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[대한수학회] 대54. 어색한 모임
수학동아 2021.06.03 14:32 조회 1102

교수님께 확인 결과 f 와 \small f 모두 같은 것을 의미한다고 합니다.

문제를 수정했으니 참고해서 풀어주세요!

 

\small k^{s}만약 어떤 집합들의 모임 f=\left \{ S_{1},S_{2},\cdots ,S_{k}\right \}가 다음 두 조건을 만족하 면, 이 모임을 ”어색한 모임” 이라고 부르고, 이 때 \small k를 모임의 ”연합 숫자” 라고 하자.

(1) 임의의 \small 1\leq i< j\leq k 에 대해  S_{i}\cap S_{j}=Y가 되는 집합 \small Y 가 존재한다.

(2) 임의의 \small 1\leq i\leq k에 대해, \small S_{i}-Y는 공집합이 아니다.

예를 들어, 각 집합이 공집합이고, 그 어떤 두 개의 집합도 공통 원소를 가 지고 있지 않은 집합들의 모임은 ”어색한 모임”이 된다. (\small Y를 공집합이라고 두면 된다.) 이제 다음 문제들을 풀어보자.

 

1번. 집합들의 모임 \small f에 속하는 각 집합들의 원소의 개수가 \small s로 같다고 하자. 만약 \small f에 속하는 집합의 개수가 \small s!(k-1)^{s} 보다 크면, \small f중에 적당히 \small k개의 집합을 골라 연합 숫자가 \small k인 ”어색한 모임” 을 만들 수 있음을 보여라.

 

2번. 집합 \small V_{1}, V_{2}, \cdots ,V_{s}들은 모두 원소의 개수가 \small k-1이며, 그 어떤 두 개를 골라도 교집합이 공집합이라고 하자. 이제 다음을 만족하는 집합\small S를 모두 모아 만든 집합들의 모임을 \small f라 하자.

\small S의 원소의 개수는 \small s이고, 임의의 \small 1\leq i\leq s에 대해 \small S\cap V_{i}의 원소의 개수는 1이다.

\small f는 연합 숫자가 \small k인 ”어색한 모임”을 부분집합으로 가지지 않음을 보여라.

 

3번. 양의 정수 \small n, k, s\small n-k+1<s\leq n을 만족한다. 집합들의 모임 \small f에 속 하는 집합들은 모두 원소의 개수가 \small s이며, 1이상 \small n이하의 양의 정수만 원소로 갖는다고 하자. \small f는 연합 숫자가 \small k인 ”어색한 모임”을 부분집합으로 가지지 않음을 보여라.

”어색한 모임”을 조금 더 일반화 시켜, 다음과 같은 모임을 생각할 수 있다. 어떤 집합들의 모임 \small \mathfrak{G}=\left \{ S_{1}, S_{2},\cdots ,S_{k}\right \}에 대해, \small Y(\mathfrak{G})=\bigcup_{i\neq j}^{}(S_{i}\cap S_{j})로 정의할 때, 만약 모든 \small 1\leq i\leq k에 대해 \small S_{i}-Y(\mathfrak{G})가 공집합이 아니면, \small \mathfrak{G}를 ” 적당히 어색한 모임” 이라고 하고, \small k를 이 모임의 연합 숫자, \small Y(\mathfrak{G})\small Y\left ( \mathfrak{G} \right )에 속하는 원소들을 ”공통 회원” 이라고 한다.

 

4번. 집합들의 모임 \small f에 속하는 각 집합들의 원소의 개수가 항상 \small s이하라고 하자. 만약 F에 있는 집합의 개수가 \small k^{s}보다 크면, \small f중에 적당히 \small k+1개의 집합을 골라 연합 숫자가 \small k+1이고 공통 회원의 숫자가 \small s보다 작은 ”적당히 어색한 모임”을 만들 수 있음을 보여라.

  •  
    A math Lv.6 2021.06.03 23:33

    1번의 F는 뭐죠? f의 오타인가요?

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수4
    •  
      A math Lv.6 2021.06.03 23:33

      이해가 안 돼서요. 

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    •  
      김미래_기자 Lv.6 2021.06.15 09:52

      다른 에프입니다! 표현할 수 있는 기호가 없어서 그렇게 했어요ㅠ

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    •  
      구머 Lv.5 2021.06.16 20:40

      ?? 달라요?

      그럼 F는 뭐하는 친구인거죠

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    •  
      에프매스 2021.06.17 13:29

      같은 \small f라고 합니다! 죄송해요~!

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  •  
    구머 Lv.5 2021.06.05 17:40

    여론조사 합니다.

    1,2번을 푼 상태인데, 이를 공개댓글로 풀이를 올려 다른 사람들이 3,4번을 푸는데 도움을 주는 게 나을까요? 아니면 비댓으로 올릴까요?

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
    •  
      Scubed Lv.6 2021.06.05 21:49

      문제 이해도 못한 사람에게는 풀이가 있으나 마나 똑같을 거라고 생각합니다.

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  •  
    구머 Lv.5 2021.06.05 23:42

    2,3번 공개 / 1,4번 비공개로 하겠습니당.

    오늘 내일 풀이 올릴게여

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  •  
    구머 Lv.5 2021.06.09 00:29

    학기말이라 상당히 바쁘군요ㅜㅜ.

    풀이 개요만 올려놓고 시간날 때마다 하나씩 채워넣겠습니다. 다른 분들도 개요를 힌트삼아 문제 푸는데 도움이 되셨으면 합니다!

     

    53-1  <- 파일링크

    계속 업데이트 됩니당

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수2
    •  
      giplee Lv.8 2021.06.09 16:20

      구머님 안녕하세요 :ㅇ

      다름이 아니라 구머님께서 올리신 파일 링크를 누르면 404not found라고 나와요

      꼭 보고 싶습니다...

      좋아요0
    •  
      구머 Lv.5 2021.06.09 18:00

      오 이런...수정했습니다

      좋아요0
  •  
    구머 Lv.5 2021.06.16 20:57
    확인요청중

    문제1 풀이

    1번풀이

    ^

    파일링크

    댓글 작성하기 좋아요1 댓글수2
    •  
      김미래_기자 Lv.6 2021.06.17 21:41

      김다인 멘토께서 정답이라고 확인해주셨어요~.

       

      짝짝짝~!

      좋아요0
    •  
      호리병 Lv.2 2021.06.19 10:19

      와 대단해요

      좋아요0
  •  
    구머 Lv.5 2021.06.21 00:26
    확인요청중

    일해라 구머

    .

    문제2 풀이

    2번풀이

    ^

    |

    파일링크

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수0
  •  
    구머 Lv.5 2021.06.24 03:51
    확인요청중

    일했다 구머

    .

    문제3 풀이

    3번풀이

    ^

    |

    파일링크

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수0
  •  
    구머 Lv.5 2021.06.24 03:52

    4번 풀이가 될 자리

    .

    (준비중입니다)

    ^

    |

    파일링크

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  •  
    조선최고수학자홍정하 Lv.2 2021.06.27 23:22 비밀댓글
    확인요청중
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