폴리매스

문제 0. 제 33회 한국수학올림피아드 최종시험 4번 문제

모든 양의 정수가 다음 수열에 정확 히 한 번 등장하도록 하는 양의 실수의 순서쌍 (α, β)가 존재하는가? 존재한다면 순서쌍을 모두 구하고, 그렇지 않다면 순서쌍이 존재하지 않음을 보여라.

2020, , , 4040, , , 6060, , , 8080, , , . . .

(단, 는 를 넘지 않는 최대 정수)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

두 실수 와 에 대하여 를 다음과 같이 정의하자.

= {, , , , . . .}

변형 문제 1. 

두 집합 과 이 자연수 집합의 분할이 되는 두 실수의 쌍 이 존재하 는가? 존재한다면 순서쌍을 모두 구하고, 그렇지 않다면 순서쌍이 존재하지 않음을 보여라.

변형 문제 2.

세 집합 , , 이 자연수 집합의 분할이 되는 세 실수의 쌍 이 존재하는가? 존재한다면 순서쌍을 모두 구하고, 그렇지 않다면 순서쌍이 존재하지 않음을 보여라.

변형 문제 3.

자연수 일 때, 집합 , , . . ., 이 자연수 집합의 분할이 되는 경우가 존재하는가? 존재한다면 순서쌍을 모두 구하고, 그렇지 않다면 순서쌍이 존재하지 않음을 보여라.

변형 문제 4.

자연수 이고 이 모두 유리수일 때, 집합 , , . . ., 이 자연수 집합의 분할이 되는 경우가 존재하는가? 존재한다면 순서쌍을 모두 구하고, 그렇지 않다면 순서쌍이 존재하지 않음을 보여라.