수학동아 - 폴리매스

폴리매스 문제

아직 아무도 답을 모르는 문제에 도전하세요!

[대한수학회] 대52. 함수와 연분수

수학동아 2021.03.31 18:52 조회 2231

페이스북 트위터 카카오톡 카카오스토리 네이버블로그 네이버밴드

대한수학회 52번

함수와 연분수

문제 출제자 : 정의진 아주대학교 수학과 교수

구간 $[0, 1]$ 에 함수 $f: [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ 을 다음과 같이 정의해 보자.

$\dpi{150} f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}-[\frac{1}{x}]\: \: x\neq0 \\0\; \; \; \; \;\: \: \: \: \: \: \: x= 0 \end{matrix}\right.$

이 때 $[x]$ 는 $x$ 를 넘지 않는 최대 정수를 나타낸다. 즉, $f(x)$ 는 우선 $x$ 의 역수를 생각하고, 정수 부분을 버리고 소수 부분만 택한 값이다. 이 함수의 그래프는 아래와 같다. 각 자연수 $n$ 마다, 구간 $(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$ 에서는 연속이고, 그 구간에서 함수값들을 모아놓은 집합은 $[0, 1)$ 이다. 또, $x=\frac{1}{n}$ 에서 함수는 연속이 아니다.

위 함수를 어디에 사용할 수 있는지 간단한 예와 함께 생각해 보자. 자연수 $a, b, c$ 에 대해서,

$x=\frac{1}{a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}$

꼴의 분수를 연분수라고 한다. 이 때 $\dpi{100} f(x)=\frac{1}{b+\frac{1}{c}}, f \circ f=\frac{1}{c}$ 이 된다. 따라서, $f(x)$ 는 연분수의 가장 바깥쪽 분수를 없애는 함수라고도 생각할 수 있다. 한편, $a=[\frac{1}{x}], b=[\frac{1}{f(x)}], c=[\frac{1}{f\circ f(x))}]$ 이므로, $x$ 에 함수들을 적용하여 연분수의 계수들을 찾아낼 수 있다.

문제 1. $f(x)=x$ 를 만족하는 $x$ 들을 모두 찾아라.

문제 2. $0< x\leq 1$ 인 실수 $x$ 에 대해, $x$ 가 유리수이면 $f^{n}(x)=0$ 인 자연수 $n$ 이 있음을 보여라. 단, $f^{n}(x)=\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}$ 는 $f$ 를 $n$ 번 합성한 함수이다.

문제 3. 문제 2의 역은 성립하는가?

문제 4. 실수 - $0<a<b<1$ 에 대해서, 집합 $A=\begin{Bmatrix} 0\leq x\leq 1:a<f(x)<b\end{Bmatrix}$ 는 구간들의 합집합으로 표현된다. 이 때, $A$ 를 이루는 각 구간의 길이의 합을 $a$ 와 $b$ 에 대한 함수로 표현하라.

문제 5. $0< x\leq 1$ 인 실수 $x$ 에 대하여, $a_{1}=[\frac{1}{x}], a_{2}=[\frac{1}{f(x)}], \cdots a_{n}=[\frac{1}{f^{n-1}(x)}]$ 로 정의하자. 이 때, 수열

$x_{n}=\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{\cdots +\frac{1}{a_{n}}}}}$

은 $x$ 로 수렴하는가?

문제 6. 문제 5번에서, $a_{1},\cdots a_{n}$ 중 $a_{i}=1$ 을 만족하는 $i$ 의 갯수를 $b_{n}$ 이라 하자. 이 때, 극한

$\lim_{n o \infty }\frac{b_{n}}{n}=2-\frac{log3}{log2}$

이 되는 $x$ 가 존재함을 증명하여라.

이전글 대51. 이항계수의 성질

다음글 대53. 예각삼각형의 세 꼭짓점

문제 찜하기 목록보기

댓글 작성하기

수학달콤 Lv.2 2021.04.01 07:27

(1) 조건에 의해 $x$ 의 연분수 표현을 생각하면 $x=\frac{1}{a+f(x)}=\frac{1}{a+x}$ , $x(a+x)=1(a\in \mathbb{N})$ 이다.

따라서 $x=\frac{-a+\sqrt{a^{2}+4}}{2}(a\in \mathbb{N})$ $(\because x\in [0, 1])$ 이다.

댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
- 바보멍청이 Lv.1 2022.02.16 11:54 비밀댓글
  
  비밀 댓글이 등록 되었습니다!
수학달콤 Lv.2 2021.04.01 07:55

(2) $x=\frac{a}{b}$ 라 하면 $x\in [0, 1]]$ 이므로 $0\leq a\leq b$ 이다.

그러므로 $x\neq 0$ 이면 $a\neq 0$ , $b=aq+r(0\leq r< a)$ 인 양의 정수 $q$ 와 음 아닌 정수 $r$ 을 잡을 수 있다.

$f(x)=\frac{b}{a}-[\frac{b}{a}]=\frac{b}{a}-q=\frac{r}{a}$ 이고 $a+b>r+a(\because b=aq+r>r)$ 이므로

$x$ 가 $0$ 아닌 유리수이면 $f(x)$ 또한 유리수이며, $x$ 의 분모, 분자 합이 $f(x)$ 의 분모, 분자 합보다 크다.

$f^{n}(x)=0$ 인 $n$ 이 존재하지 않으면 $x$ 에 $f$ 를 취하면 취할수록 분자, 분모 합은 감소하는데,

양의 정수인 분자, 분모 합은 무한히 감소할 수 없으므로 모순이다.

따라서 $f^{n}(x)=0$ 인 $n$ 은 반드시 존재한다.

댓글 작성하기 좋아요0 댓글수0
수학달콤 Lv.2 2021.04.01 08:02

(3) $f(x)\in \mathbb{Q}\Rightarrow \frac{1}{x}=[\frac{1}{x}]+f(x)\in \mathbb{Q}\Rightarrow x\in \mathbb{Q}(\because x\neq 0)$ 이므로

$f^{n}(x)=0\in \mathbb{Q}\Rightarrow f^{n-1}(x)\in \mathbb{Q}\Rightarrow \cdots \Rightarrow x\in \mathbb{Q}$ 이어서 성립한다.

댓글 작성하기 좋아요0 댓글수2
- 김미래_기자 Lv.15 2021.04.05 17:56
  
  엄청 빠르게 답변 달아주셨네요!
  
  김다인 멘토님께 답변 전달드리고 알려드리도록 하겠습니다~!
  
  좋아요0
- 김미래_기자 Lv.15 2021.04.19 15:18 비밀댓글
  
  비밀 댓글이 등록 되었습니다!
다시 도전

도전

pure math Lv.7 2022.02.08 14:13

5)

2가지 방법을 썼습니다.

댓글 작성하기 좋아요0 댓글수5
- 조영준 멘토 Lv.3 2022.02.09 17:00
  
  제가 풀이를 제대로 이해했다면, 우선 lim x_n이 존재한다는 부분부터 증명이 필요할 것 같습니다. x_n이 어떤 수로 수렴하지 않을수도 있기 때문이죠!
  
  좋아요0
- pure math Lv.7 2022.02.09 17:40
  
  두 번째 방법도 증명을 해야 하나요??
  
  좋아요0
- 조영준 멘토 Lv.3 2022.02.14 20:02
  
  두 번째 풀이는 무슨 의미인지 잘 모르겠습니다.
  
  좋아요0
- pure math Lv.7 2022.02.15 01:13
  
  2번째 사진이요!
  
  좋아요0
- 조영준 멘토 Lv.3 2022.02.15 14:21
  
  우선 두 번째 사진에서도 첫 줄을 쓰려면 lim x_n이 존재하는 것을 보여야 합니다.
  
  좋아요0
도전

pure math Lv.7 2022.03.08 21:01

확인요청중

1.

x = 1/(a+x), x²+ax-1=0 이므로 x = (-a + $\sqrt{}$ a² + 4)/2입니다. (x > 0, 0 <= x <= 1, a는 정수)

2.

x가 유리수이면 무한 연분수가 아닌 유한 연분수로 나타낼 수 있습니다. (x가 유리수이면 분모와 분자로 나타낼 수 있기 때문) 즉, f(x)도 유리수입니다. 그러면, 언젠가는 연분수가 멈추는 부분이 생길 텐데, 그 지점에서의 fⁿ(x)가 0이 됩니다. 또한, f(x)를 계속 거치면 거칠수록 분자 + 분모가 작아지는데, fⁿ(x) = 0인 n이 없으면 양의 정수가 계속 감소하게 되어 모순이므로 fⁿ(x) = 0 인 n이 존재합니다.

3.

어떤 자연수p에 대하여 f^p(x)가 유리수이면, f^p-1(x)도 유리수이므로, fⁿ(x)값이 0이면, 또한 유리수니, 계속 반복하면 f(x)도 유리수고, f(x) + [1/x] = 1/x가 되어서 x도 유리수가 됩니다.

4.

f(x) = 1/x - [1/x], a<1/x-[1/x]<b이다. 1/x의 소수부분이 a와 b사이이다. 1<= 1/x(실수)이고, a와 b사이인 임의의 수 t에 대해 f(x) = t를 만족하는 x는 무한개이다.

이 t에 대하여 주어진 식을 만족하는 최초의 1/x는 1 + t일 것이다. (1<=1/x) (편의상 1/x를 y라 함) 또한, y는 (1~n) + t의 꼴일 것이다. (n→무한)

즉, y는 구간 [1+t, n+t] 안에 존재할 것이고, x는 [1/(1+t), 1/(n+t)] 안에 있을 것이다. 근데, 이것은 구간 [1/1+t, 1/t] 안에 있다는 말과 동치이다.

그런데, 실수의 조밀성으로 인해 각 구간들의 합집합은, [위의 구간들의 양 끝점 중 가장 작은 수, 위의 구간들의 양 끝점 중 가장 큰 수]이다.

즉, A는 [1/(1+b), 1/a]일 것이다! 또한, 각 구간에 존재하는 수들은 (x는) f(x) = t인 하나의 구간에서만 정의되고, 각 구간들끼리의 교집합이 공집합이기에 각 구간의 길이의 합이

A의 구간의 길이이자 양 끝점의 차의 절댓값이다. 또한, 양 끝점은 빼도, 전체 길이는 같다.

고로, A = [1/(1+b), 1/a]이고, 각 구간의 길이의 합 = A의 구간의 길이 = 1/a - 1/(1+b) 이다. (제가 구간을 잘 몰라서 기호는 신경쓰지 말아주세요 그리고, 집합 A를 멋있게 쓰고 싶었지만 기호를 어떻게 넣는지 모르겠어요ㅠㅠ(분수도))

댓글 작성하기 좋아요0 댓글수4
- 강지원 멘토 Lv.4 2022.03.16 00:05
  
  1 : $x=0$ 또한 $f(x)=x$ 를 만족합니다. 그리고 어려운 부분은 아니지만 $x=\frac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2}$ 가 실제로 $\left[\frac{1}{x}\right]=a$ 를 만족한다는 것 또한 확인해줘야 합니다.
  
  2,3 : 잘 풀었습니다.
  
  4: 실수의 조밀성과 각 구간의 길이의 합은 관련이 없습니다. 예를 들어 (본 문제의 경우는 아니지만) 구간 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right)$ 과 구간 $\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)$ 을 봤을 때 두 구간의 길이의 합은 $\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{4}$ 이지만, 구간의 끝점들 중 최대값-최소값으로 계산하면 $\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$ 가 되어 구간의 길이의 합이 나오지 않습니다. 본 문제에서는 $A=\begin{Bmatrix} 0\leq x\leq 1:a<f(x)<b\end{Bmatrix}$ 가 서로 겹치지 않는 구간들의 합집합으로 표현되는데,
  
  '각 자연수 $n$ 마다, 구간 $(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$ 에서는 연속이고, 그 구간에서 함수값들을 모아놓은 집합은 $[0, 1)$ 이다'라는 문제의 지문을 보았을 때 $A$ 에 포함된 구간들의 개수는 무한 개가 된다는 사실을 알 수 있습니다. 이 무한 개의 구간의 길이의 합을 어떻게 표현할까요?
  
  좋아요0
- pure math Lv.7 2022.03.16 15:34
  
  그 구간 안에서 모든 실수가 포함되어 있으니 가능한 것 아닌가요??
  
  좋아요0
- 강지원 멘토 Lv.4 2022.03.19 23:28
  
  실제로 모든 실수가 포함되어 있지 않습니다. $A=\left(\frac{1}{1+b},\frac{1}{a} \right )$ 은 참이 아닙니다.
  예를 들어서 $a=\frac{1}{4}$ , $b=\frac{3}{4}$ 인 경우를 봅시다. 만약 $A=\left(\frac{1}{1+b},\frac{1}{a} \right )$ 가 참이라면 이 경우에 $A=\left(\frac{4}{7},4 \right )$ 가 되겠죠?
  
  그런데 우선 $1$ 보다 큰 실수는 $A$ 에 포함될 수 없고, $1$ 보다 작은 실수들을 보더라도 $\frac{4}{7}<\frac{4}{5}<x<1$ 이면 $1<\frac{1}{x}<\frac{5}{4}$ 에서 $0<f(x)<\frac{1}{4}$ 로 $x$ 가 $A$ 에 속하지 않게 됩니다.
  
  어떤 실수들이 $A$ 에 속하게 되는지 조금 더 꼼꼼하게 따져 줄 필요가 있습니다.
  
  좋아요0
- pure math Lv.7 2022.03.20 11:16
  
  네!
  
  좋아요0