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[대한수학회] 대58. 방정식의 정수 해는 몇 개일까?
수학동아 2021.09.30 15:39 조회 2878

대한수학회 58번

 

방정식의 정수 해는 몇 개일까?

 

 

문제 출제자 : 오병권 서울대학교 수리과학부 교수

 

 

정수 전체의 집합을 Z라 하고, 소수 전체의 집합을 P라 정의하자. 또한, 집합 S에 대하여 \left | S \right |S의 원소의 개수를 말한다. 정수 계수의 이변수 다항식 f(x,y)와 정수 n에 대하여

 

R(n,f(x,y))=\left \{ (x,y) \in \mathbb{Z}^{2}:f(x,y)=n\right \}, r(n,f(x,y))=\left | R(n,f(x,y)) \right |

 

라 정의하자. 예를 들어,

 

R(5,x^{2}+y^{2})=\left \{ \pm(2,1),\pm(2,-1),\pm (1,2)\pm (1,-2) \right \} r(5,x^{2}+y^{2})=8

 

이다.

 

 

(i) 임의의 소수 p에 대하여,

 

p-1은 3의 배수이다 ⇐⇒ x^{2}+3p의 배수인 정수 x가 존재한다

 

임을 이용하여 r(p,x^{2}+3y^{2})을 구하여라.

 

 

(ii) 임의의 소수 p와 양의 정수 a에 대하여

 

\left | \left \{ (x,y)\in \mathbb{Z}^{2}:x^{2}+3y^{2}=p^{a}, gcd(xy,p)=1\right \} \right |

 

을 구하여라. 이를 이용하여 r(p^{a},x^{2}+3y^{2})을 구하여라.

 

이제

 

S:=\left \{ p\in P:r(p,x^{2}+27y^{2})=0 \right \}

 

T:=\left \{ p\in P:r(p,x^{2}+27y^{2})\neq 0 \right \}=\left \{ 31, 43, 109,\cdots \right \}

 

이라 정의하자.

 

 

(iii) 임의의 소수 p\in S와 양의 정수 a에 대하여, r(p^{a},x^{2}+27y^{2})을 구하여라.

 

 

(iv) 임의의 소수 p\in T와 양의 정수 a에 대하여, r(p^{a},x^{2}+27y^{2})을 구하여라.

 

 

(v) 임의의 소수 p, q\in T와 양의 정수 a, b에 대하여, r(p^{a},q^{b}, x^{2}+27y^{2})을 구하여라.

 

 

 

 

 

 

===================================================================================================

 

대한수학회 58번 문제가 너무 어렵나요? 그렇다면 문제를 출제해주신 오병권 교수님의 문제 풀이 일부분을 참고해보세요! 교수님께서 특별히 제공해주셨습니다.

 

 

<오병권 교수님의 58번 문제 풀이 일부>

 

 

p-1이 3의 배수라고 하자. 당연히 p\geq 7이다. 또한, 주어진 힌트에 의하여 x^{2}+3이 p의 배수인 정수 x가 존재한다. 따라서 방정식 x^{2}+3y^{2}=ap가 정수해 x, y를 갖는 양의 정수 a가 존재한다. 그러한 양의 정수 a 가운데 가장 작은 양의 정수를 m이라 하자. 즉, 방정식

 

 

x^{2}+3y^{2}=mp

 

 

를 만족하는 정수 x, y가 존재하지만, n< m인 양의 정수 n에 대해서는 x^{2}+3y^{2}=np는 정수 해가 존재하지 않는다고 가정하자. 이제 m=1임을 보이자. 우선

 

 

x_{0}\equiv x     (\mathrm{mod} p)               y_{0}\equiv y    (\mathrm{mod} p),           -\frac{p}{2}< x_{0}, y_{0}< -\frac{p}{2}

 

 

인 정수 x_{0}, y_{0}에 대해서도 x_{0}^{2}+3y_{0}^{2}은 p의 배수이고 x_{0}^{2}+3y_{0}^{2}< p^{2}이므로 m< p라 가정할 수 있다. m\geq 2라 가정하자. 정수 a, b

 

 

a\equiv x     (\mathrm{mod} m)               b\equiv y     (\mathrm{mod} m),                -\frac{m}{2}< a, b< -\frac{m}{2}

 

 

을 만족하도록 잡자. 만약 m=2m_{0}를 만족하는 짝수이고 a=b=-m_{0}라면 m_{0}^{2}\mid x^{2}+3y^{2}=2m_{0}p를 만족하므로 m_{0}=2이고 x, y는 짝수이며 (\frac{x}{2})^{2}+(\frac{y}{2})^{2}=p이므로 증명이 끝난다. 따라서 a또는 b가운데 하나는 -\frac{m}{2}보다 크다고 가정할 수 있다. 또한 a=b=0이면 x, y는 m의 배수가 되고 m=1또는 m=p가 되어 모순이다. 한편,

 

 

a^{2}+3b^{2}\equiv x^{2}+3y^{2}\equiv 0     (\mathrm{mod} m)

 

 

이므로 a^{2}+3b^{2}=mt를 만족하는 양의 정수 t가 존재한다. 또한

 

 

mt   imes mp=(a^{2}+3b^{2})(x^{2}+3y^{2})=(ax+3by)^{2}+3(ay-bx)^{2}

 

 

이 성립하고

 

 

ax+3by\equiv a^{2}+3b^{2}\equiv 0     (\mathrm{mod} m)               ay-bx\equiv ab-ba=0     (\mathrm{mod} m)

 

 

을 만족하므로

 

 

(\frac{ax+3by}{m})^{2}+3(\frac{ay-bx}{m})^{2}=pt

 

 

가 성립한다. 즉, 방정식 x^{2}+3y^{2}=pt도 역시 정수해가 존재한다. 마지막으로

 

 

mt=a^{2}+3b^{2}< \frac{m^{2}}{4}+\frac{3m^{2}}{4}=m^{2}

 

 

이므로 t< m이고, 이는 가정에 모순이다. 따라서 최소의 정수 m은 1이다. 즉, x^{2}+3y^{2}=p는 정수 해가 존재한다.

 

 

끝.

 

  •  
    Scubed Lv.7 2021.09.30 20:01

    쉽게 말해서

    R은 정수해의 집합을 말하는 것이고 r은 정수해의 개수를 말하는 거라고 보시면 됩니다

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  •  
    Anonym Lv.5 2021.11.21 21:01

    5번문제의 "r(p^{a},q^{b}, x^{2}+27y^{2})" 에서 p^a,q^b가 정확히 어떤 것을 의미하는지 모르겠습니다. (p^a)x(q^b) 을 의미하는 것 인가요?

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  •  
    부분해결
    Anonym Lv.5 2021.11.24 05:34 비밀댓글
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  •  
    부분해결
    Anonym Lv.5 2021.11.24 21:59 비밀댓글
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    •  
      조영준 멘토 Lv.3 2022.02.07 17:27

      1, 2번 문제 아주 잘 풀어주었습니다!

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  •  
    부분해결
    Anonym Lv.5 2021.11.30 00:55 비밀댓글
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    •  
      조영준 멘토 Lv.3 2022.02.07 18:07

      3번 문제는 p=3, 3k+1일때 사소한 실수가 있는 것 같아요! (답이 살짝 틀린 것 같아요)

      4번 문제 잘 풀었습니다~

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    •  
      Anonym Lv.5 2022.02.07 18:30 비밀댓글
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  •  
    pure math Lv.7 2022.02.04 12:59

    1번 문제부터 해결하기 위해서는 먼저 p-1이 3k+1꼴일때의 해가 없다는 것을 증명하고 p-1이 3의 배수일때는 x2+3y2=a2+3b2=소수 p를 동시에 만족하는 a와 b가 없다는 것을 증명해야 할 것입니다! 이 문제에 무한 강하법이나 이차잉여를 쓰는 것이 어떨까요? 아니면 브라마굽타-피보나치 항등식을 쓰는 것도 좋을 것 같네요.

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    •  
      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.05 11:54

      우선 p-1이 3k+1 꼴일 때는 쉽네요. 이때 p의 mod 3 값은 2입니다.

      p = x^2 + 3y^2이어야 하므로 x^2 + 3y^2의 mod 3 값도 2일테고, 3y^2은 3의 배수이므로 이는 곧 x^2의 mod 3값이 2라는 뜻입니다.

      그런데 임의의 제곱수의 mod 3 값은 0,1이므로 이를 만족하는 x는 존재하지 않습니다.

      따라서 p-1이 3k+1 꼴일 때는 해가 존재하지 않습니다. p-1이 3k 꼴일 때는 더 고민해봐야겠어요.

      (p.s p가 3k 꼴일 때를 빠뜨리신 듯 한데, 이때 p = 3이므로 (x, y) = (0, 1), (0, -1)로 답은 2개입니다.)

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    •  
      pure math Lv.7 2022.02.05 13:59

      혹시 p-1이 3의 배수일떄 어떤 방법을 쓸지 한번 고민해보셨나요?? 갈피를 못잡겠어요...

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    •  
      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.05 16:14

      이 문제는 '페르마의 두 제곱수 정리'와 상당히 연관이 있습니다. 그 정리를 책과 인터넷으로 찾아보았고 그것을 토대로 풀고 있습니다.

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    •  
      pure math Lv.7 2022.02.05 16:18

      와 방금 전에 구글로 그거 찾아서 보고 있었는데... 이것은...문제를 반드시 푼다는...예언..?

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    •  
      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.05 17:42

      https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5669129&cid=60207&categoryId=60207 여기 참고해서 풀었습니다. 풀이는 페르마의 두 제곱수 정리 유일성 증명과 매우 유사하네요.

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  •  
    부분해결
    진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.05 17:40

    (1) p가 3k+1 꼴일 때 해가 1개 이상 존재한다는 것은 힌트를 통해 알 수 있다.

    이제 부호를 무시하면 해가 1개만 존재한다는 것을 보이겠다.

    p = a^2 + 3b^2 = c^2 + 3d^2(a,b,c,d > 0)라 하자. 이때 (a,b)와 (c,d)는 부호만 다른 것이 아닌 완전히 다른 해이다.

    (p - a^2) * 3d^2 = 9(bd)^2 = (p - c^2) * 3b^2이 성립한다. 이를 정리하면 3p(d^2 - b^2) = 3((ad)^2 - (bc)^2)이 되고, 양변을 3으로 나누면 p(d^2 - b^2) = (ad+bc)(ad-bc)가 된다.

    p | (좌변)이므로 p | (우변)이 성립하므로, p | ad+bc 혹은 p | ad-bc가 성립한다.

    p | ad+bc이면 ad+bc가 양수이므로 ad+bc >= p이다. 그런데 p^2 = (a^2 + 3b^2)(c^2 + 3d^2) = 3(ad+bc)^2 + (ac-3bd)^2 >= 3p^2가 되므로 이는 불가능하다.

    p | ad-bc이면 p^2 = (a^2 + 3b^2)(c^2 + 3d^2) = 3(ad-bc)^2 + (ac+3bd)^2이므로 |ad-bc| >= p이면 위와 같은 이유로 불가능하다. 따라서 ad-bc = 0이다.

    이때 p(d^2 - b^2) = (ad+bc)(ad-bc) = 0이 되므로 d^2 - b^2 = 0이다. 따라서 d = b이며, a = c이다.

    하지만 이는 (a,b)와 (c,d)가 완전히 다른 해라는 가정에 모순이므로 이 역시 불가능하다.

    따라서 부호를 무시하면 해는 1개이다. 이때 부호를 고려하면 답은 4개이다.

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    •  
      pure math Lv.7 2022.02.05 19:07

      자! 이제 2번 풉시다!

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    •  
      pure math Lv.7 2022.02.05 19:53

      근데...2번의 힌트의 뜻이 무엇을 의미하는 건가요?

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    •  
      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.05 20:29

      아마도 저게 힌트라기보다는 그냥 'x^2 + 3y^2 = p^a이며 gcd(xy, p) = 1인 정수해의 개수를 구하여라.'를 길게 풀어쓴 것으로 보입니다.

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  •  
    pure math Lv.7 2022.02.05 23:41 비밀댓글
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    pure math Lv.7 2022.02.06 00:04 비밀댓글
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    •  
      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.06 09:55

      흠.. 지금 맞는지 틀렸는지 모르겠어서 댓글 썼다가 지웠다가 하고 있는데 우선 두 번째 케이스에서 (x,y) = (p^n, 0)이라는 해는 틀린 것 같습니다. gcd(0, p) = p니까요.

      그리고 두 증명 모두 해가 2개 이상 존재하지 않는다를 보인 것 같으며 최소한 1개가 존재한다는 아직 증명하지 못한 것 같습니다.

      (p.s. 첫 번째 증명에서 무한강하법을 사용하였는데 gcd(xy, p) = 1이라는 문제 조건이 있으니까 그냥 a,b,c,d 중 적어도 하나가 p의 배수가 되니까 모순이다 이렇게 끝내도 될 것 같네요.)

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    •  
      pure math Lv.7 2022.02.06 11:13

      아 이거 그 gcd그거 있잖아요 그거는 힌트일 뿐이고 gcd랑 문제는 다른 거에요! gcd랑 x,y의 조건은 다른거에요!

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    •  
      pure math Lv.7 2022.02.06 11:15

      그리고 새벽에 써서 a,b,c,d는 결국 원래의 식과 같아지니(우변이 p인 경우로) 결국 해가 한개다. 라는 걸 깜빡했네요!!

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    •  
      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.06 11:50

      흠... 그러면 gcd(xy, p)가 1이 아니어도 된다는 뜻인가요?

      하지만 그러면 p = 7, a = 3일 때 (x,y) = (14, 7), (10, 9)로 해가 2개가 나오는데요.

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    •  
      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.06 11:58

      아무래도 p = 3k+1일 때의 증명에서 p의 지수는 유한하므로 반복하다 보면 언젠간 p의 지수가 더 이상 반복할 수 없을테고, 이때 a,b,c의 지수도 더 이상 커지지 않으므로 무한강하를 쓰는 것이 불가능해 보입니다.

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    •  
      pure math Lv.7 2022.02.06 12:55

      첫 번쨰 질문의 답은

      a가 홀수일 때는 원래의 p일때의 해에 p의 짝수 지수를 곱하면 해가 나오니 이것을 별개로 해가 1개가 나오고, 

      나머지는 gcd(xy,p)=1일때의 근이 나오는 것이죠!

      새벽에 써서 정리를 못하고 생각나는 것만 적다보니;; 지금 정리하고 있습니다!

       

      그리고 두 번쨰 질문의 답은 무한강하라는 표현이 조금 이상했는데.......

      계속 p로 나누면 원래의 x^2+3y^2=p 라는 식이 나오니 이것은 그전의 증명을 통해서 할 수 있습니다!

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    •  
      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.06 13:05

      아하! 그런 거군요 제가 처음에 문제 이해를 약간 잘못해서 조금 헤멨는데 저도 본격적으로 풀어보겠습니다.

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    •  
      pure math Lv.7 2022.02.06 13:54

      p가 3일땐 어떻게 할까요?

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  •  
    부분해결
    pure math Lv.7 2022.02.06 14:11

    2)

    풀었습니다...

    답은 총정리 페이지에 있습니다!

    감사

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    •  
      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.06 15:44

      저는 감이 잘 안 와서 C언어로 50 이하의 모든 소수 p와 1~10 정도의 a로 모든 정수해를 구해보았습니다.

      그 결과 p가 3k+2, 3일 때는 님이 구한 답이랑 일치하였습니다.(단, p = 2일 때는 a가 짝수면 부호 무시했을 때 2개, a가 홀수면 0개가 나왔습니다)

      하지만 p가 3k+1일 때는 a가 짝수면 서로소인 해 1개, 서로소 아닌 해 a/2개가 나왔고 a가 홀수면 서로소인 해 1개, 서로소 아닌 해 (a-1)/2개가 나오네요.

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    •  
      pure math Lv.7 2022.02.06 16:01

      아아 수정하겠습니다;;

      p가 3k+1일때 

      서로소가 아닐때, 강하를 계속 하여서 원래의 식으로 만들었잖아요??

      한번 강하를 할때는 한 개의 순수근(서로소 근)이 나오고, 두번 하면 두개가 나오고... 이렇게 해서 원래의 식이 될때까지 강하를 하면 

      그 강하를 한 때의 순수근은 a가 짝수일 때 a/2개가 나오고, 홀수면 (a-1)/2개가 나옵니다. 이것들까지 포함시켜서 개수를 세면 a가 짝수일 때 a/2개가 나오고, 홀수면 (a-1)/2개가 나오겠죠.

      그래서, 총정리에서 답을 수정하면,

      p가 3k+1일때, 

      서로소근은 1개가 나오고, 서로소가 아닌 근은 a가 짝수일 때 a/2개가 나오고, 홀수면 (a-1)/2개가 나옵니다. 이것을 +,-까지 포함해서 계산을 하면, 모든 정수근까지 나오겠지요.

      그전의 개수는 0을 포함한 자연수 근의 개수입니다!

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    •  
      pure math Lv.7 2022.02.06 16:06

      그리고...혹시... C언어 코드좀...아예 모르지만...한번 해보고 싶어서요...

      좋아요0
    •  
      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.06 16:22

      #include <stdio.h>
      #include <math.h>

      int main()
      {
          int a[15] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47};
          int i, j;
          unsigned long long number, y;
          for (i = 0; i <= 14; i++) {
              for (j = 1; j <= 13; j++) {
                  number = pow(a[i], j);
                  for (y = 0; y <= floor(sqrt(number / 3)); y++) {
                      if (sqrt(number - 3*y*y) == floor(sqrt(number - 3*y*y))) {
                          printf("p = %d and b = %d -> x = %f and y = %llu \n", a[i], j, sqrt(number - 3*y*y), y);
                      }
                  }
              }
          }
          return 0;
      }

      이거입니다. 처음의 {2,3,5,..47} 이거가 50 이하의 소수 리스트이므로 소수를 추가하거나 빼고 싶으면 안에 더 넣거나 빼면 됩니다. j = 1; j <= 13; j++ 여기서 1~13이 a의 범위이므로 j의 범위를 수정할 수 있습니다. (예를 들어 2~10으로 하고 싶으면 j = 2; j <= 10; j++ 이렇게 하면 됩니다) 그런데 주의할 점이 있다면 거듭제곱 꼴은 수가 매우 커질 수 있기 때문에 j의 값이 너무 커지면 모든 해를 출력하지 못하거나 엉뚱한 수를 출력할 수 있습니다. (저도 C언어 그다지 잘하는 편은 아니라서..ㅎㅎ )13으로 해놓으면 p가 19, 11로 해놓으면 p가 37 쯤에서 이상해지네요.

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    •  
      pure math Lv.7 2022.02.06 16:31

      감사합니다! 꼭 한번 해보겠습니다! 수학 코딩이라!

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    •  
      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.06 19:21

      흠 근데 곰곰이 살펴보니 p = 3k+2일 때 p^2a = 3(ad+bc)^2 + (ac-3bd)^2 = 4(ad)^2 이 식 아무래도 틀린 것 같습니다.

      b = 0이라고 했을 때 3(ad)^2 + (ac)^2 = 4(ad)^2 가 성립할 리가 없지 않나요?

      답은 맞는 것 같긴 한데, 증명에 수정이 필요할 것 같습니다.

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    •  
      pure math Lv.7 2022.02.06 19:50

      어 그러네요 알파벳 잘못 봤네요!

      b가 0이면, p^a=a^2이 되니 a=p^(a/2)이 되니, 

      사진 속 밑의 식처럼 x=p^(a/2), y=0이 되서 증명이 됩니다!

      제 증명 깊이 봐서 오류를 찾아주셔서 감사합니다! 

      세상살이 이렇게 같이 즐겁게 사는 거죠!(?)

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    •  
      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.06 20:06

      어...그런건가요? 그런데 x,y는 위에서 이미 정의해놓았고, 저 식이 틀리면 해가 1개라는 증명이 무산되는 건 아닌가요?

      2번은 상당히 헷갈리는 문제네요..저도 더 고민해보겠습니다.

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    •  
      pure math Lv.7 2022.02.06 20:09

      아아 원래는 틀렸다고 했는데 이제 보니 해가 하나 나와요!

      근데 원래는 식이 틀렸다고 했고, 이 모든 식과 별개로 하나의 해가 존재하니 이 해가 유일한 해다. 이렇게 했었거든요.

      근데 이 기회로 완전한 식으로 해가 하나밖에 나오지 않는다. 이걸로 증명을 하니 증명이 더 탄탄해진 거죠!

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    •  
      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.06 21:09

      글쎼요..하지만 그런 접근은 3(ad)^2 + (ac)^2 = 4(ad)^2 이 식이 참일 때만 성립하는데요.

      애초에 이 식 자체가 알파벳 실수로 인해서 나온 잘못된 식이므로, 이 식 이후의 모든 증명은 수정이 필요하지 않을까요?

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      pure math Lv.7 2022.02.06 21:14

      어떤 접근을...말하시는 거에요??

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      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.06 21:22

      음 간단히 요약하자면 3(ad)^2 + (ac)^2 = 4(ad)^2이 식 자체가 알파벳을 잘못 봐서 나온 잘못된 식이므로 애초에 활용할 수 없는 잘못된 식이라는 뜻입니다.

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      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.06 21:23

      그러니까..아마 수정이 필요할 것 같네요...고민해보겠습니다.

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      pure math Lv.7 2022.02.06 21:26

      아 네 맞아요 그거 사용할 수 없어요! 근데, 기존의 식 p^a=a^2+3b^2에서 b에 0을 대입하여서 그전의 댓글이 된 것이에요! 그전의 식은 사용 안한거에요!

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      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.06 21:38

      근데 그러면 b가 1 이상일 때의 정수해가 없다는 보장이 없지 않나요?(으아 진짜 헷갈리네요)

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      pure math Lv.7 2022.02.06 21:43

      아 이거 우선 확실한 해 하나 잡아놓고 해가 하나 더 있으면 안된다! 라는 그 식을 써서 아예 나머지 해가 없도록 증명을 한 것이에요!

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      진리를 찾아서 Lv.5 2022.02.06 21:47

      진짜진짜 죄송한데

      혹시 3k+2일 때 풀이를 말로 풀어서 써주실 수 있을까요? 진짜 죄송한 부탁이지만 이해가 잘 안 되서요... 부탁합니다.

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      pure math Lv.7 2022.02.06 21:53

      일단은 주요만 설명드릴게요.

      우선, 확실한 해는 x=p^(a/2), y=0이다.

      이 친구들을 a,b라 하고, 나머지 다른 한 근이 있다면, c,d라 하자. 

      p=3k+1때 썼던 방법으로 하면(이건 쓸 게 너무 많아서...) c,d는 존재하지 않는다.

      그래서, a,b 근 한개만 있는 것이다.

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      유지연_매니저 Lv.15 2022.02.08 17:26

      pure math님과 진리를 찾아서님의 문제 푸는 모습 너무 멋져요~!
      현재 폴리매스 어셈블 멘토분들에게 문제 풀이 확인 요청을 드렸어요~ 3일 이내에 답변 주실거예요!

      조금 기다려주세요~ 

      감사합니다!

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      유태영 멘토 Lv.3 2022.02.21 00:28

      풀이과정에 변수가 겹치는 등의 오류가 있습니다. 

      또한 3k+1꼴 소수의 경우 해 counting이 잘못되었습니다. (xy,p)가 1이 아닌 경우를 다시 생각해보세요.

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      pure math Lv.7 2022.02.21 22:06

      아 저기 위에 댓글에 있습니다! 저기서 진리를 찾아서님과 함께 카운팅 수정 했습니다! 원하신다면 정리해서 드리겠습니다!

      부분해결... 정말 감사합니다...

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      유태영 멘토 Lv.3 2022.02.23 10:37

      넵 카운팅 확인했습니다.

      여담으로, 서술 과정에서 동치 기호 등의 수학 기호의 사용을 조금 더 신경 쓰는 것이 좋을 듯 합니다.

      또한 "계속 반복하면", "그래서" 등의 구어체보다는 그 반복 구간을 a라 지칭하고 a를 반복한다거나, "따라서" 같은 표현을 쓰는 것이 조금 더 명확할 것 같습니다.

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      pure math Lv.7 2022.02.23 14:01

      아아;; 문법 확인하겠습니다! 명확해져야 되겠군요... 존경하고, 싸랑합니다! 헤헤

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    pure math Lv.7 2022.02.06 20:00
    확인요청중

    3번 문제에 관하여

    3번 문제의 개수(S집합 관여 X)는 2번 문제에서 y가 3의 배수일때의 개수만 구하면 되죠. 그러면 제가 2번 문제를 푼 총정리에서(밑의 댓글 참고해서 약간의 수정이 있었음, 수정은 댓글에 있음) 3의 배수인 것들이 다 나와요! 그것들을 정리하고, 특정 경우에 한해 3의 배수를 증명, 그 후에 S집합 정의 후 증명하면 될 것 같아요!

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    pure math Lv.7 2022.02.07 19:37
    확인요청중

    P=3일때는 (3번 문제)

    x^2+27y^2=3^a, x=3x'이라 하면 x'^2+3y^2=3^(a-1)이 됩니다.

    그리고 뒤의 저의 2번 문제의 답에서 

    이 식의 해가 a=짝수일때 x'=3^(a/2), y=0이 나오고

    a=홀수일때 x'은 0, y=3^(a-1)/2가 나옵니다. 여기에 x'에 3을 곱해주면

     

    a=짝수, x=3^(a/2+1), y=0이 나오고

    a=홀수, x=0, y=3^(a-1)/2가 나옵니다.

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      유태영 멘토 Lv.3 2022.02.23 10:40

      p=3인 경우에 대해서는 답안이 거의 맞습니다. 부호 고려가 빠졌네요.

      항상 답을 주장할 때에는 최종 고려 사항까지 마친 후 문제에서 요구하는 것을 정확히 제시하는 것이 중요합니다.

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      pure math Lv.7 2022.02.23 13:59

      아아 부호 고려는 그냥 하지 않았습니다;; 일반적인 자연수 (0포함) 에서 0이 포함되면 2배, 다 자연수면 4배하면 되서... 원하신다면 부호 고려까지 하겟습니다!

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