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[대한수학회] 대58. 방정식의 정수 해는 몇 개일까?
수학동아 2021.09.30 15:39 조회 276

정수 전체의 집합을 Z라 하고, 소수 전체의 집합을 P라 정의하자. 또한, 집합 S에 대하여 \left | S \right |S의 원소의 개수를 말한다. 정수 계수의 이변수 다항식 f(x,y)와 정수 n에 대하여

 

R(n,f(x,y))=\left \{ (x,y) \in \mathbb{Z}^{2}:f(x,y)=n\right \}, r(n,f(x,y))=\left | R(n,f(x,y)) \right |

 

라 정의하자. 예를 들어,

 

R(5,x^{2}+y^{2})=\left \{ \pm(2,1),\pm(2,-1),\pm (1,2)\pm (1,-2) \right \} r(5,x^{2}+y^{2})=8

 

이다.

 

 

(i) 임의의 소수 p에 대하여,

 

p-1은 3의 배수이다 ⇐⇒ x^{2}+3p의 배수인 정수 x가 존재한다

 

임을 이용하여 r(p,x^{2}+3y^{2})을 구하여라.

 

 

(ii) 임의의 소수 p와 양의 정수 a에 대하여

 

\left | \left \{ (x,y)\in \mathbb{Z}^{2}:x^{2}+3y^{2}=p^{a}, gcd(xy,p)=1\right \} \right |

 

을 구하여라. 이를 이용하여 r(p^{a},x^{2}+3y^{2})을 구하여라.

 

이제

 

S:=\left \{ p\in P:r(p,x^{2}+27y^{2})=0 \right \}

 

T:=\left \{ p\in P:r(p,x^{2}+27y^{2})\neq 0 \right \}=\left \{ 31, 43, 109,\cdots \right \}

 

이라 정의하자.

 

 

(iii) 임의의 소수 p\in S와 양의 정수 a에 대하여, r(p^{a},x^{2}+27y^{2})을 구하여라.

 

 

(iv) 임의의 소수 p\in T와 양의 정수 a에 대하여, r(p^{a},x^{2}+27y^{2})을 구하여라.

 

 

(v) 임의의 소수 p, q\in T와 양의 정수 a, b에 대하여, r(p^{a},q^{b}, x^{2}+27y^{2})을 구하여라.

  •  
    Scubed Lv.6 2021.09.30 20:01

    쉽게 말해서

    R은 정수해의 집합을 말하는 것이고 r은 정수해의 개수를 말하는 거라고 보시면 됩니다

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