어떤 도형이 변의 길이가 1인 정사각형 안에 있어서, 정사각형 안에서 360도 회전이 가능하다고 하자. 이때 도형을 회전하는 중심이 고정되어 있을 필요는 없다. 즉, 도형을 회전할 때 상하좌우로 움직이는 것 또한 허용한다. 이 도형의 최대 넓이는 얼마일까? 도형이 최대 넓이가 될 때 모양은 무엇일까?
*출제자의 요청으로 문제에 설명을 추가했습니다!
정사각형 안에서 360도 회전시킬 때 중심이 한 점에 고정되어 있고, 그 도형을 그 중심을 기준으로 돌리는 것인가요, 아니면 돌리는 중심이 움직일 수도 있는 것인가요?
우선 어떤 도형이 정사각형 속에서 360도 회전할 수 있다면, 정사각형의 둘레 위의 임의의 한 점과 도형을 돌리는 중심을 이은 선 중 가장 짧은 선의 길이가, 그 도형을 돌리는 중심을 중심으로 하는 원 중 그 도형이 그 원 속에 있게 하는 가장 작은 원의 반지름의 길이와 같아야 한다.
그러면, 도형의 넓이를 가장 크게 하려면 우선 정사각형의 둘레 위의 임의의 한 점과 도형을 돌리는 중심을 이은 선 중 가장 짧은 선의 길이가 최대한 길어져야 한다. 그렇게 하려면 도형을 돌리는 중심은 그 정사각형에 한 원을 외접시켰을 때의 그 원의 중심이 되어야 한다. 그러면, 정사각형의 둘레 위의 임의의 한 점과 도형을 돌리는 중심을 이은 선 중 가장 짧은 선의 길이는 정사각형의 한 변의 길이의 반인 1/2가 된다. 그러면 이 정사각형 안에서 360도를 돌릴 수 있는 도형 중 가장 넓이가 큰 도형은 이 정사각형에 내접하는 원 속에 있는 가장 부피가 큰 도형이다. 그런데 반지름이 1/2인 원 속에 있는 도형 중 부피가 가장 큰 도형은 반지름이 1/2인 원 자신이다.
답 : 넓이는 
, 형태는 원.
우선 어떤 도형이 정사각형 속에서 360도 회전할 수 있다면, 정사각형의 둘레 위의 임의의 한 점과 도형을 돌리는 중심을 이은 선 중 가장 짧은 선의 길이가, 그 도형을 돌리는 중심을 중심으로 하는 원 중 그 도형이 그 원 속에 있게 하는 가장 작은 원의 반지름의 길이와 같아야 한다.
그러면, 도형의 넓이를 가장 크게 하려면 우선 정사각형의 둘레 위의 임의의 한 점과 도형을 돌리는 중심을 이은 선 중 가장 짧은 선의 길이가 최대한 길어져야 한다. 그렇게 하려면 도형을 돌리는 중심은 그 정사각형에 한 원을 외접시켰을 때의 그 원의 중심이 되어야 한다. 그러면, 정사각형의 둘레 위의 임의의 한 점과 도형을 돌리는 중심을 이은 선 중 가장 짧은 선의 길이는 정사각형의 한 변의 길이의 반인 1/2가 된다. 그러면 이 정사각형 안에서 360도를 돌릴 수 있는 도형 중 가장 넓이가 큰 도형은 이 정사각형에 내접하는 원 속에 있는 가장 부피가 큰 도형이다. 그런데 반지름이 1/2인 원 속에 있는 도형 중 부피가 가장 큰 도형은 반지름이 1/2인 원 자신이다.
중심이 하나로 고정되어 있지 않은 경우에도, 그 도형의 모든 부분이 한번씩 정사각형의 가장 짧은 부분에 있게 될 것이다. 그러면, 그 도형 위의 두 점을 이은 선분들은 전부 정사각형의 가장 짧은 부분의 길이인 1 이하이어야 한다는 것은 같다. 그러면, 그 도형 위의 두 점을 이은 어떤 선분도 1보다 크면 안 되므로, 그 도형이 지름이 1인 원 속에 있어야 한다는 것은 같다. 그 도형을 아무리 돌리고 움직여도 지름이 1인 원 속에 넣을 수 없다면, 그 도형 위의 임의의 두 점을 이은 길이가 1보다 큰 경우가 있다는 말이다. 따라서 중심이 하나로 고정되어 있지 않은 경우에도 답은 같다.
답 : 넓이는 
, 형태는 원.
폴리매스 문제는 과학기술진흥기금 및 복권기금의 재원으로 운영되고, 과학기술정보통신부와 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물로 우리나라의 과학기술 발전과 사회적 가치 증진에 기여하고 있습니다.
☎문의 02-6749-3911
정기구독 인증방법 안내
