문제 0. 제 33회 한국수학올림피아드 최종시험 4번 문제
모든 양의 정수가 다음 수열에 정확 히 한 번 등장하도록 하는 양의 실수의 순서쌍 (α, β)가 존재하는가? 존재한다면 순서쌍을 모두 구하고, 그렇지 않다면 순서쌍이 존재하지 않음을 보여라.
2020, ,
, 4040,
,
, 6060,
,
, 8080,
,
, . . .
(단, 는
를 넘지 않는 최대 정수)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
두 실수 와
에 대하여
를 다음과 같이 정의하자.
= {
,
,
,
, . . .}
변형 문제 1.
두 집합 과
이 자연수 집합의 분할이 되는 두 실수의 쌍
이 존재하 는가? 존재한다면 순서쌍을 모두 구하고, 그렇지 않다면 순서쌍이 존재하지 않음을 보여라.
변형 문제 2.
세 집합 ,
,
이 자연수 집합의 분할이 되는 세 실수의 쌍
이 존재하는가? 존재한다면 순서쌍을 모두 구하고, 그렇지 않다면 순서쌍이 존재하지 않음을 보여라.
변형 문제 3.
자연수 일 때, 집합
,
, . . .,
이 자연수 집합의 분할이 되는 경우가 존재하는가? 존재한다면 순서쌍을 모두 구하고, 그렇지 않다면 순서쌍이 존재하지 않음을 보여라.
변형 문제 4.
자연수 이고
이 모두 유리수일 때, 집합
,
, . . .,
이 자연수 집합의 분할이 되는 경우가 존재하는가? 존재한다면 순서쌍을 모두 구하고, 그렇지 않다면 순서쌍이 존재하지 않음을 보여라.