도 다른 점에서 만나는 부분이 생기니 접한다고 말할 수 없습니다. 그래서, 경로는 모든 점에서 볼록해야 합니다.

     

    고로, 경로는 닫힌 폐곡선이며, 모든 곳에서 볼록하므로, 어떤 닫힌 볼록 집합 K가 존재하여 K의 경계인 K/Int=어떤 기호(뭔지는 모름)인 K가 존재하고, 경로는 어떤 닫힌 볼록 집합 K의 K/Int(K)(집합 K의 경계)가 됩니다.

    긴글 읽어주셔서 감사합니다!

     

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    •  
      조희승 Lv.4 2022.02.07 22:35

      일단, 벡터함수는 정의역이 2차원 점이아닌 하나의 실수입니다. t와 s를 점 A,B로 잡는 것 잘못됬습니다.

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    •  
      pure math Lv.6 2022.02.08 08:55

      아아 그래서 뒤에서 그걸 알아차려서 수정했습니다;; 그냥 두 점의 기울기라고 생각해주시면 됩니다. 정의는 잘못됬을지 몰라도, 기울기를 의미하는 건 맞습니다!

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    •  
      조영준 멘토 Lv.3 2022.02.10 15:52

      전체적으로 풀이에서 직관이 많이 사용된 것으로 보입니다. 하지만 이 문제는 직관으로 푸는 문제가 아니라 수학적으로 엄밀한 과정으로 증명되어야 합니다.

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  •  
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    pure math Lv.6 2022.02.07 21:18

    4)

    답은 무한대입니다!

    어...그냥 예시로 들자면 무한대 "기호"에요

    어떤 닫힌 볼록 집합의 경계도 무한대 모양이 될 수 없습니다! 왜냐하면 볼록하다라는 조건을 만족하지 못하게 되니까죠!

    하지만, 모든 점에서 연속이어서 모든 점에서 국소 외접선을 지나고, 

    기울기의 크기는 무한대 기호의 연결부분(두 땡그라미가 만나는 부분) 에서의 순간 기울기? 암튼 그 부분을 기울기가 1이상 2이하가 되는 부분 밑으로 칠하지 않게 하면 됩니다!

    그 부분 안에 있어도 오케이, 그 부분 위에 있어도 어차피 두 땡그라미(모양)는 볼록하니까 뒷 부분에 기울기가 1이상 2이하가 되는 부분이 있습니다!

    고로, "연결부분이 있는 볼록한 모양들의 연결체"가 주어진 조건을 모두 만족하면서 어떤 닫힌 볼록 집합 K에 대해서도 K/Int(K)가 경로가 아닙니다.

    와!!!!!! 모든 문제 다 풀었다!!!!

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      조영준 멘토 Lv.3 2022.02.10 15:53

      무한대 모양의 경우 두 원의 교점에서 국소 외접선을 가지지 않습니다.

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    조희승 Lv.4 2022.02.07 23:17

    먼저 볼록 집합의 성질을 알아보자.

    정리 1.볼록 집합은 오직 하나의 덩어리로 이루어져있다.그 이유는, 서로 다른 두 덩어리의 두 점을 이으면, 그 선분은 빈 평면을 지나므로 오직 하나의 덩어리로 이루어져있다.(덩어리란, 경로 연결된 점의 집합이다.)

    정리 2.볼록집합 내에는 공동이 없다(빈공간이 없다). 그 이유는, 공동 표면의 두점은 볼록 집합의 원소인데 이 둘을 이으면 이 선분은 공동을 지나므로(공집합) 볼록 집합 정의에 위배되서 안 된다. 즉, 볼록집합은 꽉차있다.

    정리 3. K\setminus Int\left ( K \right )  은 볼록집합의 표면을 의미한다.(내부가 아니므로)(단, 닫힌 볼록 집합에만 성립한다.)

    정리 4. 닫힌 볼록집합의 표면을 생각하자. 이때 볼록집합 표면의 한 점을 생각하자. 만약 이 점이 미분 불가능하면 생각하지 않고, 미분가능한 경우만 생각하자. 만약 미분가능하면, 그때 이점에서의 볼록집합의 국소 외접선을 긋자.(단, 외접 반경은 무한히 작다.)이 직선과 x축의 각도를 \Theta라 하자(다만, 이각도는 x축의 +x방향으로 부터 잰다.).이때 이 각도가 늘어나다가 줄거나 줄다가 늘어나면,(변화의 방향이 바뀌면) 이 변화가 일어나기 시작하는 점 a를 생각하자.이때 a근방의 작은 영역에대해 생각하면 선들의 기울기가 줄다가 늘었으므로(늘다가 줄었으므로)a주변으로 V모양이 나타난다.그러면 좌우의 점을 이었을때 빈 공간을 지나므로 볼록집합이 될 수 없다.즉 \Theta는 늘어났다가 줄거나 줄거나 늘어나는게 아닌, 단조증가 또는 단조 감소 한다.만약 선들의 기울기(각도)의 변화 방향이 바뀌면 볼록 집합이 아니다.

    정의 8: 오목과 볼록의 정의:만약 어떤 구간에 대해 그 구간위의 점의 대해 그 구간에서 접하는 선의 각도가 단조증가또는 단조 감소하면 그 구간은 볼록하다. 만약 그렇지 않으면 오목하다고 표현하겠다.

    이때 어떤 집합의 표면이 볼록하기만 하면 이 집합은 볼록하다.만약 오목한 부분을 포함하면 정리 4에의해 볼록집합이 아니다.

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      조희승 Lv.4 2022.02.07 23:45

      ++참고: 까먹고 안 적었는데 위 정리 4에서 미분가능한 점들만 고려한건 미분이 불가능하면 그 점에서의 접선(반경이 무한히 작은 국소외접선)의 기울기가 하나로 정해지지 않아서 입니다. 참고해주세요.

       

       사실 이건 너무 당연해서 증명하기 힘들었습니다. 

      1.K\setminus Int\left ( K \right )가 경로 연결되어 있지 않다고 가정하자. 그러면 정리 1에의해 볼록집합 K는 한 덩어리이므로  Int\left ( K \right ) 가 집합K를 두개 이상의 덩어리로 나눠야 K\setminus Int\left ( K \right )가 경로 연결이 되지 않을 수가 있다(이유:두 덩어리에 위치한 두점을 잇는 경로는 경로가 빈 공간을 지나 K의 부분집합이 아니어서 경로 연결될 수 없다.) 이때 집합 K를 두개이상으로 나누려면  Int\left ( K \right ) 는 볼록집합의 표면위에 점 X를 포함해야 한다. 이때 집합의 내부의 정의에 따르면 X를 중심으로 하는 반지름 r인(r>0) 원은 K의 부분집합이여야 한다.하지만 X는 집합의 표면에 있으므로 r은 0일 수 밖에 없다.즉, X는  Int\left ( K \right )에 포함될 수 없으므로 모순이 되어 K\setminus Int\left ( K \right )은 경로 연결된다.

      2. 먼저 어떤 닫힌 집합 K에 대해 닫힌 집합이 볼록 집합이면 각각의 원소 X\in K마다 어떤 양수 r이 존재해서 교집합 K\cap Br\left ( X \right )이 볼록 집합이 된다는 것을 증명하자.

      일단, 원은 볼록 집합이다.(원위 어떤 두점을 이어도 이 선분은 원위에 있다.)그러면 어떤 원과 K의 교집합은 표면 볼때 원의 표면과 K의 집합 둘 다 볼록하므로 이 집합(원과 K의 교집합)은 볼록 집합이다. Q.E.D.

      이제 볼록 집합이 아닌 경우 문제의 조건을 만족 못 한다는 것을 증명하자.만약 집합 K가 볼록집합이 아니면, 표면을 따라갈때, 표면위의 점들의 외접선(정의 6의 외접선이 아닌, 그저 접하는 선)과 x축의 각도의 변화의 방향이 바뀌는 점이 반드시 존재한다.(정리 4)이 점을 a라 하면 이점 근방은 무조건 오목하다. 즉, 아무리 작은 r을 잡아도 이 r이 0 초과이므로 이 원은 오목한 부분을 포함하게되서  K\cap Br\left ( X \right )이 볼록 집합이 될 수 없다.

      즉, 문제의 볼록 집합은 문제의 조건을 만족하고 볼록집합이 아니면 만족할 수 없으므로 문제의 조건을 만족하는 집합은 볼록 집합이다.

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      유지연_매니저 Lv.15 2022.02.08 17:15

      안녕하세요~!

      대한수학회 62번 문제에 관심가져주시고 열심히 풀어주시는 모습이 너무 멋지고 감사합니다~

      폴리매스 어셈블의 조영준 멘토에게 답변 확인 요청을 드렸습니다~!

      3일 이내에 답변을 주실거예요!

      조금 기다려주세요~

       

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      pure math Lv.6 2022.02.09 23:54

      저랑 논리는 비슷한 거 같아요! 제가 모르는 단어들만 빼면...

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      조영준 멘토 Lv.3 2022.02.10 16:03

      이 문제는 직관을 전혀 사용하면 안 되는 문제입니다. 사실 표면이라는 단어도 정의가 안 되어 있는 단어이기 때문에 함부로 사용하면 안 됩니다.

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    pure math Lv.6 2022.02.25 15:03
    확인요청중

    1.

    K\setminus Int\left ( K \right )는 집합 K와 K의 여집합이 접하는 곳으로, 저는 편의상 표면이라는 단어로 사용하겠습니다.

    K는 닫힌 볼록 집합입니다. 고로, 임의의 점 A,B를 잡아도 두 선분은 K의 부분집합입니다. 또한, K의 집합에서 어떠한 임의의 점을 잡아도 그 점의 점열은 K의 원소여야 합니다.

    우리는 K\setminus Int\left ( K \right )에서 임의의 두 점 A, B를 잡을 수 있습니다. 여기서 두 가지 경우로 나뉠 수 있습니다. 

    첫 번째는 항상 A, B를 동시에 원소로 가지는 K\setminus Int\left ( K \right )의 부분집합이 있다 입니다.

    이 경우에, A, B가 끝점인 K\setminus Int\left ( K \right )의 부분집합이 있기에 경로 연결 되어있음을 알 수 있습니다.

    두 번째는 A, B를 동시에 가지지 못하는 K\setminus Int\left ( K \right )의 부분집합이 있다는 것입니다.

    이 경우엔 K와 K\setminus Int\left ( K \right )의 차집합으로 K\setminus Int\left ( K \right )가 나눠져있다는 것인데, K는 볼록 집합이므로 이때는 K\setminus Int\left ( K \right )가 평행한 두 직선의 합집합 밖에 되지 않는 것입니다. 

     

    애매한 용어를 썼거나 풀이에 빈약함이 있는 경우엔 댓글 달아주세요! 바로 수정하겠습니다!

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    •  
      강지원 멘토 Lv.3 2022.03.07 00:05

      'A,B를 동시에 원소로 가지는  K\setminus Int\left ( K \right )의 부분집합이 있다'라는 게 어떤 의미인가요? K\setminus Int\left ( K \right )자신은 당연히 A,B를 동시에 원소로 가지는데 어떤 의도로 나누는 것인지 파악이 잘 안되네요.

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      pure math Lv.6 2022.03.07 00:15

      부분집합이 아닌, 평면상에서 하나로 연결되어있는 부분집합으로 수정하겠습니다!

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    pure math Lv.6 2022.02.25 15:44
    확인요청중

    2.

    만약 K가 볼록하지 않은 집합이라고 해봅시다. 그러면, 어떤 임의의 점 A, B에 대하여 선분 AB위의 임의의 점이 K의 집합이 되지 않아지는 A, B가 존재합니다. 

    r은 어떤 양수이므로, 0이 아니며 0보다 큽니다. 또한, Br(X)는 r을 반지름으로 하는 원입니다.(X을 중심으로 하고) 

    K는 경로 연결된 닫힌 집합이므로 K\setminus Int\left ( K \right )가 존재합니다. 그리고, 맨 위의 A, B를 양 끝점으로 하는 K\setminus Int\left ( K \right )의 부분집합 또한 존재합니다.

    위의 K\setminus Int\left ( K \right )의 부분집합 에서의 원소 중 K\cap Br\left ( X \right )이 볼록하지 않게 되는 임의의 원소가 존재합니다. 

    AB의 모든 원소가 K의 원소가 되지 않아진다면, K의 여집합과 AB의 교집합은 공집합이 되지 않는다는 것입니다. 또한, 한 점을 기준으로 A, B는 K\setminus Int\left ( K \right )의 부분집합 위에서 반대의 위치에 있습니다. 고로, K\setminus Int\left ( K \right )의 부분집합이 그 한 점에 의해서 나눠지는 두 부분에 대하여 각각 A, B가 존재한다는 것입니다. 그러면, K\setminus Int\left ( K \right )의 부분집합 위에서, 그 한 점을 기준으로 반대의 위치에 있는 두 점이라면 그 두 점의 선분은 K의 여집합과 교집합이 존재하게 됩니다.

    그렇다는 것은, 그 한 점이 X라면, r은 양수이며, K\cap Br\left ( X \right )는 K\setminus Int\left ( K \right )의 부분집합에서 그 한 점으로 나눠지는 두 부분 위에 있는 두 점을 함께 포함하므로

    K\cap Br\left ( X \right )이 항상 볼록 집합이 될 수 없습니다. 이는 가정에 모순이므로, K는 볼록 집합입니다.

    &추가로, 그 한 점이란 위의 A, B의 성질을 만족하면서 K\setminus Int\left ( K \right )의 부분집합 위에서 A, B보다 거리가 더 작은 새로운 두 점을 만들 수 있습니다. 그 방법을 계속 하면 하ㅏ의 점으로 수렴하는 점열이 생기는데, 그 점이 그 한 점입니다. 

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      강지원 멘토 Lv.3 2022.03.12 16:20

      K는 경로 연결된 닫힌 집합이므로 K\setminus Int\left ( K \right )가 존재한다(공집합이 아니다)라는 주장은 참이 아닙니다.

      예를 들어, K=\mathbb{R}^2, 즉 K가 평면 전체일 경우 K는 경로 연결된 닫힌 집합이 되지만 int(K)=\mathbb{R}^2으로 K\setminus Int\left ( K \right )가 공집합이 되는 경우도 있습니다.

       

      맨 위의 A, B를 양 끝점으로 하는 K\setminus Int\left ( K \right )의 부분집합 또한 존재합니다.

       K\setminus Int\left ( K \right )의 부분집합 위에서 반대의 위치에 있습니다

       

      에서 '양 끝점으로 하는', '반대의 위치' 등의 용어가 무엇을 의미하는지 수학적으로 엄밀한 정의가 필요합니다.

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    가가가 Lv.1 2022.03.29 02:32

    시간이 없으니 개요만 작성하도록 하겠습니다

    (사실 비슷한 방법으로 k차원에 대해서도 보일 수 있습니다)

    i)K의 내부가 공집합인 경우:

    점들이 일직선에 놓이게 됩니다.

    ii)K의 내부가 공집합이 아닌 경우:

    내부의 한 점에서 동경 θ인 반직선을 고려하고, 이 반직선과 K의 교집합을 고려하면

    그 집합이 항상 유계일 때와 아닌 경우가 존재하는 때로 나누어 구분해보세요.

    아닐 때에는 R^2에서 거리, 포함관계를 보존하는 회전, 평행 변환 이므로

    이를 x축으로 설정하고 y방향이나 -x방향에 대해서도 비슷한 논의를 하면 됩니다

    (논의 방법은 닫힌 집합임을 이용하여 sup(y)나 inf(y) 등이 K에 속한다는 사실들을 유도할 수 있습니다.)

    항상 유계인 경우는 정해진 동경의 반직선에 대해 P에서 가장 먼 점 (기본적으로 compact한 집합이므로 well-defined이고 거리의 단조성 이용시 훨씬 쉽습니다)으로 사상하는 함수를 생각해 본다면 이 함수를 이용하여 연속성과 다양한 성질을 증명해 낼 수 있을 것입니다.

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      강지원 멘토 Lv.3 2022.04.29 12:51

      int(K)의 공집합 여부에 따라 경우를 나누고, \mathbb{R}^2에서의 변환을 생각하고, 거리가 최대인 점을 잡는 등 다양한 아이디어가 나왔네요! 다른 분들께서 이 아이디어를 이용해서 풀이를 완성해주실 수 있을까요?

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    수학초심자 Lv.1 2022.04.25 15:00

    이러한 방식으로 하면 될듯 한데 case2)에서 진행이 안되네요.. 더 생각해보겠습니다.

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      강지원 멘토 Lv.3 2022.04.29 13:00

      아직 K가 경로 연결된 닫힌 집합이라는 조건을 안 쓴 것 같은데 K상에서 x와 y를 잇는 경로를 잡는 건 어떨까요?

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