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[대한수학회] 대61. 원과 다각형
수학동아 2021.12.31 09:55 조회 2146

대한수학회 61번

 

 

원과 다각형

 

 

문제 출제자 : 서인석 서울대학교 수리과학부 교수

 

 

 

 

안녕하세요~!

 

서인석 교수님의 특별한 힌트를 가지고 왔습니다~!

 

교수님께서 "사각형인 경우 대각선에 위치한 두 원 위에 놓인 점을 임시로 고정해 놓고, 나머지 두 점이 어디에 위치해야 사각형의 넓이가 최대가 되는지 생각해 보는 방법이 가능합니다."라고 힌트를 주셨어요.

 

힌트를 보시고 문제 풀이에 참여해보세요~!

 

감사합니다.(2022.04.20)

 

 

 

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문제1. 한 변의 길이가 a> 2인 정삼각형 ABC를 생각해보자. 이때, 아래 그림과 같이 세 꼭짓점 A, B, C를 중심으로 하며 반지름이 1인 세 원이 놓여있다. 이 세 원의 원주 위에서 각각 점을 하나씩 선택하여 P, Q, R이라 할 때, 삼각형 PQR의 넓이가 가장 큰 경우는 언제 일까?

 

 

 

문제2. 앞선 문제에서 삼각형ABC가 정삼각형이라는 조건이 없이 세 변의 길이가 각각 2보다 큰 일반적인 삼각형일 때, 삼각형 PQR의 넓이가 가장 큰 경우는 언제일까? 이 세 점 P, Q, R을 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로도 작도할 수 있을까?

 

 

 

문제3. 앞선 1, 2번을 사각형에 대해서 생각해보자. 각 변의 길이가 2보다 큰 사각형 ABCD에 대해 네 꼭짓점 A, B, C, D를 중심으로 하며 반지름이 1인 네 원이 주어져 있다. 이때, 각 원의 원주 위에서 네 점 P, Q, R, S를 잡았을 때, 사각형 PQRS의 넓이가 최대가 되는 경우를 다음 순서로 생각해보자.

 

 

(1) 정사각형

 

 

(2) 직사각형

 

 

(3) 마름모, 평행사변형, 등변사다리꼴

 

 

(4) 일반적인 볼록사각형

 

 

(5) 오목사각형

 

 

 

문제4. 앞선 문제들에서 각 변의 길이가 2보다 크다는 조건이 꼭 필요한지, 이 조건 없이도 문제가 해결되는지 생각해보자.

 

 

 

문제5. 앞선 문제들에서 원들의 반지름의 길이가 다른 경우는 어떻게 될까?

 

 

 

문제6. 이러한 문제들을 양의 정수 n\geq 5에 대해 n각형에 대하여 생각해보자.

 

 

 

서인석 교수님의 팁

삼각형인 경우는 완벽한 해결이 가능합니다. 이를 바탕으로 사각형이나 다른 다각형에 대하여 결과를 개척해 나가 보기 바랍니다.

  •  
    부분해결
    조희승 Lv.4 2022.01.18 15:32

    이게 맞다면 3각형에 한해서 예각 둔각 상관없이 모든 원의 반지름 r에대해 삼각형의 변이 r초과인 경우에 대해 증명이 가능합니다. 또한 원들의 반지름이 같지 않아도 됩니다. 근데 너무 계산이 복잡해서 맞는지 모르겠내요.

    1.최대 넓이를 갖는 경우

    문제의 P,Q,R을 생각하자. 이때 삼각형의 선분 QR과 P의 거리가 길수록 삼각형의 넓이가 넓어진다.(밑변이 일정하므로)이때 원 A위의 점중 QR과 거리가 가장 먼점은 QR과 평행한 원 A의 접선중 QR과 먼것과 원 A의 접점이다.(QR을 평행하게 이동시켜보면 이게 참이라는 것을 알수있다.) I.S.W PR과 Q에서의 원 B의 접선이 평행하고,PQ와 R에서의 원 C의 접선이 평행하면 PQR중 어떤 점을 이동시켜도 삼각형 PQR의 넓이는 감소한다.즉, 이때가 삼각형 PQR의 넓이가 최대인 상태다.

    2.실례

    이제 위 경우의 실례를 찾아보겠다.

    임의의 점 P,Q,R을 잡자.(이 점들의 역할은 문제와 동일하다.)이때 P에서의 원 A의 접선은 QR과 평행하다. 이때 선분 AP는 접선과 평행하므로 직선 AP는 QR과 수직하다.즉, 점A는 P에서 QR에내린 수선위에 점이다.동일하게 Q,R에도 적용을 하면 A,B,C는 각각 삼각형PQR의 수심 H를 잡으면 PH,QH,RH위의 점이다. 이때 원의 반지름을 r1,r2,r3(원 A,원 B,원 C)라 하면 A는 선분PH 위에 PA가 r1인 점이다.(점P가 점A 외부에 있으므로 유일하게 결정된다.)I.S.W B,C도 마찬가지이다.이때 삼각형 PQR의 각변의 길이를 알면 헤론의 공식으로 삼각형의 넓이를 구할 수 있다. 그러면 S=abc/4R(사인 법칙으로 유도 가능) 으로 외접원의 반지름을 구할 수 있다.그러면 삼각형 PQR의 외심을 O라 하고 QR의 중점을 M이라 하면 피타고라스의 정리로 OM을 구할 수 있다.그리고 세르보어의 정리에 의해 PH는 2OM이여서 똑같은 방법으로 QH,RH의 길이도 구할 수 있다.그러므로 AH,BH,CH의 길이를 구할 수 있다.이때 각 AHB는 B에서의 AC의 수선의 발을 T,A에서의 BC의 수선의 발을 L이라하면 엇각으로 각 LHT와 같다. 이때 (L,T,C,H)는 공원점(보각 합 180)이므로 각 LHT는 180-각 PRQ와 같다.이때 cos PRQ는 제2코사인 법칙을 통해 구할 수 있다. cos a=-cos 180-a이므로 cos AHB 는 -cos PRQ로 구할 수 있다.여기서 삼각형 AHB에서 제2코사인 법칙을 쓰면 AB의 길이를 구할 수 있다.I.S.W BC,CA도 구할 수 있다.반대로 AB,BC,CA와 r1,r2,r3를 알떄 PR,QR,PQ를 미지수로 잡으면 식이 3개가 나와 PR,PQ,QR을 구할수 있다.그러면 위에 서술한데로 AH,BH,CH의 길이를 구할 수 있으므로 컴퍼스로 각각을 반지름으로 하는 원들을 그려 이들의 교점을 H라하면 P,Q,R은 각각 AH,BH,CH와 원 A,B,C의 교점이다.그러므로 작도 할수있다.   

    긴글 읽어 주셔서 감사합니다.풀이가 너무 길고 이상해서 맞는 진 모르겠습니다. 혹시라도 오류를 발견하시면 답글 바랍니다.

    댓글 작성하기 좋아요1 댓글수2
    •  
      조희승 Lv.4 2022.01.18 15:55

      덧붙이지면 이 풀이로 문제1의 정답은 정삼각형의 중심을 O라 할때 AO,BO,CO와 원 A,B,C의 교점중 바깥에 있는 것이 윗글의 조건 1을 만족해 최대인 경우고

      문제 2도 증명했고(r1,r2,r3=1)

      문제 4와 5는 삼각형의 경우만 증명됩니다.

       

      +수정  윗글 13줄에 이때 선분 AP는 접선과 평행하므로->이때 선분 AP는 접선과 수직하므로 로 수정한다.

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    •  
      조영준 멘토 Lv.3 2022.01.24 17:44

      최대 넓이를 갖는 경우에 대한 설명은 잘 적어주었습니다. 그런데 PR, QR, PQ를 AB, BC, CA, r1, r2, r3로 나타낼 수 있다고 해서 반드시 '작도 가능한 길이'인 것은 아닙니다. 예를 들어서 눈금 없는 자와 컴퍼스로는 어떤 길이의 ^3\sqrt{2}배를 작도할 수 없습니다.

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  •  
    푸앵카레 1011 Lv.2 2022.08.12 16:57
    확인요청중

    문제 1.2.

     

    P,Q를 고정하고 R을 돌린다고 생각하면

    삼각형PQR의 넓이가 최대가 될 때는

    밑변이 고정되어있으므로 높이만 고려하면 됩니다.

    그렇기 때문에 높이가 최대가 되려면 C에서 PQ에 내린 수선과 원의 교점 중 

    PQ로부터 먼 점을 택하면 그게 가장 먼 점입니다.

    이렇게 이 과정을 반복할수록 삼각형의 넓이는 계속 커집니다. 

    밑변을 기준으로 가장 높이가 큰 점을 잡았으니까요.

    그러다가 움직이지 않는 점이 존재할 것입니다. 

    그 때는 삼각형 P, Q, R 에서 각변 QR, PR, PQ에 내린 수선이 각각 A. B, C를 지날 때입니다.

    즉 AP, BQ, CR이 삼각형 PQR의 수심에서 만날 때입니다.

    이때 삼각형 PQR의 넓이가 가장 커집니다.

    만약 더 큰 상태가 있다고 가정하면 그 상태도 고정되어야 하는데 고정된 점은 위에서 찾은 하나 밖에 없으므로 모순입니다.

    생각해보면 위의 방법에서는 반지름에 대한 조건이 없습니다.

    반지름이 모두 같거나 2 이상이어도 PQR은 정해진다는 것입니다.

     

    작도: 

    먼저 작도를 할 때 사칙연산과 루트가 가능합니다.

    더하기 빼기는 두 길이를 합치면 되고 곱하기 나누기는 단위길이를 정한 다음 닮음을 이용해서 만들면 되고 루트는 방멱을 이용하면 됩니다.

     

    우리는 PQR의 수심 H를 작도하면 됩니다.

    AH,BH,CH를 연장한 다음 r1,r2,r3만큼의 점을 잡으면 되니까요.

    간단한 방법으로는 작도를 할 수 없을 것 같으니 좌표에 넣겠습니다.

    삼각형 ABC를 좌표평면에 넣으면 A(a,b), B(c,d), C(e,f)의 점에 대응이 될 것이고

    수심 H는 (p,q)에 대응이 되겠죠. (우리는 p, q를 구하면 됩니다.)

    계산이 조금 빡치지만 이것을 이용하여 P, Q, R의 좌표를 구할 수 있습니다.

     

    이미지.png

    울프럼에 의하면 이 2개의 해가 나옵니다. 원점을 어디에 찍느냐에 따라 이 해 중에서 골라야합니다.

    r은 r1의 제곱을 뜻합니다.

    생각해보면 HA의 길이를 1라 하면 HA를 H 기준으로 r+1배 늘린 것입니다.

    p,q만 작도할 수 있으면 작도할 수 있는 점이죠.

    (p,q에 대한 식, p,q에 대한 식)으로 표현됩니다.

     

    자 그러면 이제 P(p1,q1) Q(p2,q2) R(p3,q3)라 합시다.

    PQ와 CH는 수직이다.

    QR과 AH는 수직이다.

    RP와 BH는 수직이다.

    이 세 식을 풀면 p,q가 나올 것입니다.

    계산해보면 루트가 복잡하지만 1,2,4차 식이므로 작도 가능합니다.

    p,q가 작도 가능하므로 H가 가능하고 P,Q,R도 작도 가능합니다.

    (반전 쓰면 될 것 같지만 잘 몰라서 포기)

     

    문제 3.

     

    사각형 ABCD에서 PQRS 로 생각하면

     

    삼각형일 때와 같이PR 고정했을 때 Q,S는 B,D에서 내린 수선 위에 있습니다. 삼각형 2개 붙여놓은 것이라 생각해도 되니까요. 수선과 원의 교점은 2개 생기는데 넓이가 최대가 되려면 QS의 길이가 최대가 되도록 점을 선택하면 되겠죠.

    이것을 계속하면 AP, CR은 QS에 수직이고, BQ, DS는 PR에 수직인 상태에서 멈춥니다. 그동안 계속 넓이가 증가합니다.

    따라서 이것이 최대입니다.

     

    문제 4.5

    삼각형은 원의 반지름에 대해 상관이 없습니다. 위에서 해가 나오지 않을 수는 없으니까요.

    사각형도 점을 찾는 방법이 똑같습니다. 따라서 상관은 없습니다.

     

    문제 6.

    오각형의 예를 들어보겠습니다.

    오각형을 대각선으로 삼각형.사각형으로 잘라요. 그러면 사각형에서 했던 것을 이용하면 샤샤샥 정해질 것입니다.

    이 과정을 똑같이 반복하면 많은 답이 나오겠지만 그 중에서 가장 큰 한가지를 선택합니다.

    삼각형은 정확한 답이 확정되지만, 사각형부터는 많은 최종상태가 있고, 그 중에서 넓이가 가장 큰 한 경우를 골라야 합니다.

    그러면 오각형이 정해졌으니 육각형…칠각형… 이렇게 나아가면 될 것입니다.

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