폴리매스

1번은 c1이 충분히 작다면 c1n도 충분히 작아질 수 있기때문에 c1n이 양수임을 보이기만 하면 된다는 건가요?

그런데, 그게 맞다면 다른 문제들도 양수임을 보이기만 한다면 될텐데 그건 아닌거 같아서요.....

문제 이해를 잘 했는지 모르겠습니다.

(1)

최하단의 가장 왼쪽에 있는 점을 O라고 합시다.

일반성을 잃지 않고 O가 파란색 점이라고 할 수 있습니다.

나머지 모든 파란점들을 O를 기준으로 각도 정렬합시다.

그러면 파란 점들을 가장 반시계 방향에 있는 점부터  이라고 할 수 있습니다.

임의의 연속한 네 점  을 생각해 봅시다.

영역   내부에 있는 점들(파란점은  밖에 없고 빨간점들이 몇 개 있을 것이다)

만 생각했을 때 적어도 한개의 속 빈 단색 삼각형이 존재한다는 것을 증명합시다.

그러면 적어도  개의 속 빈 단색 삼각형이 존재하므로 (1)번의 명제를 증명할 수 있게 됩니다.

i)  가 볼록 오각형을 이룰 경우

귀류법을 사용하기 위해, 이 영역에 있는 점들만 사용하여 속 빈 단색 삼각형을 만들수 없다고 가정합시다.

그러면,  내부에 빨간 점들이 적어도 하나씩 있어야 하고, 그렇게 되면 빨간점들끼리 이루는 삼각형이 속 빈 단색 삼각형이므로 가정에 모순이 되어, 이 영역에 있는 점들만으로 적어도 하나의 속빈 단색 삼각형을 만들 수 있습니다.

II)  가 볼록 사각형을 이룰 경우

일반성을 잃지 않고 위와 같은 형태라고 합시다.

위와 같은 가정으로 귀류법을 사용하면,

 내부에 점이 적어도 하나씩 존재해야 하므로 총 네개의 빨간점이 존재합니다.

한편, 적절한 네개의 빨간점을 사용하면 적어도 2개의 disjoint 하고 속에 빨간점이 없는 단색 삼각형을 얻을 수 있는데, 이 단색 삼각형들 내부에 있을 수 있는 점은  뿐이므로 적어도 두 단색 삼각형 중 하나는 속 빈 단색 삼각형입니다. 따라서 가정에 모순입니다.

iii)  가 볼록 삼각형을 이룰 경우

위와 마찬가지의 방법으로 증명하면 되는데, 적어도 5개의 빨간 점이 필요하고 적절한 5개의 빨간점을 사용하면 disjoint 한 3개의 속에 빨간점이 없는 삼각형을 얻을 수 있는데, 이들 내부에 들어갈 수 있는 점들은  뿐이므로 적어도 하나의 빨간 속 빈 단색 삼각형이 존재합니다. 따라서 가정에 모순.