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폴리매스 문제
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[대한수학회] 대53. 예각삼각형의 세 꼭짓점
수학동아 2021.05.04 13:31 조회 1299

1. 정n각형의 세 꼭짓점을 공평하게 선택하였을 때 (즉, 가능한 _{n}C_{3} 가지 방법들 각각이 선택될 확률을 \frac{1}{_{n}C_{3}}의 확률로 하여 선택하였을 때) 이 세 꼭짓점이 예각삼각형의 세 꼭짓점이 될 확률 p_{n}을 구하여라.

 

2. 원주 위에서 3개의 점을 공평하게 뽑았을 때 이  3개의 점이 예각삼각형이 세 꼭짓점이 될 확률  p를 구하여라.

 

3. \lim_{n\rightarrow\infty}p_{n}=p인가? 그렇다면 왜 그런지 이유를 설명해보자.

 

4. 원주 위의 세 점이 예각삼각형을 이룬다는 것은 이 삼각형의 내부에 원의 중심이 포함된다는 의미이다. 앞서와 마찬가지 원리를 이용하여 원주 위에서 k\geq 4개의 점을 공평하게 뽑았을 때, 이 k개의 점으로 이루어진 k각형의 내부에 원의 중심이 포함될 확률을 구할 수 있을까?

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    Scubed Lv.6 2021.05.04 21:38

    이해 가능한 문제가 나왔네요! 우선 정2n각형은 직각삼각형이 생긴다는 알아두세요

    물론 아시겠지만

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    조희승 Lv.2 2021.05.06 14:41 비밀댓글
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      Scubed Lv.6 2021.05.06 16:19

      풀이 부탁드립니다

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      조희승 Lv.2 2021.05.07 00:28

      1. n이 2k거나 2k+1 이고 4<n일때,Pn=\frac{k+1}{4k-2}  p3=1,p4=0

      2. 0.25

      풀이:\lim_{k\rightarrow \propto }\frac{k+1}{4k-2}      =0.25

      3.원주위에 n개의 점으로 정n각형을 만들면 그 점들은 다 중심과 똑같은 거리에 있다.이 n 이 무한대로  가게되면, 무한개의 점이 중심과 같은 거리에 있으므로. 이도형은 원이 되어 문제 2번과 똑같은 조건이된다.

      1번,2번 정답정정

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    cho317jun Lv.6 2021.05.06 18:09

    아... 다른 문제에 비하면 이해가 되긴 하는데 그래도 어려운...(역시 폴리매스)

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    이정훈2 Lv.1 2021.07.08 19:09 비밀댓글
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    themelor Lv.1 2021.07.14 12:41
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    1. 일단 n을 2k, 2k+1이렇게 홀짝을 나누어줍니다.

    먼저 짝수일때를 생각하면, 꼭짓점 세개를 고르는 거지만 한개는 임의로 아무 위치에 존재해도 상관없다고 본 이후 계산하는것이 좋습니다.

    그리고 예각삼각형이 되기 위해서는 원의 중심이 삼각형 내부에 존재해야합니다. 따라서 꼭짓점A를 기준 반대편에 존재하는 점A'이 있고 나머지 2k-2중 k-1개가 있는 왼쪽에서 꼭짓점B를 정하면 그반대편에 있는 점을 B' 이라 하면 꼭짓점C는 A', B' 사이에 존재해야합니다.

    그렇게 경우의 수를 세면, 0+1+2+...+(k-2)=(k-2)(k-1)/2 개입니다. 그러면 이때 확률은 \frac{_{k-1} C_2}{_{2k-1}C_2}=\frac{k-2}{4k-2}입니다.

    마찬가지로 홀수일때의 경우를 세면 1+2+...+k=(k+1)k/2 개입니다. 그러면 이때 확률은 \frac{_{k+1} C_2}{_{2k}C_2}=\frac{k+1}{4k-2}입니다.

     

    2. 원주 위에서 세개의 점을 뽑을때도, 꼭짓점 A를 고정시키는것이 좋습니다. 그러면 꼭짓점A를 동경 0에 맞추고, 원의 중심을 원점이라준다면, B,C 동경의 위치를 각각 x,y 좌표에 표현하는 새로운 그래프를 그려서 상황을 고려하면 x,y \in \left [ 0, 2\pi \right ]이도록 영역을 그린상태에서 1번에서처럼 원의 중심이 삼각형 내부에 존재하도록 영역을 그리면 전체 정사각형의 1/4의 영역에 해당하는 상황에서 예각삼각형이 된다.

     

    3. p_{n}은 n이 짝수냐 홀수냐에 따라 값은 다르지만 짝수에서 극한과 홀수에서 극한이 둘다 1/4이고, 자연수는 홀수 짝수를 전부합치면 나타나기에 자연수 n에 대한 극한 역시 1/4이다.

     

    4. 기하적 그래프를 그릴 수 있냐의 문제는 있지만, 구할 수 있다. 일단 한점A을 고정시킨이후 , 바로 이웃한 점B가 어디 있는지 위치를 정한다 했을때 맞은편에 위치인 A', B'사이가 아닌 B와 A' 혹은 B'와A 사이에 남은 점들이 존재한다면 k각형 외부에 원의 중심이 포함된다. (경계에 원의 중심이 있는 확률은 0이라 기하적확률에서 0에 해당할 것이기에) 방금구한 외부에 존재할 확률의 여사건을 구하면 된다.

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    카파 Lv.6 2021.08.04 16:07
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    1. 만약 삼각형abc에서 어느 한 각도 90도 이상이 아니라면 그 삼각형은 예각삼각형이다. 그러면 이렇게 나타낼 수 있다. 한 삼각형이 예각삼각형일 확률=예각삼각형인 경우/전체 삼각형 경우=1-((각 cab가 90도 이상인경우+각 abc가 90도 이상인경우+각 abc가 90도 이상인경우)/전체경우) 정n각형에서 임의의 두 이웃한 점,q와 w를 잡고 또 다른 한 점 t를 잠으면 각 wtq는 항상 180/n이다. 삼각형 m(다각형의 중심)qt와 mwt를 그리면 알 수 있다. 그러면 각 cab가 90도 이상이려면 점 c와 점 b사이에 있는 정다각형의 변의 개수가 n/2개이상이어야 한다. 정n각형의 세점이 만드는 삼각형이 둔각또는 직각삼각형일때 둔각또는 직각인 각을 각 cab로 놓는다. 그러면 각cab의 개수를 나타내면(단, 각의 크기가 같아도 점들의 위치가 다르면 다른것으로 한다.그리고, 점a는 고정이다.):

    n이 짝수일떄: \sum_{k=1}^{\frac{n-2}{2}}(\frac{n}{2}-k)

    n이 홀수일때:\sum_{k=1}^{\frac{n-3}{2}}(\frac{n-1}{2}-k)이다. 이들을 가우스 공식으로 간단히 하면 \frac{(n)(n-2)}{8}\frac{(n-1)(n-3)}{8} 이다. 점 a를 고정하지 않으면, \frac{(n^2)(n-2)}{8}\frac{(n)(n-1)(n-3)}{8}이다.  \frac{1}{_{n}C_{3}}을 곱하면, \frac{3n}{4(n-3)}과 \frac{3(n-3)}{4(n-2)}가 된다. 이들은 둔각또는 직각삼각형이 될확률이므로, 1에서 이들을 뺀 답은:

    n이 짝수일떄:\frac{n-12}{4(n-3)}

    n이 홀수일때:\frac{n+1}{4(n-2)}

    입니다.

    2. 정 무한각형이 원이므로 

    \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n-12}{4(n-3)}=\frac{1}{4}=0.25=25%

    \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n+1}{4(n-2)}=\frac{1}{4}=0.25=25%

    입니다.

    3. 그렇다. 정무한각형이 원이기 때문이다.

    4. 못 풀었습니다.

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    카파 Lv.6 2021.08.05 14:28
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    4번 답입니다.

    4. 원의 중심이 포함될 확률=포함되는 경우의 수/전체경우의 수=1-(포함되지 않는 경우의 수/전체경우의 수)

    이다. 그러면 간단하다. 원주위의 다각형의 점들이 원주의 길이의 절반인 원주위의 호에 포함되도록 할 수 있다면 다각형안에 중심이 포함되지 않는 것이다.(단, 호의 양쪽 끝에 점이 있는 경우는 포함되지 않는 것이다.) 이유는 이렇다.

    1. 위의 조검을 만족하며 원의 중심이 다각형 내부에 있다고 가정을 하자. 

    2. 그 호로 포함되도록했을때 가장 바깥쪽에 있는 두 점을 이어 현을 만들고, 그 현과 가장 바깥쪽에 있는 두 점을 잇는 짧은 호를 연결해 활꼴을 만든다. 그런데 그 활꼴 안에는 원의 중심이 포함되지 않는다. 

    3. 다각형의 점들을 이어 만든 다각형은 그 활꼴안에 있는 것이다.

    4. 그러므로 1.은 모순이다. 

    5.원주위의 다각형의 점들이 원주의 길이의 절반인 원주위의 호에 포함되도록 할 수 있다면 다각형안에 중심이 포함되지 않는 것이다.(단, 호의 양쪽 끝에 점이 있는 경우는 포함되지 않는 것이다.) 

     

    그러면 확률을 계산한다. 1-(\frac{\lim_{P\rightarrow \infty }\frac{\frac{P}{2}(\frac{P}{2}-1)(\frac{P}{2}-2)}{6}}{\lim_{P\rightarrow \infty }\frac{P(P-1)(P-2)}{6}})=\frac{7}{8}

    4번답=\frac{7}{8}=0.875=87.5%

     

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