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폴리매스 문제
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[대한수학회] 대49. 제 33회 한국수학올림피아드 변형 문제
수학동아 2020.12.30 11:43

문제 0. 제 33회 한국수학올림피아드 최종시험 4번 문제

모든 양의 정수가 다음 수열에 정확 히 한 번 등장하도록 하는 양의 실수의 순서쌍 (α, β)가 존재하는가? 존재한다면 순서쌍을 모두 구하고, 그렇지 않다면 순서쌍이 존재하지 않음을 보여라.

 

2020, [\alpha ], [\beta ], 4040, [2\alpha ], [2\beta], 6060, [3\alpha ], [3\beta ], 8080, [4\alpha ], [4\beta ], . . .

(단, [x]x를 넘지 않는 최대 정수)

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두 실수 \alpha(\geq 1)\beta에 대하여 S(\alpha ,\beta )를 다음과 같이 정의하자.

S(\alpha ,\beta ) = {[\alpha +\beta ], [2\alpha +\beta ], [3\alpha +\beta ], [4\alpha +\beta ], . . .}

변형 문제 1. 

두 집합 S(\alpha _{1}, 0)S(\alpha _{2}, 0)이 자연수 집합의 분할이 되는 두 실수의 쌍 (\alpha _{1}, \alpha _{2})이 존재하 는가? 존재한다면 순서쌍을 모두 구하고, 그렇지 않다면 순서쌍이 존재하지 않음을 보여라.

 

변형 문제 2.

세 집합 S(\alpha _{1}, 0), S(\alpha _{2}, 0), S(\alpha _{3}, 0)이 자연수 집합의 분할이 되는 세 실수의 쌍 (\alpha _{1}, \alpha_{2}, \alpha _{3}) 이 존재하는가? 존재한다면 순서쌍을 모두 구하고, 그렇지 않다면 순서쌍이 존재하지 않음을 보여라.

 

변형 문제 3.

자연수 m\geq 3일 때, 집합 S(\alpha _{1}, \beta _{1}), S(\alpha _{2}, \beta _{2}), . . ., S(\alpha _{m}, \beta _{m})이 자연수 집합의 분할이 되는 경우가 존재하는가? 존재한다면 순서쌍을 모두 구하고, 그렇지 않다면 순서쌍이 존재하지 않음을 보여라.

 

변형 문제 4.

자연수 m\geq 3이고 \alpha _{1}\leq \alpha _{2}\leq ...\leq \alpha _{m}이 모두 유리수일 때, 집합 S(\alpha _{1}, \beta _{1}), S(\alpha _{2}, \beta _{2}), . . ., S(\alpha _{m}, \beta _{m})이 자연수 집합의 분할이 되는 경우가 존재하는가? 존재한다면 순서쌍을 모두 구하고, 그렇지 않다면 순서쌍이 존재하지 않음을 보여라.

 

  • 폴리매스 문제는 2019년도 정부의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물입니다.

  • ☎문의 02-6749-3911