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[대한수학회] 대58. 방정식의 정수 해는 몇 개일까?
수학동아 2021.09.30 15:39 조회 1349

대한수학회 58번

 

방정식의 정수 해는 몇 개일까?

 

 

문제 출제자 : 오병권 서울대학교 수리과학부 교수

 

 

정수 전체의 집합을 Z라 하고, 소수 전체의 집합을 P라 정의하자. 또한, 집합 S에 대하여 \left | S \right |S의 원소의 개수를 말한다. 정수 계수의 이변수 다항식 f(x,y)와 정수 n에 대하여

 

R(n,f(x,y))=\left \{ (x,y) \in \mathbb{Z}^{2}:f(x,y)=n\right \}, r(n,f(x,y))=\left | R(n,f(x,y)) \right |

 

라 정의하자. 예를 들어,

 

R(5,x^{2}+y^{2})=\left \{ \pm(2,1),\pm(2,-1),\pm (1,2)\pm (1,-2) \right \} r(5,x^{2}+y^{2})=8

 

이다.

 

 

(i) 임의의 소수 p에 대하여,

 

p-1은 3의 배수이다 ⇐⇒ x^{2}+3p의 배수인 정수 x가 존재한다

 

임을 이용하여 r(p,x^{2}+3y^{2})을 구하여라.

 

 

(ii) 임의의 소수 p와 양의 정수 a에 대하여

 

\left | \left \{ (x,y)\in \mathbb{Z}^{2}:x^{2}+3y^{2}=p^{a}, gcd(xy,p)=1\right \} \right |

 

을 구하여라. 이를 이용하여 r(p^{a},x^{2}+3y^{2})을 구하여라.

 

이제

 

S:=\left \{ p\in P:r(p,x^{2}+27y^{2})=0 \right \}

 

T:=\left \{ p\in P:r(p,x^{2}+27y^{2})\neq 0 \right \}=\left \{ 31, 43, 109,\cdots \right \}

 

이라 정의하자.

 

 

(iii) 임의의 소수 p\in S와 양의 정수 a에 대하여, r(p^{a},x^{2}+27y^{2})을 구하여라.

 

 

(iv) 임의의 소수 p\in T와 양의 정수 a에 대하여, r(p^{a},x^{2}+27y^{2})을 구하여라.

 

 

(v) 임의의 소수 p, q\in T와 양의 정수 a, b에 대하여, r(p^{a},q^{b}, x^{2}+27y^{2})을 구하여라.

 

 

 

 

 

 

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대한수학회 58번 문제가 너무 어렵나요? 그렇다면 문제를 출제해주신 오병권 교수님의 문제 풀이 일부분을 참고해보세요! 교수님께서 특별히 제공해주셨습니다.

 

 

<오병권 교수님의 58번 문제 풀이 일부>

 

 

p-1이 3의 배수라고 하자. 당연히 p\geq 7이다. 또한, 주어진 힌트에 의하여 x^{2}+3이 p의 배수인 정수 x가 존재한다. 따라서 방정식 x^{2}+3y^{2}=ap가 정수해 x, y를 갖는 양의 정수 a가 존재한다. 그러한 양의 정수 a 가운데 가장 작은 양의 정수를 m이라 하자. 즉, 방정식

 

 

x^{2}+3y^{2}=mp

 

 

를 만족하는 정수 x, y가 존재하지만, n< m인 양의 정수 n에 대해서는 x^{2}+3y^{2}=np는 정수 해가 존재하지 않는다고 가정하자. 이제 m=1임을 보이자. 우선

 

 

x_{0}\equiv x     (\mathrm{mod} p)               y_{0}\equiv y    (\mathrm{mod} p),           -\frac{p}{2}< x_{0}, y_{0}< -\frac{p}{2}

 

 

인 정수 x_{0}, y_{0}에 대해서도 x_{0}^{2}+3y_{0}^{2}은 p의 배수이고 x_{0}^{2}+3y_{0}^{2}< p^{2}이므로 m< p라 가정할 수 있다. m\geq 2라 가정하자. 정수 a, b

 

 

a\equiv x     (\mathrm{mod} m)               b\equiv y     (\mathrm{mod} m),                -\frac{m}{2}< a, b< -\frac{m}{2}

 

 

을 만족하도록 잡자. 만약 m=2m_{0}를 만족하는 짝수이고 a=b=-m_{0}라면 m_{0}^{2}\mid x^{2}+3y^{2}=2m_{0}p를 만족하므로 m_{0}=2이고 x, y는 짝수이며 (\frac{x}{2})^{2}+(\frac{y}{2})^{2}=p이므로 증명이 끝난다. 따라서 a또는 b가운데 하나는 -\frac{m}{2}보다 크다고 가정할 수 있다. 또한 a=b=0이면 x, y는 m의 배수가 되고 m=1또는 m=p가 되어 모순이다. 한편,

 

 

a^{2}+3b^{2}\equiv x^{2}+3y^{2}\equiv 0     (\mathrm{mod} m)

 

 

이므로 a^{2}+3b^{2}=mt를 만족하는 양의 정수 t가 존재한다. 또한

 

 

mt   imes mp=(a^{2}+3b^{2})(x^{2}+3y^{2})=(ax+3by)^{2}+3(ay-bx)^{2}

 

 

이 성립하고

 

 

ax+3by\equiv a^{2}+3b^{2}\equiv 0     (\mathrm{mod} m)               ay-bx\equiv ab-ba=0     (\mathrm{mod} m)

 

 

을 만족하므로

 

 

(\frac{ax+3by}{m})^{2}+3(\frac{ay-bx}{m})^{2}=pt

 

 

가 성립한다. 즉, 방정식 x^{2}+3y^{2}=pt도 역시 정수해가 존재한다. 마지막으로

 

 

mt=a^{2}+3b^{2}< \frac{m^{2}}{4}+\frac{3m^{2}}{4}=m^{2}

 

 

이므로 t< m이고, 이는 가정에 모순이다. 따라서 최소의 정수 m은 1이다. 즉, x^{2}+3y^{2}=p는 정수 해가 존재한다.

 

 

끝.

 

  •  
    Scubed Lv.6 2021.09.30 20:01

    쉽게 말해서

    R은 정수해의 집합을 말하는 것이고 r은 정수해의 개수를 말하는 거라고 보시면 됩니다

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  •  
    tlatlago Lv.3 2021.11.21 21:01

    5번문제의 "r(p^{a},q^{b}, x^{2}+27y^{2})" 에서 p^a,q^b가 정확히 어떤 것을 의미하는지 모르겠습니다. (p^a)x(q^b) 을 의미하는 것 인가요?

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  •  
    tlatlago Lv.3 2021.11.24 05:34 비밀댓글
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    tlatlago Lv.3 2021.11.24 21:59 비밀댓글
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    tlatlago Lv.3 2021.11.30 00:55 비밀댓글
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