대한수학회 52번
함수와 연분수
문제 출제자 : 정의진 아주대학교 수학과 교수
구간 에 함수
을 다음과 같이 정의해 보자.
이 때 는
를 넘지 않는 최대 정수를 나타낸다. 즉,
는 우선
의 역수를 생각하고, 정수 부분을 버리고 소수 부분만 택한 값이다. 이 함수의 그래프는 아래와 같다. 각 자연수
마다, 구간
에서는 연속이고, 그 구간에서 함수값들을 모아놓은 집합은
이다. 또,
에서 함수는 연속이 아니다.
위 함수를 어디에 사용할 수 있는지 간단한 예와 함께 생각해 보자. 자연수 에 대해서,
꼴의 분수를 연분수라고 한다. 이 때 이 된다. 따라서,
는 연분수의 가장 바깥쪽 분수를 없애는 함수라고도 생각할 수 있다. 한편,
이므로,
에 함수들을 적용하여 연분수의 계수들을 찾아낼 수 있다.
문제 1. 를 만족하는
들을 모두 찾아라.
문제 2. 인 실수
에 대해,
가 유리수이면
인 자연수
이 있음을 보여라. 단,
는
를
번 합성한 함수이다.
문제 3. 문제 2의 역은 성립하는가?
문제 4. 실수 -에 대해서, 집합
는 구간들의 합집합으로 표현된다. 이 때,
를 이루는 각 구간의 길이의 합을
와
에 대한 함수로 표현하라.
문제 5. 인 실수
에 대하여,
로 정의하자. 이 때, 수열
은 로 수렴하는가?
문제 6. 문제 5번에서, 중
을 만족하는
의 갯수를
이라 하자. 이 때, 극한
이 되는 가 존재함을 증명하여라.
(2) 라 하면
이므로
이다.
그러므로 이면
,
인 양의 정수
와 음 아닌 정수
을 잡을 수 있다.
이고
이므로
가
아닌 유리수이면
또한 유리수이며,
의 분모, 분자 합이
의 분모, 분자 합보다 크다.
인
이 존재하지 않으면
에
를 취하면 취할수록 분자, 분모 합은 감소하는데,
양의 정수인 분자, 분모 합은 무한히 감소할 수 없으므로 모순이다.
따라서 인
은 반드시 존재한다.
1.
x = 1/(a+x), x2+ax-1=0 이므로 x = (-a + a2 + 4)/2입니다. (x > 0, 0 <= x <= 1, a는 정수)
2.
x가 유리수이면 무한 연분수가 아닌 유한 연분수로 나타낼 수 있습니다. (x가 유리수이면 분모와 분자로 나타낼 수 있기 때문) 즉, f(x)도 유리수입니다. 그러면, 언젠가는 연분수가 멈추는 부분이 생길 텐데, 그 지점에서의 fn(x)가 0이 됩니다. 또한, f(x)를 계속 거치면 거칠수록 분자 + 분모가 작아지는데, fn(x) = 0인 n이 없으면 양의 정수가 계속 감소하게 되어 모순이므로 fn(x) = 0 인 n이 존재합니다.
3.
어떤 자연수p에 대하여 fp(x)가 유리수이면, fp-1(x)도 유리수이므로, fn(x)값이 0이면, 또한 유리수니, 계속 반복하면 f(x)도 유리수고, f(x) + [1/x] = 1/x가 되어서 x도 유리수가 됩니다.
4.
f(x) = 1/x - [1/x], a<1/x-[1/x]<b이다. 1/x의 소수부분이 a와 b사이이다. 1<= 1/x(실수)이고, a와 b사이인 임의의 수 t에 대해 f(x) = t를 만족하는 x는 무한개이다.
이 t에 대하여 주어진 식을 만족하는 최초의 1/x는 1 + t일 것이다. (1<=1/x) (편의상 1/x를 y라 함) 또한, y는 (1~n) + t의 꼴일 것이다. (n→무한)
즉, y는 구간 [1+t, n+t] 안에 존재할 것이고, x는 [1/(1+t), 1/(n+t)] 안에 있을 것이다. 근데, 이것은 구간 [1/1+t, 1/t] 안에 있다는 말과 동치이다.
그런데, 실수의 조밀성으로 인해 각 구간들의 합집합은, [위의 구간들의 양 끝점 중 가장 작은 수, 위의 구간들의 양 끝점 중 가장 큰 수]이다.
즉, A는 [1/(1+b), 1/a]일 것이다! 또한, 각 구간에 존재하는 수들은 (x는) f(x) = t인 하나의 구간에서만 정의되고, 각 구간들끼리의 교집합이 공집합이기에 각 구간의 길이의 합이
A의 구간의 길이이자 양 끝점의 차의 절댓값이다. 또한, 양 끝점은 빼도, 전체 길이는 같다.
고로, A = [1/(1+b), 1/a]이고, 각 구간의 길이의 합 = A의 구간의 길이 = 1/a - 1/(1+b) 이다. (제가 구간을 잘 몰라서 기호는 신경쓰지 말아주세요 그리고, 집합 A를 멋있게 쓰고 싶었지만 기호를 어떻게 넣는지 모르겠어요ㅠㅠ(분수도))
1 : 또한
를 만족합니다. 그리고 어려운 부분은 아니지만
가 실제로
를 만족한다는 것 또한 확인해줘야 합니다.
2,3 : 잘 풀었습니다.
4: 실수의 조밀성과 각 구간의 길이의 합은 관련이 없습니다. 예를 들어 (본 문제의 경우는 아니지만) 구간 과 구간
을 봤을 때 두 구간의 길이의 합은
이지만, 구간의 끝점들 중 최대값-최소값으로 계산하면
가 되어 구간의 길이의 합이 나오지 않습니다. 본 문제에서는
가 서로 겹치지 않는 구간들의 합집합으로 표현되는데,
'각 자연수 마다, 구간
에서는 연속이고, 그 구간에서 함수값들을 모아놓은 집합은
이다'라는 문제의 지문을 보았을 때
에 포함된 구간들의 개수는 무한 개가 된다는 사실을 알 수 있습니다. 이 무한 개의 구간의 길이의 합을 어떻게 표현할까요?
그 구간 안에서 모든 실수가 포함되어 있으니 가능한 것 아닌가요??
실제로 모든 실수가 포함되어 있지 않습니다. 은 참이 아닙니다.
예를 들어서 ,
인 경우를 봅시다. 만약
가 참이라면 이 경우에
가 되겠죠?
그런데 우선 보다 큰 실수는
에 포함될 수 없고,
보다 작은 실수들을 보더라도
이면
에서
로
가
에 속하지 않게 됩니다.
어떤 실수들이 에 속하게 되는지 조금 더 꼼꼼하게 따져 줄 필요가 있습니다.
네!