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[대한수학회] 대52. 함수와 연분수
수학동아 2021.03.31 18:52 조회 1046

구간 [0, 1]에 함수 f: [0, 1] \rightarrow [0, 1]을 다음과 같이 정의해 보자.

\dpi{150} f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}-[\frac{1}{x}]\: \: x\neq0 \\0\; \; \; \; \;\: \: \: \: \: \: \: x= 0 \end{matrix}\right.

이 때 [x]x를 넘지 않는 최대 정수를 나타낸다. 즉, f(x)는 우선 x의 역수를 생각하고, 정수 부분을 버리고 소수 부분만 택한 값이다. 이 함수의 그래프는 아래와 같다. 각 자연수 n마다, 구간 (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]에서는 연속이고, 그 구간에서 함수값들을 모아놓은 집합은 [0, 1)이다. 또, x=\frac{1}{n}에서 함수는 연속이 아니다.

 

위 함수를 어디에 사용할 수 있는지 간단한 예와 함께 생각해 보자. 자연수 a, b, c에 대해서,

x=\frac{1}{a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}

꼴의 분수를 연분수라고 한다. 이 때 \dpi{100} f(x)=\frac{1}{b+\frac{1}{c}}, f \circ f=\frac{1}{c}이 된다. 따라서, f(x)는 연분수의 가장 바깥쪽 분수를 없애는 함수라고도 생각할 수 있다. 한편, a=[\frac{1}{x}], b=[\frac{1}{f(x)}], c=[\frac{1}{f\circ f(x))}]이므로, x에 함수들을 적용하여 연분수의 계수들을 찾아낼 수 있다.

 

문제 1. f(x)=x를 만족하는 x들을 모두 찾아라.

 

문제 2. 0< x\leq 1인 실수 x에 대해, x가 유리수이면 f^{n}(x)=0인 자연수 n이 있음을 보여라. 단, f^{n}(x)=\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}fn번 합성한 함수이다.

 

문제 3. 문제 2의 역은 성립하는가?

 

문제 4. 실수 -0<a<b<1에 대해서, 집합 A=\begin{Bmatrix} 0\leq x\leq 1:a<f(x)<b\end{Bmatrix}는 구간들의 합집합으로 표현된다. 이 때, A를 이루는 각 구간의 길이의 합을 ab에 대한 함수로 표현하라. 

 

문제 5. 0< x\leq 1인 실수 x에 대하여, a_{1}=[\frac{1}{x}], a_{2}=[\frac{1}{f(x)}], \cdots a_{n}=[\frac{1}{f^{n-1}(x)}]로 정의하자. 이 때, 수열

x_{n}=\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{\cdots +\frac{1}{a_{n}}}}}

x로 수렴하는가?

 

문제 6. 문제 5번에서, a_{1},\cdots a_{n}a_{i}=1을 만족하는 i의 갯수를 b_{n}이라 하자. 이 때, 극한

\lim_{n    o \infty }\frac{b_{n}}{n}=2-\frac{log3}{log2}

이 되는 x가 존재함을 증명하여라.

  •  
    수학달콤 Lv.2 2021.04.01 07:27

    (1) 조건에 의해 x의 연분수 표현을 생각하면 x=\frac{1}{a+f(x)}=\frac{1}{a+x},  x(a+x)=1(a\in \mathbb{N}) 이다.

    따라서 x=\frac{-a+\sqrt{a^{2}+4}}{2}(a\in \mathbb{N})(\because x\in [0, 1])이다.

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  •  
    수학달콤 Lv.2 2021.04.01 07:55

    (2) x=\frac{a}{b}라 하면 x\in [0, 1]]이므로 0\leq a\leq b이다.

    그러므로 x\neq 0이면 a\neq 0,  b=aq+r(0\leq r< a)인 양의 정수 q와 음 아닌 정수 r을 잡을 수 있다.

    f(x)=\frac{b}{a}-[\frac{b}{a}]=\frac{b}{a}-q=\frac{r}{a}이고 a+b>r+a(\because b=aq+r>r)이므로 

    x가 0 아닌 유리수이면 f(x) 또한 유리수이며, x의 분모, 분자 합이 f(x)의 분모, 분자 합보다 크다.

    f^{n}(x)=0인 n이 존재하지 않으면 x에 f를 취하면 취할수록 분자, 분모 합은 감소하는데,

    양의 정수인 분자, 분모 합은 무한히 감소할 수 없으므로 모순이다.

    따라서 f^{n}(x)=0인 n은 반드시 존재한다.

     

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  •  
    수학달콤 Lv.2 2021.04.01 08:02

    (3)f(x)\in \mathbb{Q}\Rightarrow \frac{1}{x}=[\frac{1}{x}]+f(x)\in \mathbb{Q}\Rightarrow x\in \mathbb{Q}(\because x\neq 0)이므로 

    f^{n}(x)=0\in \mathbb{Q}\Rightarrow f^{n-1}(x)\in \mathbb{Q}\Rightarrow \cdots \Rightarrow x\in \mathbb{Q}이어서 성립한다.

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    •  
      김미래_기자 Lv.6 2021.04.05 17:56

      엄청 빠르게 답변 달아주셨네요!

       

      김다인 멘토님께 답변 전달드리고 알려드리도록 하겠습니다~!

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    •  
      김미래_기자 Lv.6 2021.04.19 15:18 비밀댓글
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