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[대한수학회] 대52. 함수와 연분수
수학동아 2021.03.31 18:52 조회 2231

대한수학회 52번

 

함수와 연분수

 

 

문제 출제자 : 정의진 아주대학교 수학과 교수

 

 

구간 [0, 1]에 함수 f: [0, 1] \rightarrow [0, 1]을 다음과 같이 정의해 보자.

\dpi{150} f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}-[\frac{1}{x}]\: \: x\neq0 \\0\; \; \; \; \;\: \: \: \: \: \: \: x= 0 \end{matrix}\right.

이 때 [x]x를 넘지 않는 최대 정수를 나타낸다. 즉, f(x)는 우선 x의 역수를 생각하고, 정수 부분을 버리고 소수 부분만 택한 값이다. 이 함수의 그래프는 아래와 같다. 각 자연수 n마다, 구간 (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]에서는 연속이고, 그 구간에서 함수값들을 모아놓은 집합은 [0, 1)이다. 또, x=\frac{1}{n}에서 함수는 연속이 아니다.

 

위 함수를 어디에 사용할 수 있는지 간단한 예와 함께 생각해 보자. 자연수 a, b, c에 대해서,

x=\frac{1}{a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}

꼴의 분수를 연분수라고 한다. 이 때 \dpi{100} f(x)=\frac{1}{b+\frac{1}{c}}, f \circ f=\frac{1}{c}이 된다. 따라서, f(x)는 연분수의 가장 바깥쪽 분수를 없애는 함수라고도 생각할 수 있다. 한편, a=[\frac{1}{x}], b=[\frac{1}{f(x)}], c=[\frac{1}{f\circ f(x))}]이므로, x에 함수들을 적용하여 연분수의 계수들을 찾아낼 수 있다.

 

문제 1. f(x)=x를 만족하는 x들을 모두 찾아라.

 

문제 2. 0< x\leq 1인 실수 x에 대해, x가 유리수이면 f^{n}(x)=0인 자연수 n이 있음을 보여라. 단, f^{n}(x)=\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}fn번 합성한 함수이다.

 

문제 3. 문제 2의 역은 성립하는가?

 

문제 4. 실수 -0<a<b<1에 대해서, 집합 A=\begin{Bmatrix} 0\leq x\leq 1:a<f(x)<b\end{Bmatrix}는 구간들의 합집합으로 표현된다. 이 때, A를 이루는 각 구간의 길이의 합을 ab에 대한 함수로 표현하라. 

 

문제 5. 0< x\leq 1인 실수 x에 대하여, a_{1}=[\frac{1}{x}], a_{2}=[\frac{1}{f(x)}], \cdots a_{n}=[\frac{1}{f^{n-1}(x)}]로 정의하자. 이 때, 수열

x_{n}=\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{\cdots +\frac{1}{a_{n}}}}}

x로 수렴하는가?

 

문제 6. 문제 5번에서, a_{1},\cdots a_{n}a_{i}=1을 만족하는 i의 갯수를 b_{n}이라 하자. 이 때, 극한

\lim_{n    o \infty }\frac{b_{n}}{n}=2-\frac{log3}{log2}

이 되는 x가 존재함을 증명하여라.

  •  
    수학달콤 Lv.2 2021.04.01 07:27

    (1) 조건에 의해 x의 연분수 표현을 생각하면 x=\frac{1}{a+f(x)}=\frac{1}{a+x},  x(a+x)=1(a\in \mathbb{N}) 이다.

    따라서 x=\frac{-a+\sqrt{a^{2}+4}}{2}(a\in \mathbb{N})(\because x\in [0, 1])이다.

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    •  
      바보멍청이 Lv.1 2022.02.16 11:54 비밀댓글
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  •  
    수학달콤 Lv.2 2021.04.01 07:55

    (2) x=\frac{a}{b}라 하면 x\in [0, 1]]이므로 0\leq a\leq b이다.

    그러므로 x\neq 0이면 a\neq 0,  b=aq+r(0\leq r< a)인 양의 정수 q와 음 아닌 정수 r을 잡을 수 있다.

    f(x)=\frac{b}{a}-[\frac{b}{a}]=\frac{b}{a}-q=\frac{r}{a}이고 a+b>r+a(\because b=aq+r>r)이므로 

    x가 0 아닌 유리수이면 f(x) 또한 유리수이며, x의 분모, 분자 합이 f(x)의 분모, 분자 합보다 크다.

    f^{n}(x)=0인 n이 존재하지 않으면 x에 f를 취하면 취할수록 분자, 분모 합은 감소하는데,

    양의 정수인 분자, 분모 합은 무한히 감소할 수 없으므로 모순이다.

    따라서 f^{n}(x)=0인 n은 반드시 존재한다.

     

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  •  
    수학달콤 Lv.2 2021.04.01 08:02

    (3)f(x)\in \mathbb{Q}\Rightarrow \frac{1}{x}=[\frac{1}{x}]+f(x)\in \mathbb{Q}\Rightarrow x\in \mathbb{Q}(\because x\neq 0)이므로 

    f^{n}(x)=0\in \mathbb{Q}\Rightarrow f^{n-1}(x)\in \mathbb{Q}\Rightarrow \cdots \Rightarrow x\in \mathbb{Q}이어서 성립한다.

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    •  
      김미래_기자 Lv.15 2021.04.05 17:56

      엄청 빠르게 답변 달아주셨네요!

       

      김다인 멘토님께 답변 전달드리고 알려드리도록 하겠습니다~!

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    •  
      김미래_기자 Lv.15 2021.04.19 15:18 비밀댓글
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  •  
    다시 도전
    pure math Lv.7 2022.02.08 14:13

    5)

    2가지 방법을 썼습니다.

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    •  
      조영준 멘토 Lv.3 2022.02.09 17:00

      제가 풀이를 제대로 이해했다면, 우선 lim x_n이 존재한다는 부분부터 증명이 필요할 것 같습니다. x_n이 어떤 수로 수렴하지 않을수도 있기 때문이죠!

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    •  
      pure math Lv.7 2022.02.09 17:40

      두 번째 방법도 증명을 해야 하나요??

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    •  
      조영준 멘토 Lv.3 2022.02.14 20:02

      두 번째 풀이는 무슨 의미인지 잘 모르겠습니다.

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    •  
      pure math Lv.7 2022.02.15 01:13

      2번째 사진이요!

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    •  
      조영준 멘토 Lv.3 2022.02.15 14:21

      우선 두 번째 사진에서도 첫 줄을 쓰려면 lim x_n이 존재하는 것을 보여야 합니다.

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  •  
    pure math Lv.7 2022.03.08 21:01
    확인요청중

    1.

    x = 1/(a+x), x2+ax-1=0 이므로 x = (-a + \sqrt{}a2 + 4)/2입니다. (x > 0, 0 <= x <= 1, a는 정수)

    2.

    x가 유리수이면 무한 연분수가 아닌 유한 연분수로 나타낼 수 있습니다. (x가 유리수이면 분모와 분자로 나타낼 수 있기 때문) 즉, f(x)도 유리수입니다. 그러면, 언젠가는 연분수가 멈추는 부분이 생길 텐데, 그 지점에서의 fn(x)가 0이 됩니다. 또한, f(x)를 계속 거치면 거칠수록 분자 + 분모가 작아지는데, fn(x) = 0인 n이 없으면 양의 정수가 계속 감소하게 되어 모순이므로 fn(x) = 0 인 n이 존재합니다.

    3.

    어떤 자연수p에 대하여 fp(x)가 유리수이면, fp-1(x)도 유리수이므로, fn(x)값이 0이면, 또한 유리수니, 계속 반복하면 f(x)도 유리수고, f(x) + [1/x] = 1/x가 되어서 x도 유리수가 됩니다.

    4.

    f(x) = 1/x - [1/x], a<1/x-[1/x]<b이다. 1/x의 소수부분이 a와 b사이이다. 1<= 1/x(실수)이고, a와 b사이인 임의의 수 t에 대해 f(x) = t를 만족하는 x는 무한개이다.

    이 t에 대하여 주어진 식을 만족하는 최초의 1/x는 1 + t일 것이다. (1<=1/x) (편의상 1/x를 y라 함) 또한, y는 (1~n) + t의 꼴일 것이다. (n→무한)

    즉, y는 구간 [1+t, n+t] 안에 존재할 것이고, x는 [1/(1+t), 1/(n+t)] 안에 있을 것이다. 근데, 이것은 구간 [1/1+t, 1/t] 안에 있다는 말과 동치이다.

    그런데, 실수의 조밀성으로 인해 각 구간들의 합집합은, [위의 구간들의 양 끝점 중 가장 작은 수, 위의 구간들의 양 끝점 중 가장 큰 수]이다.

    즉, A는 [1/(1+b), 1/a]일 것이다! 또한, 각 구간에 존재하는 수들은 (x는) f(x) = t인 하나의 구간에서만 정의되고, 각 구간들끼리의 교집합이 공집합이기에 각 구간의 길이의 합이

    A의 구간의 길이이자 양 끝점의 차의 절댓값이다. 또한, 양 끝점은 빼도, 전체 길이는 같다.

    고로, A = [1/(1+b), 1/a]이고, 각 구간의 길이의 합 = A의 구간의 길이 = 1/a - 1/(1+b) 이다. (제가 구간을 잘 몰라서 기호는 신경쓰지 말아주세요 그리고, 집합 A를 멋있게 쓰고 싶었지만 기호를 어떻게 넣는지 모르겠어요ㅠㅠ(분수도))

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    •  
      강지원 멘토 Lv.4 2022.03.16 00:05

      1 : x=0 또한 f(x)=x를 만족합니다. 그리고 어려운 부분은 아니지만 x=\frac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2}가 실제로 \left[\frac{1}{x}\right]=a를 만족한다는 것 또한 확인해줘야 합니다.

      2,3 : 잘 풀었습니다.

      4: 실수의 조밀성과 각 구간의 길이의 합은 관련이 없습니다. 예를 들어 (본 문제의 경우는 아니지만) 구간 \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right)과 구간 \left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)을 봤을 때 두 구간의 길이의 합은 \frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{4}이지만, 구간의 끝점들 중 최대값-최소값으로 계산하면 \frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}가 되어 구간의 길이의 합이 나오지 않습니다. 본 문제에서는 A=\begin{Bmatrix} 0\leq x\leq 1:a<f(x)<b\end{Bmatrix}가 서로 겹치지 않는 구간들의 합집합으로 표현되는데,

      '각 자연수 n마다, 구간 (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]에서는 연속이고, 그 구간에서 함수값들을 모아놓은 집합은 [0, 1)이다'라는 문제의 지문을 보았을 때 A에 포함된 구간들의 개수는 무한 개가 된다는 사실을 알 수 있습니다. 이 무한 개의 구간의 길이의 합을 어떻게 표현할까요?

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    •  
      pure math Lv.7 2022.03.16 15:34

      그 구간 안에서 모든 실수가 포함되어 있으니 가능한 것 아닌가요??

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    •  
      강지원 멘토 Lv.4 2022.03.19 23:28

      실제로 모든 실수가 포함되어 있지 않습니다. A=\left(\frac{1}{1+b},\frac{1}{a} \right )은 참이 아닙니다.
      예를 들어서 a=\frac{1}{4}b=\frac{3}{4}인 경우를 봅시다. 만약 A=\left(\frac{1}{1+b},\frac{1}{a} \right )가 참이라면 이 경우에 A=\left(\frac{4}{7},4 \right )가 되겠죠?

      그런데 우선 1보다 큰 실수는 A에 포함될 수 없고, 1보다 작은 실수들을 보더라도 \frac{4}{7}<\frac{4}{5}<x<1이면 1<\frac{1}{x}<\frac{5}{4}에서 0<f(x)<\frac{1}{4}로 x가 A에 속하지 않게 됩니다.

      어떤 실수들이 A에 속하게 되는지 조금 더 꼼꼼하게 따져 줄 필요가 있습니다.

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    •  
      pure math Lv.7 2022.03.20 11:16

      네!

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