본문바로가기
폴리매스 문제
아직 아무도 답을 모르는 문제에 도전하세요!
[대한수학회] 대53. 예각삼각형의 세 꼭짓점
수학동아 2021.05.04 13:31 조회 3631

대한수학회 53번

 

예각삼각형의 세 꼭짓점

 

 

문제 출제자 : 서인석 서울대학교 수리과학부 교수

 

 

1. 정n각형의 세 꼭짓점을 공평하게 선택하였을 때 (즉, 가능한 _{n}C_{3} 가지 방법들 각각이 선택될 확률을 \frac{1}{_{n}C_{3}}의 확률로 하여 선택하였을 때) 이 세 꼭짓점이 예각삼각형의 세 꼭짓점이 될 확률 p_{n}을 구하여라.

 

2. 원주 위에서 3개의 점을 공평하게 뽑았을 때 이  3개의 점이 예각삼각형이 세 꼭짓점이 될 확률  p를 구하여라.

 

3. \lim_{n\rightarrow\infty}p_{n}=p인가? 그렇다면 왜 그런지 이유를 설명해보자.

 

4. 원주 위의 세 점이 예각삼각형을 이룬다는 것은 이 삼각형의 내부에 원의 중심이 포함된다는 의미이다. 앞서와 마찬가지 원리를 이용하여 원주 위에서 k\geq 4개의 점을 공평하게 뽑았을 때, 이 k개의 점으로 이루어진 k각형의 내부에 원의 중심이 포함될 확률을 구할 수 있을까?

  •  
    Scubed Lv.7 2021.05.04 21:38

    이해 가능한 문제가 나왔네요! 우선 정2n각형은 직각삼각형이 생긴다는 알아두세요

    물론 아시겠지만

    댓글 작성하기 좋아요1 댓글수0
  •  
    다시 도전
    조희승 Lv.4 2021.05.06 14:41 비밀댓글
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수3
    •  
      Scubed Lv.7 2021.05.06 16:19

      풀이 부탁드립니다

      좋아요1
    •  
      조희승 Lv.4 2021.05.07 00:28

      1. n이 2k거나 2k+1 이고 4<n일때,Pn=\frac{k+1}{4k-2}  p3=1,p4=0

      2. 0.25

      풀이:\lim_{k\rightarrow \propto }\frac{k+1}{4k-2}      =0.25

      3.원주위에 n개의 점으로 정n각형을 만들면 그 점들은 다 중심과 똑같은 거리에 있다.이 n 이 무한대로  가게되면, 무한개의 점이 중심과 같은 거리에 있으므로. 이도형은 원이 되어 문제 2번과 똑같은 조건이된다.

      1번,2번 정답정정

      좋아요0
    •  
      김다인(멘토) Lv.15 2021.11.22 00:57 비밀댓글
      비밀 댓글이 등록 되었습니다!
  •  
    cho317jun Lv.6 2021.05.06 18:09

    아... 다른 문제에 비하면 이해가 되긴 하는데 그래도 어려운...(역시 폴리매스)

    댓글 작성하기 좋아요2 댓글수0
  •  
    부분해결
    이정훈2 Lv.3 2021.07.08 19:09 비밀댓글
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수1
    •  
      김다인(멘토) Lv.15 2021.11.22 01:02

      4번 깔끔하게 잘 풀어주었습니다!!

       

      다인 멘토 드림

      좋아요0
  •  
    다시 도전
    themelor Lv.1 2021.07.14 12:41

    1. 일단 n을 2k, 2k+1이렇게 홀짝을 나누어줍니다.

    먼저 짝수일때를 생각하면, 꼭짓점 세개를 고르는 거지만 한개는 임의로 아무 위치에 존재해도 상관없다고 본 이후 계산하는것이 좋습니다.

    그리고 예각삼각형이 되기 위해서는 원의 중심이 삼각형 내부에 존재해야합니다. 따라서 꼭짓점A를 기준 반대편에 존재하는 점A'이 있고 나머지 2k-2중 k-1개가 있는 왼쪽에서 꼭짓점B를 정하면 그반대편에 있는 점을 B' 이라 하면 꼭짓점C는 A', B' 사이에 존재해야합니다.

    그렇게 경우의 수를 세면, 0+1+2+...+(k-2)=(k-2)(k-1)/2 개입니다. 그러면 이때 확률은 \frac{_{k-1} C_2}{_{2k-1}C_2}=\frac{k-2}{4k-2}입니다.

    마찬가지로 홀수일때의 경우를 세면 1+2+...+k=(k+1)k/2 개입니다. 그러면 이때 확률은 \frac{_{k+1} C_2}{_{2k}C_2}=\frac{k+1}{4k-2}입니다.

     

    2. 원주 위에서 세개의 점을 뽑을때도, 꼭짓점 A를 고정시키는것이 좋습니다. 그러면 꼭짓점A를 동경 0에 맞추고, 원의 중심을 원점이라준다면, B,C 동경의 위치를 각각 x,y 좌표에 표현하는 새로운 그래프를 그려서 상황을 고려하면 x,y \in \left [ 0, 2\pi \right ]이도록 영역을 그린상태에서 1번에서처럼 원의 중심이 삼각형 내부에 존재하도록 영역을 그리면 전체 정사각형의 1/4의 영역에 해당하는 상황에서 예각삼각형이 된다.

     

    3. p_{n}은 n이 짝수냐 홀수냐에 따라 값은 다르지만 짝수에서 극한과 홀수에서 극한이 둘다 1/4이고, 자연수는 홀수 짝수를 전부합치면 나타나기에 자연수 n에 대한 극한 역시 1/4이다.

     

    4. 기하적 그래프를 그릴 수 있냐의 문제는 있지만, 구할 수 있다. 일단 한점A을 고정시킨이후 , 바로 이웃한 점B가 어디 있는지 위치를 정한다 했을때 맞은편에 위치인 A', B'사이가 아닌 B와 A' 혹은 B'와A 사이에 남은 점들이 존재한다면 k각형 외부에 원의 중심이 포함된다. (경계에 원의 중심이 있는 확률은 0이라 기하적확률에서 0에 해당할 것이기에) 방금구한 외부에 존재할 확률의 여사건을 구하면 된다.

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
    •  
      김다인(멘토) Lv.15 2021.11.22 01:09 비밀댓글
      비밀 댓글이 등록 되었습니다!
  •  
    다시 도전
    피카파이 Lv.8 2021.08.04 16:07

    1. 만약 삼각형abc에서 어느 한 각도 90도 이상이 아니라면 그 삼각형은 예각삼각형이다. 그러면 이렇게 나타낼 수 있다. 한 삼각형이 예각삼각형일 확률=예각삼각형인 경우/전체 삼각형 경우=1-((각 cab가 90도 이상인경우+각 abc가 90도 이상인경우+각 abc가 90도 이상인경우)/전체경우) 정n각형에서 임의의 두 이웃한 점,q와 w를 잡고 또 다른 한 점 t를 잠으면 각 wtq는 항상 180/n이다. 삼각형 m(다각형의 중심)qt와 mwt를 그리면 알 수 있다. 그러면 각 cab가 90도 이상이려면 점 c와 점 b사이에 있는 정다각형의 변의 개수가 n/2개이상이어야 한다. 정n각형의 세점이 만드는 삼각형이 둔각또는 직각삼각형일때 둔각또는 직각인 각을 각 cab로 놓는다. 그러면 각cab의 개수를 나타내면(단, 각의 크기가 같아도 점들의 위치가 다르면 다른것으로 한다.그리고, 점a는 고정이다.):

    n이 짝수일떄: \sum_{k=1}^{\frac{n-2}{2}}(\frac{n}{2}-k)

    n이 홀수일때:\sum_{k=1}^{\frac{n-3}{2}}(\frac{n-1}{2}-k)이다. 이들을 가우스 공식으로 간단히 하면 \frac{(n)(n-2)}{8}\frac{(n-1)(n-3)}{8} 이다. 점 a를 고정하지 않으면, \frac{(n^2)(n-2)}{8}\frac{(n)(n-1)(n-3)}{8}이다.  \frac{1}{_{n}C_{3}}을 곱하면, \frac{3n}{4(n-3)}과 \frac{3(n-3)}{4(n-2)}가 된다. 이들은 둔각또는 직각삼각형이 될확률이므로, 1에서 이들을 뺀 답은:

    n이 짝수일떄:\frac{n-12}{4(n-3)}

    n이 홀수일때:\frac{n+1}{4(n-2)}

    입니다.

    2. 정 무한각형이 원이므로 

    \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n-12}{4(n-3)}=\frac{1}{4}=0.25=25%

    \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n+1}{4(n-2)}=\frac{1}{4}=0.25=25%

    입니다.

    3. 그렇다. 정무한각형이 원이기 때문이다.

    4. 못 풀었습니다.

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
    •  
      김다인(멘토) Lv.15 2021.11.22 01:13 비밀댓글
      비밀 댓글이 등록 되었습니다!
  •  
    다시 도전
    피카파이 Lv.8 2021.08.05 14:28

    4번 답입니다.

    4. 원의 중심이 포함될 확률=포함되는 경우의 수/전체경우의 수=1-(포함되지 않는 경우의 수/전체경우의 수)

    이다. 그러면 간단하다. 원주위의 다각형의 점들이 원주의 길이의 절반인 원주위의 호에 포함되도록 할 수 있다면 다각형안에 중심이 포함되지 않는 것이다.(단, 호의 양쪽 끝에 점이 있는 경우는 포함되지 않는 것이다.) 이유는 이렇다.

    1. 위의 조검을 만족하며 원의 중심이 다각형 내부에 있다고 가정을 하자. 

    2. 그 호로 포함되도록했을때 가장 바깥쪽에 있는 두 점을 이어 현을 만들고, 그 현과 가장 바깥쪽에 있는 두 점을 잇는 짧은 호를 연결해 활꼴을 만든다. 그런데 그 활꼴 안에는 원의 중심이 포함되지 않는다. 

    3. 다각형의 점들을 이어 만든 다각형은 그 활꼴안에 있는 것이다.

    4. 그러므로 1.은 모순이다. 

    5.원주위의 다각형의 점들이 원주의 길이의 절반인 원주위의 호에 포함되도록 할 수 있다면 다각형안에 중심이 포함되지 않는 것이다.(단, 호의 양쪽 끝에 점이 있는 경우는 포함되지 않는 것이다.) 

     

    그러면 확률을 계산한다. 1-(\frac{\lim_{P\rightarrow \infty }\frac{\frac{P}{2}(\frac{P}{2}-1)(\frac{P}{2}-2)}{6}}{\lim_{P\rightarrow \infty }\frac{P(P-1)(P-2)}{6}})=\frac{7}{8}

    4번답=\frac{7}{8}=0.875=87.5%

     

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
    •  
      유태영 멘토 Lv.3 2022.02.23 11:00

      k개의 점이 있는 case로 일반화해주세요.

      접근 방식은 좋습니다.

      좋아요0
  •  
    Amath Lv.8 2022.05.16 16:46
    확인요청중

    1번. n이 짝수일 때와 홀수일 때로 나누어 생각하면,

     

     

    n이 짝수일 때는, 임의의 두 점 A, B을 선택했을 때, 그 두 점을 잇는 정다각형의 둘레의 일부분인 두 곡선(연속적인 걸 말하는 게 아님) 중 짧은 것 위의 정다각형의 꼭짓점의 개수를 p라고 하면, (선택한 두 점은 제외) p는 최소 0이고, 최대 \frac{n-2}{2}이다. 이 p의 값이 임의의 상수 q가 되게 임의의 두 점을 선택하는 가짓수는, q의 값에 상관없이 A가 n개의 꼭짓점에 있는 경우의 수인 n가지이다. 그리고 p의 값이 q일 때, 나머지 한 점을 세 점이 이루는 삼각형이 예각삼각형이 되게 선택하는 가짓수는, 선분 AB와 수직이고, 점 A와 B를 지나는 두 직선 l, m과, 이 정다각형이 이루는 다각형(안쪽 거)의 l과 m이 정다각형과 만나는 점을 제외한 꼭짓점의 개수에서 q를 뺀 값이다. (세 번째 점을 A로 둘 때부터 시계 방향으로 돌아가며 B까지 갈 때까지 하나씩 삼각형을 그려 보면 이것을 쉽게 알 수 있다. ) 따라서 세 번째 점을 선택하는 가짓수는 n이 짝수이므로 q가지이다.

    따라서 n이 짝수일 때의 확률은 \frac{\sum_{p=0}^{\frac{n-2}{2}}np}{_{n}^{}\textrm{C}_{3}}=\frac{6n\frac{n-2}{2}(\frac{n-2}{2}+1)/2}{(n-2)(n-1)n}

    =\frac{3n}{4n-4}이다. 

     

     

    n이 홀수일 때는, p는 최소 0, 최대 \frac{n-3}{2}이다. p의 값이 임의의 상수 q가 되게 임의의 두 점을 선택하는 가짓수는 마찬가지로 n이다. 또, 직선 l과 m을 그려 l과 m이 정다각형과 만나는 점을 제외한 정다각형, l,m이 이루는 안쪽 다각형의 꼭짓점의 개수에서 p를 뺀 값은 p+1이다.

    따라서 짝수일 때와 똑같이 하면, n이 홀수일 때의 확률은 \frac{\sum_{p=0}^{\frac{n-3}{2}}n(p+1)}{_{n}^{}\textrm{C}_{3}}=\frac{6n(\frac{\frac{n-3}{2}(\frac{n-3}{2}+1)}{2}+\frac{n-3}{2}+1)}{(n-2)(n-1)n}

    =\frac{3n-3}{4n-8}이다. 

     

     

     

    (쓰는데 시간 없어서 아직 다 못 썼어요. )

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수3
    •  
      Amath Lv.8 2022.05.18 17:37

      잘못 생각한 부분이 있어서 수정할게요. 

       

      제가 계산한 경우의 수는 세 점 중 한 점의 선택 순서가 고려된 거에요. 그러니까, 한 경우를 여러번 계산한 결과인데, 여기서 임의의 점 A, B, C를 선택한 하나의 경우를 마지막으로 선택한 점이 A일 때, B일 때, C일 때의 세 가지 다른 경우로 계산했어요. 따라서 이 경우의 수를 3으로 나눠서,

       

      짝수일 때는 \frac{n}{4n-4},

       

      홀수일 때는 \frac{n-1}{4n-8}으로 고쳐야 합니다. 

      좋아요0
    •  
      Amath Lv.8 2022.05.18 18:57

      또 짝수의 경우에 수정할 게 있어요. 저는 두 점 사이의 꼭짓점의 수가 p인 경우의 수를 구할 때, '두 점을 A,B라 하고 A,B를 구별해서 생각하면, A가 어느 한 점에 있을 때 B는 시계방향으로 p+1만큼 떨어진 점에 있을 때와 시계 반대 방향으로 p+1만큼 떨어진 점에 있을 때로 2가지이고, B는 A가 n개의 꼭짓점에 있는 n가지 경우에 모두 2가지이므로, A,B를 구별해서 생각하면 2n가지 경우가 존재하는데, 이 경우의 수는 A,B를 구별하지 않은 한 경우를 2가지 경우로 계산한 것이므로 이런 경우의 수는 n개이다. '라고 생각했는데, 시계방향으로 p+1만큼 떨어진 점이 시계 반대 방향으로 p+1만큼 떨어진 점과 같은 점일 때, 즉 p가 \frac{n-2}{2}일 때는 A,B를 구별해서 생각할 때 n가지 경우가 존재하고, A,B를 구별하지 않고 생각할 때는 n/2가지 경우가 존재하게 된다는 것을 생각하지 못했어요. 

       

      그래서 n이 짝수일 때는, 원래 구한 경우의 수에서 \frac{n-2}{2}\cdot \frac{n}{2}을 빼서 계산해야 하고,

       

       

      계산하면 n이 짝수일 때의 확률은 \frac{3n\cdot \frac{n-2}{2}\cdot \frac{n-2}{2}}{(n-2)(n-1)n}=\frac{3(n-2)}{4(n-1)}을 3으로 나눈 

      \frac{n-2}{4n-4}가 돼요. 

      좋아요0
    •  
      Amath Lv.8 2022.05.19 08:21

      이 풀이는 오류가 있고, 간단하지 않으니 그냥 무시해주세요. 

      좋아요0
  •  
    Amath Lv.8 2022.05.19 08:29
    확인요청중

    문제 1.

     

    정다각형에 외접하는 원을 그려 보면, 삼각형이 내부에 정다각형의 중심을 포함해야지 예각삼각형이 된다는 것을 알 수 있다. 우선 A,B,C점을 순서대로 시계 반대 방향으로 선택했을 때 예각삼각형이 되는 가짓수를 구해 보면, 점 A는 n개의 점에 있는 n가지 경우가 존재하고, B는 그 각각의 경우에 대해 점 A와 정다각형의 중심을 이은 직선이 정다각형과 만나는 점보다 시계 방향에, 점 A보다 시계 반대 방향에 있어야 하고, 점 C도 B에 대해 마찬가지이다. 또, A는 점 C에 대해서도 그런 성질을 만족해야 한다. n이 짝수일 때, 만약 B가 A의 시계 반대 방향으로 바로 옆에 있는 점이면, 길이가 너무 짧아 A와 C가 그런 관계가 될 수 없다.

     

    따라서 B는 점 A가 어떤 위치에 있을 때, n이 짝수라면 \frac{n-4}{2}가지이고, C는 그 각각의 경우에 A와의 거리가 \frac{n-2}{2} 이하이고, B에 대해서도 마찬가지이므로, B가 A를 A에서 0만큼 떨어진 꼭짓점이라고 할 때, B가 A에서 시계 반대 방향으로 p만큼 떨어진 꼭짓점이라면, 는 C는 (p+\frac{n-2}{2})-\frac{n}{2}=p-1가지가 될 수 있다. 따라서 n이 짝수일 때 세 꼭짓점을 선택해서 예각삼각형이 되는 가짓수는 A,B,C 순서를 고려한 가짓수의 1/3배인 \frac{1}{3}n\sum_{k=2}^{\frac{n-2}{2}}k-1=\frac{1}{3}n\frac{(1+\frac{n-4}{2})\frac{n-4}{2}}{2}\frac{(n-4)(n-2)n}{3\cdot 8}가지이고, 확률은 \frac{n-4}{4n-4}가 된다. 

     

     

     

    n이 홀수일 때는, n이 짝수일 때와 똑같이 생각하고, n이 짝수일 때와 마찬가지로 p를 정의하면, C는 (p+\frac{n-1}{2})-\frac{n-1}{2}=p가지가 될 수 있다. A는 n개의 점에 있는 n가지 경우가 존재하고, A가 임의의 점에 있을 때, B는 p가 1일 때부터 \frac{n-1}{2}일 때 까지가 있을 수 있으므로, n이 홀수일 때 세 꼭짓점을 선택해서 예각삼각형이 되는 가짓수는 A,B,C 순서를 고려한 가짓수의 1/3배인 \frac{1}{3}n\sum_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}k=\frac{1}{3}n\frac{(\frac{n-1}{2}+1)\frac{n-1}{2}}{2}=\frac{(n-1)n(n+1)}{3\cdot 8}가지이고, 확률은 \frac{n+1}{4n-8}이 된다. 

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수3
    •  
      Amath Lv.8 2022.06.02 21:30

      정답확인 좀 해 주세요

      좋아요0
    •  
      유지연_매니저 Lv.15 2022.06.07 08:33

      Amath님, 안녕하세요~!

      확인이 늦어 죄송합니다. 현재 어셈블 멘토님께 확인 요청 드렸습니다. 조금만 기다려주세요~!

      좋아요0
    •  
      강지원 멘토 Lv.4 2022.06.07 10:47

      문제 1 잘 풀었습니다!

      좋아요0
  • 폴리매스 문제는 과학기술진흥기금 및 복권기금의 재원으로 운영되고, 과학기술정보통신부와 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물로 우리나라의 과학기술 발전과 사회적 가치 증진에 기여하고 있습니다.

  • ☎문의 02-6749-3911