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[대한수학회] 대58. 방정식의 정수 해는 몇 개일까?

수학동아 2021.09.30 15:39 조회 1349

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대한수학회 58번

방정식의 정수 해는 몇 개일까?

문제 출제자 : 오병권 서울대학교 수리과학부 교수

정수 전체의 집합을 $Z$ 라 하고, 소수 전체의 집합을 $P$ 라 정의하자. 또한, 집합 $S$ 에 대하여 $\left | S \right |$ 는 $S$ 의 원소의 개수를 말한다. 정수 계수의 이변수 다항식 $f(x,y)$ 와 정수 $n$ 에 대하여

$R(n,f(x,y))=\left \{ (x,y) \in \mathbb{Z}^{2}:f(x,y)=n\right \}$ , $r(n,f(x,y))=\left | R(n,f(x,y)) \right |$

라 정의하자. 예를 들어,

$R(5,x^{2}+y^{2})=\left \{ \pm(2,1),\pm(2,-1),\pm (1,2)\pm (1,-2) \right \}$ $r(5,x^{2}+y^{2})=8$

이다.

(i) 임의의 소수 $p$ 에 대하여,

$p-1$ 은 3의 배수이다 ⇐⇒ $x^{2}+3$ 이 $p$ 의 배수인 정수 $x$ 가 존재한다

임을 이용하여 $r(p,x^{2}+3y^{2})$ 을 구하여라.

(ii) 임의의 소수 $p$ 와 양의 정수 $a$ 에 대하여

$\left | \left \{ (x,y)\in \mathbb{Z}^{2}:x^{2}+3y^{2}=p^{a}, gcd(xy,p)=1\right \} \right |$

을 구하여라. 이를 이용하여 $r(p^{a},x^{2}+3y^{2})$ 을 구하여라.

이제

$S:=\left \{ p\in P:r(p,x^{2}+27y^{2})=0 \right \}$

$T:=\left \{ p\in P:r(p,x^{2}+27y^{2})\neq 0 \right \}=\left \{ 31, 43, 109,\cdots \right \}$

이라 정의하자.

(iii) 임의의 소수 $p\in S$ 와 양의 정수 $a$ 에 대하여, $r(p^{a},x^{2}+27y^{2})$ 을 구하여라.

(iv) 임의의 소수 $p\in T$ 와 양의 정수 a에 대하여, $r(p^{a},x^{2}+27y^{2})$ 을 구하여라.

(v) 임의의 소수 $p, q\in T$ 와 양의 정수 a, b에 대하여, $r(p^{a},q^{b}, x^{2}+27y^{2})$ 을 구하여라.

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대한수학회 58번 문제가 너무 어렵나요? 그렇다면 문제를 출제해주신 오병권 교수님의 문제 풀이 일부분을 참고해보세요! 교수님께서 특별히 제공해주셨습니다.

<오병권 교수님의 58번 문제 풀이 일부>

$p-1$ 이 $3$ 의 배수라고 하자. 당연히 $p\geq 7$ 이다. 또한, 주어진 힌트에 의하여 $x^{2}+3$ 이 $p$ 의 배수인 정수 $x$ 가 존재한다. 따라서 방정식 $x^{2}+3y^{2}=ap$ 가 정수해 $x, y$ 를 갖는 양의 정수 $a$ 가 존재한다. 그러한 양의 정수 $a$ 가운데 가장 작은 양의 정수를 $m$ 이라 하자. 즉, 방정식

$x^{2}+3y^{2}=mp$

를 만족하는 정수 $x, y$ 가 존재하지만, $n< m$ 인 양의 정수 $n$ 에 대해서는 $x^{2}+3y^{2}=np$ 는 정수 해가 존재하지 않는다고 가정하자. 이제 $m=1$ 임을 보이자. 우선

$x_{0}\equiv x$ $(\mathrm{mod} p)$ $y_{0}\equiv y$ $(\mathrm{mod} p),$ $-\frac{p}{2}< x_{0}, y_{0}< -\frac{p}{2}$

인 정수 $x_{0}, y_{0}$ 에 대해서도 $x_{0}^{2}+3y_{0}^{2}$ 은 $p$ 의 배수이고 $x_{0}^{2}+3y_{0}^{2}< p^{2}$ 이므로 $m< p$ 라 가정할 수 있다. $m\geq 2$ 라 가정하자. 정수 $a, b$ 를

$a\equiv x$ $(\mathrm{mod} m)$ $b\equiv y$ $(\mathrm{mod} m),$ $-\frac{m}{2}< a, b< -\frac{m}{2}$

을 만족하도록 잡자. 만약 $m=2m_{0}$ 를 만족하는 짝수이고 $a=b=-m_{0}$ 라면 $m_{0}^{2}\mid x^{2}+3y^{2}=2m_{0}p$ 를 만족하므로 $m_{0}=2$ 이고 $x, y$ 는 짝수이며 $(\frac{x}{2})^{2}+(\frac{y}{2})^{2}=p$ 이므로 증명이 끝난다. 따라서 $a$ 또는 $b$ 가운데 하나는 $-\frac{m}{2}$ 보다 크다고 가정할 수 있다. 또한 $a=b=0$ 이면 $x, y$ 는 $m$ 의 배수가 되고 $m=1$ 또는 $m=p$ 가 되어 모순이다. 한편,

$a^{2}+3b^{2}\equiv x^{2}+3y^{2}\equiv 0$ $(\mathrm{mod} m)$

이므로 $a^{2}+3b^{2}=mt$ 를 만족하는 양의 정수 $t$ 가 존재한다. 또한

$mt imes mp=(a^{2}+3b^{2})(x^{2}+3y^{2})=(ax+3by)^{2}+3(ay-bx)^{2}$

이 성립하고

$ax+3by\equiv a^{2}+3b^{2}\equiv 0$ $(\mathrm{mod} m)$ $ay-bx\equiv ab-ba=0$ $(\mathrm{mod} m)$

을 만족하므로

$(\frac{ax+3by}{m})^{2}+3(\frac{ay-bx}{m})^{2}=pt$

가 성립한다. 즉, 방정식 $x^{2}+3y^{2}=pt$ 도 역시 정수해가 존재한다. 마지막으로

$mt=a^{2}+3b^{2}< \frac{m^{2}}{4}+\frac{3m^{2}}{4}=m^{2}$

이므로 $t< m$ 이고, 이는 가정에 모순이다. 따라서 최소의 정수 $m$ 은 $1$ 이다. 즉, $x^{2}+3y^{2}=p$ 는 정수 해가 존재한다.

끝.

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Scubed Lv.6 2021.09.30 20:01

쉽게 말해서

R은 정수해의 집합을 말하는 것이고 r은 정수해의 개수를 말하는 거라고 보시면 됩니다

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tlatlago Lv.3 2021.11.21 21:01

5번문제의 " $r(p^{a},q^{b}, x^{2}+27y^{2})$ " 에서 p^a,q^b가 정확히 어떤 것을 의미하는지 모르겠습니다. (p^a)x(q^b) 을 의미하는 것 인가요?

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tlatlago Lv.3 2021.11.24 05:34 비밀댓글

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tlatlago Lv.3 2021.11.24 21:59 비밀댓글

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tlatlago Lv.3 2021.11.30 00:55 비밀댓글

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