폴리매스

대한수학회 54번

어색한 모임

문제 출제자 : 현윤석 인하대학교 수학과 교수

교수님께 확인 결과 f 와  모두 같은 것을 의미한다고 합니다.

문제를 수정했으니 참고해서 풀어주세요!

만약 어떤 집합들의 모임 가 다음 두 조건을 만족하 면, 이 모임을 ”어색한 모임” 이라고 부르고, 이 때 를 모임의 ”연합 숫자” 라고 하자.

(1) 임의의 에 대해  가 되는 집합 가 존재한다.

(2) 임의의 에 대해, 는 공집합이 아니다.

예를 들어, 각 집합이 공집합이고, 그 어떤 두 개의 집합도 공통 원소를 가 지고 있지 않은 집합들의 모임은 ”어색한 모임”이 된다. (를 공집합이라고 두면 된다.) 이제 다음 문제들을 풀어보자.

1번. 집합들의 모임 에 속하는 각 집합들의 원소의 개수가 로 같다고 하자. 만약 에 속하는 집합의 개수가  보다 크면, 중에 적당히 개의 집합을 골라 연합 숫자가 인 ”어색한 모임” 을 만들 수 있음을 보여라.

2번. 집합 들은 모두 원소의 개수가 이며, 그 어떤 두 개를 골라도 교집합이 공집합이라고 하자. 이제 다음을 만족하는 집합를 모두 모아 만든 집합들의 모임을 라 하자.

의 원소의 개수는 이고, 임의의 에 대해 의 원소의 개수는 1이다.

는 연합 숫자가 인 ”어색한 모임”을 부분집합으로 가지지 않음을 보여라.

3번. 양의 정수 가 을 만족한다. 집합들의 모임 에 속 하는 집합들은 모두 원소의 개수가 이며, 1이상 이하의 양의 정수만 원소로 갖는다고 하자. 는 연합 숫자가 인 ”어색한 모임”을 부분집합으로 가지지 않음을 보여라.

”어색한 모임”을 조금 더 일반화 시켜, 다음과 같은 모임을 생각할 수 있다. 어떤 집합들의 모임 에 대해, 로 정의할 때, 만약 모든 에 대해 가 공집합이 아니면, 를 ” 적당히 어색한 모임” 이라고 하고, 를 이 모임의 연합 숫자, 에 속하는 원소들을 ”공통 회원” 이라고 한다.

4번. 집합들의 모임 에 속하는 각 집합들의 원소의 개수가 항상 이하라고 하자. 만약 F에 있는 집합의 개수가 보다 크면, 중에 적당히 개의 집합을 골라 연합 숫자가 이고 공통 회원의 숫자가 보다 작은 ”적당히 어색한 모임”을 만들 수 있음을 보여라.