폴리매스

정사각형 안에서 360도 회전시킬 때 중심이 한 점에 고정되어 있고, 그 도형을 그 중심을 기준으로 돌리는 것인가요, 아니면 돌리는 중심이 움직일 수도 있는 것인가요?

우선 어떤 도형이 정사각형 속에서 360도 회전할 수 있다면, 정사각형의 둘레 위의 임의의 한 점과 도형을 돌리는 중심을 이은 선 중 가장 짧은 선의 길이가, 그 도형을 돌리는 중심을 중심으로 하는 원 중 그 도형이 그 원 속에 있게 하는 가장 작은 원의 반지름의 길이와 같아야 한다. 

그러면, 도형의 넓이를 가장 크게 하려면 우선 정사각형의 둘레 위의 임의의 한 점과 도형을 돌리는 중심을 이은 선 중 가장 짧은 선의 길이가 최대한 길어져야 한다. 그렇게 하려면 도형을 돌리는 중심은 그 정사각형에 한 원을 외접시켰을 때의 그 원의 중심이 되어야 한다. 그러면, 정사각형의 둘레 위의 임의의 한 점과 도형을 돌리는 중심을 이은 선 중 가장 짧은 선의 길이는 정사각형의 한 변의 길이의 반인 1/2가 된다. 그러면 이 정사각형 안에서 360도를 돌릴 수 있는 도형 중 가장 넓이가 큰 도형은 이 정사각형에 내접하는 원 속에 있는 가장 부피가 큰 도형이다. 그런데 반지름이 1/2인 원 속에 있는 도형 중 부피가 가장 큰 도형은 반지름이 1/2인 원 자신이다. 

답 : 넓이는 , 형태는 원. 

우선 어떤 도형이 정사각형 속에서 360도 회전할 수 있다면, 정사각형의 둘레 위의 임의의 한 점과 도형을 돌리는 중심을 이은 선 중 가장 짧은 선의 길이가, 그 도형을 돌리는 중심을 중심으로 하는 원 중 그 도형이 그 원 속에 있게 하는 가장 작은 원의 반지름의 길이와 같아야 한다. 

그러면, 도형의 넓이를 가장 크게 하려면 우선 정사각형의 둘레 위의 임의의 한 점과 도형을 돌리는 중심을 이은 선 중 가장 짧은 선의 길이가 최대한 길어져야 한다. 그렇게 하려면 도형을 돌리는 중심은 그 정사각형에 한 원을 외접시켰을 때의 그 원의 중심이 되어야 한다. 그러면, 정사각형의 둘레 위의 임의의 한 점과 도형을 돌리는 중심을 이은 선 중 가장 짧은 선의 길이는 정사각형의 한 변의 길이의 반인 1/2가 된다. 그러면 이 정사각형 안에서 360도를 돌릴 수 있는 도형 중 가장 넓이가 큰 도형은 이 정사각형에 내접하는 원 속에 있는 가장 부피가 큰 도형이다. 그런데 반지름이 1/2인 원 속에 있는 도형 중 부피가 가장 큰 도형은 반지름이 1/2인 원 자신이다. 

중심이 하나로 고정되어 있지 않은 경우에도, 그 도형의 모든 부분이 한번씩 정사각형의 가장 짧은 부분에 있게 될 것이다. 그러면, 그 도형 위의 두 점을 이은 선분들은 전부 정사각형의 가장 짧은 부분의 길이인 1 이하이어야 한다는 것은 같다. 그러면, 그 도형 위의 두 점을 이은 어떤 선분도 1보다 크면 안 되므로, 그 도형이 지름이 1인 원 속에 있어야 한다는 것은 같다. 그 도형을 아무리 돌리고 움직여도 지름이 1인 원 속에 넣을 수 없다면, 그 도형 위의 임의의 두 점을 이은 길이가 1보다 큰 경우가 있다는 말이다. 따라서 중심이 하나로 고정되어 있지 않은 경우에도 답은 같다. 

답 : 넓이는 , 형태는 원. 

풀이를 써보려고 했는데 잘 안돼서 간단히 아이디어 좀 올려볼게요

'도형'을 점의 집합이라는 관점에서 보았을 때, 도형에 포함되는 어느 두 점이라도 점 사이의 거리가 1보다 크면 도형을 회전하는 과정 중 이 두 점을 연결하는 직선이 정사각형의 한 변과 평행할 때 도형이 정사각형 내부에 들어가지 못합니다. 반대로 도형의 포함되는 모든 두 점 사이의 거리가 1보다 작을 경우, 도형을 임의의 각도만큼 회전시킨 상태에서 점의 x 좌표의 최댓값과 최솟값의 차가 1 이하, y좌표의 최댓값과 최솟값의 차가 1 이하이므로 평행이동을 통해 x좌표의 최솟값이 0, y좌표의 최솟값이 0이 되게 함으로써 정사각형 (0,0)(1,0)(0,1),(1,1) 내부에 들어갈 수 있습니다.

따라서, "도형 A가 정사각형 안에서 360도 회전이 가능하다"는 "인 모든 두 점(위치벡터) a,b에 대해 a-b=1"의 필요충분조건입니다.

이렇게 바꾸어 생각하면 문제풀이에 필요한 여러 명제들을 좀 더 쉽게 증명할 수 있습니다. 그증 자세한 증명 과정은 생략하지만 문제풀이에 매우 중요한 사실 중 하나가
"문제의 조건을 만족하는 도형 A 내부에 있는 임의의 점 P,Q에 대하여, P, Q를 지나며 반지름이 1인 두 원의 겹치는 부분을 B라고 하면 또한 조건을 만족한다"는 것입니다.

그리고 최대 넓이를 갖는 도형은 거리가 1인 두 점을 반드시 포함해야 하므로(그렇지 않는다면 1/최댓값의 비율로 전체적으로 확대하면 더 커집니다) 거리가 1인 두 점 A,B를 고정해 놓는다면 최대 넓이를 갖는 도형이 A와 B를 각각 중심으로 하고 반지름이 1인 원들의 겹치는 부분에 포함된다는 것을 생각할 수 있습니다.

사실 저는 이전에 어떤 점들의 집합에서 임의의 두 점 사이의 거리가 1 이하라면 어떤 점 P가 존재하여 모든 점들은 P로부터 거리가 1/sqrt(3)이하임을 증명하는 문제를 푼 적 있습니다. 이 경우에 도형은 반지름 1/sqrt(3)의 원에 포함되고, 도형을 반지름 1/2의 원으로 잡으면 조건을 만족하므로 최대 넓이를 S라 하면 가 됩니다. 위 문제의 명제가 문제증명에 필요하다면 나중에 저 명제의 증명을 정리해서 올리겠습니다.

추가로, 저는 처음에는 원 형태보다 뢸로삼각형 모양으로 도형을 잡으면 더 클 것으로 생각했으나, 지오지브라에서 뢸로삼각형을 포함해서 몇 가지 경우를 직접 그려보고 나니 역시 원이 가장 클 것으로 추측하고 있습니다.

1. 한 변의 길이가 1인 정사각형 ABCD 안에서 360도 회전이 가능한 도형 S는 다음 조건을 만족함을 보이자. 
[ 도형 S의 내부 및 둘레의 임의의 두 점 P, Q에 대하여, 선분 PQ의 길이는 1 이하이다. ]
도형 S를 360도 회전할 경우 선분 PQ와 선분 AB가 평행한 순간이 존재한다. 
이때 선분 PQ의 길이가 1보다 크다면 두 점 P, Q 중 최소 한 점은 정사각형 ABCD 외부에 존재하게 된다. 
따라서 위 조건이 성립한다. 
2. 정사각형 ABCD에 내접하는 반지름이 1/2인 원 O를 그리자. 이때 원 O는 정사각형 안에서 360도 회전이 가능하다. 
원 O가 정사각형 ABCD 안에서 360도 회전이 가능한 도형들 중 넓이가 최대임을 보이자. 
원 O가 아닌 임의의 도형 I를 다음과 같은 경우로 나누어 생각할 수 있다. 
1) 도형 I를 평행이동하였을 때 도형 I의 모든 점들이 원 O의 내부 및 그 둘레에 있도록 할 수 있는 경우
원 O의 넓이가 도형 I의 넓이보다 크다
도형 I는 문제에서 요구하는 도형이 될 수 없다
2) 도형 I를 아무리 평행이동하여도 도형 I의 점이 원 O 외부에 존재하는 경우
도형 I 내부의 두 점 P', Q'에 대해 선분 P'Q'의 길이가 1보다 큰 P', Q'이 존재하므로 도형 I는 정사각형 ABCD 내부에서 360도 회전이 불가능하다
도형 I는 문제에서 요구하는 도형이 될 수 없다
따라서 문제의 조건을 만족하는 도형이 최대 넓이가 될 때 정사각형에 내접하는 원의 모양을 가지고
이때 원의 반지름은 1/2이므로 넓이는  이다. 

돌수있어야 하므로 모형은 원이고 넓이는 4분의 1이다.

정폭도형 중 가장 큰 도형은 원 아닐까요? 그러면 정폭도형이 아니어도 더 큰 것이 있을지 알아보면 되겠네요