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[대한수학회] 대52. 함수와 연분수

수학동아 2021.03.31 18:52

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구간 $[0, 1]$ 에 함수 $f: [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ 을 다음과 같이 정의해 보자.

$\dpi{150} f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}-[\frac{1}{x}]\: \: x\neq0 \\0\; \; \; \; \;\: \: \: \: \: \: \: x= 0 \end{matrix}\right.$

이 때 $[x]$ 는 $x$ 를 넘지 않는 최대 정수를 나타낸다. 즉, $f(x)$ 는 우선 $x$ 의 역수를 생각하고, 정수 부분을 버리고 소수 부분만 택한 값이다. 이 함수의 그래프는 아래와 같다. 각 자연수 $n$ 마다, 구간 $(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$ 에서는 연속이고, 그 구간에서 함수값들을 모아놓은 집합은 $[0, 1)$ 이다. 또, $x=\frac{1}{n}$ 에서 함수는 연속이 아니다.

위 함수를 어디에 사용할 수 있는지 간단한 예와 함께 생각해 보자. 자연수 $a, b, c$ 에 대해서,

$x=\frac{1}{a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}$

꼴의 분수를 연분수라고 한다. 이 때 $\dpi{100} f(x)=\frac{1}{b+\frac{1}{c}}, f \circ f=\frac{1}{c}$ 이 된다. 따라서, $f(x)$ 는 연분수의 가장 바깥쪽 분수를 없애는 함수라고도 생각할 수 있다. 한편, $a=[\frac{1}{x}], b=[\frac{1}{f(x)}], c=[\frac{1}{f\circ f(x))}]$ 이므로, $x$ 에 함수들을 적용하여 연분수의 계수들을 찾아낼 수 있다.

문제 1. $f(x)=x$ 를 만족하는 $x$ 들을 모두 찾아라.

문제 2. $0< x\leq 1$ 인 실수 $x$ 에 대해, $x$ 가 유리수이면 $f^{n}(x)=0$ 인 자연수 $n$ 이 있음을 보여라. 단, $f^{n}(x)=\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}$ 는 $f$ 를 $n$ 번 합성한 함수이다.

문제 3. 문제 2의 역은 성립하는가?

문제 4. 실수 - $0<a<b<1$ 에 대해서, 집합 $A=\begin{Bmatrix} 0\leq x\leq 1:a<f(x)<b\end{Bmatrix}$ 는 구간들의 합집합으로 표현된다. 이 때, $A$ 를 이루는 각 구간의 길이의 합을 $a$ 와 $b$ 에 대한 함수로 표현하라.

문제 5. $0< x\leq 1$ 인 실수 $x$ 에 대하여, $a_{1}=[\frac{1}{x}], a_{2}=[\frac{1}{f(x)}], \cdots a_{n}=[\frac{1}{f^{n-1}(x)}]$ 로 정의하자. 이 때, 수열

$x_{n}=\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{\cdots +\frac{1}{a_{n}}}}}$

은 $x$ 로 수렴하는가?

문제 6. 문제 5번에서, $a_{1},\cdots a_{n}$ 중 $a_{i}=1$ 을 만족하는 $i$ 의 갯수를 $b_{n}$ 이라 하자. 이 때, 극한

$\lim_{n o \infty }\frac{b_{n}}{n}=2-\frac{log3}{log2}$

이 되는 $x$ 가 존재함을 증명하여라.

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수학달콤 Lv.2 2021.04.01 07:27

(1) 조건에 의해 $x$ 의 연분수 표현을 생각하면 $x=\frac{1}{a+f(x)}=\frac{1}{a+x}$ , $x(a+x)=1(a\in \mathbb{N})$ 이다.

따라서 $x=\frac{-a+\sqrt{a^{2}+4}}{2}(a\in \mathbb{N})$ $(\because x\in [0, 1])$ 이다.

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수학달콤 Lv.2 2021.04.01 07:55

(2) $x=\frac{a}{b}$ 라 하면 $x\in [0, 1]]$ 이므로 $0\leq a\leq b$ 이다.

그러므로 $x\neq 0$ 이면 $a\neq 0$ , $b=aq+r(0\leq r< a)$ 인 양의 정수 $q$ 와 음 아닌 정수 $r$ 을 잡을 수 있다.

$f(x)=\frac{b}{a}-[\frac{b}{a}]=\frac{b}{a}-q=\frac{r}{a}$ 이고 $a+b>r+a(\because b=aq+r>r)$ 이므로

$x$ 가 $0$ 아닌 유리수이면 $f(x)$ 또한 유리수이며, $x$ 의 분모, 분자 합이 $f(x)$ 의 분모, 분자 합보다 크다.

$f^{n}(x)=0$ 인 $n$ 이 존재하지 않으면 $x$ 에 $f$ 를 취하면 취할수록 분자, 분모 합은 감소하는데,

양의 정수인 분자, 분모 합은 무한히 감소할 수 없으므로 모순이다.

따라서 $f^{n}(x)=0$ 인 $n$ 은 반드시 존재한다.

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수학달콤 Lv.2 2021.04.01 08:02

(3) $f(x)\in \mathbb{Q}\Rightarrow \frac{1}{x}=[\frac{1}{x}]+f(x)\in \mathbb{Q}\Rightarrow x\in \mathbb{Q}(\because x\neq 0)$ 이므로

$f^{n}(x)=0\in \mathbb{Q}\Rightarrow f^{n-1}(x)\in \mathbb{Q}\Rightarrow \cdots \Rightarrow x\in \mathbb{Q}$ 이어서 성립한다.

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- 김미래_기자 Lv.5 2021.04.05 17:56
  
  엄청 빠르게 답변 달아주셨네요!
  
  김다인 멘토님께 답변 전달드리고 알려드리도록 하겠습니다~!
  
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- 김미래_기자 Lv.5 2021.04.19 15:18 비밀댓글
  
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