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폴리매스 문제
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[대한수학회] 대47. 잘 퍼트려진 수열
수학동아 2020.11.01 09:23 조회 2267

01 사이의 값을 가지는 수열 x_1, x_2, x_3, \cdots을 생각하자. 실수 0\leq a\leq1와 자연수 n이 있으면,

 

N(a, n)=a보다 작은 x_i의 개수 (단, 1\leq i\leq n)

 

를 셀 수 있다. N(a,n)0n 사이의 자연수가 된다.

 

 

 

이 때, 임의의 실수 0\leq a\leq1에 대해서,

\lim_{n    o \infty } \frac{N(a,n) }{n} = a

 

를 만족하면, 수열 x_n이 (구간 [0, 1]에서) 잘 퍼트려져 있다고 부르자.

 

 

 

 

 

문제1 수열 0,\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3},\frac{2}{3}, \cdots , 0, \frac{1}{k}, \frac{2}{k}, \cdots, \frac{k-1}{k}, \cdots이 잘 퍼뜨려진 수열임을 보여라.

 

 

 

 

 

문제2 잘 퍼트려진 수열 x_n과 실수 0\leq a <b \leq1을 생각하자. 자연수 n에 대해 M(a, b, n)을 a< x_i < b 를 만족하는 x_i의 개수 (단, 1\leq i \leq n) 라 하자. 이때,

 

\lim_{n    o \infty } \frac{M(a,b,n) }{n} = b-a

임을 보여라.

 

 

 

 

 

문제3 \alpha를 무리수라 하고, x_nn \alpha의 소수 부분이라고 정의하자. (예를 들어, \alpha =\sqrt{2}-1일 경우 x_1=\alpha, x_2=2\sqrt{2}-2, x_3=3\sqrt{2}-4가 된다.) 수열 x_n이 잘 퍼트려진 수열임을 보여라.

 

 

 

 

 

문제4 잘 퍼트려진 수열 x_n에 대해서, 다음 값이 항상 일정함을 증명하고, 그 값을 찾아라.

 

\lim_{n    o \infty } \frac{1}{n} (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2})  

 

 

 

 

문제5 수열 x_ny_n=x_{n}^{2}이 모두 잘 퍼트려진 수열 x_n이 있을까?  

 

※ 1번 문제는 리프, 파스칼 친구가, 2, 5번 문제는 파스칼 친구가 풀었습니다. 나머지 문제의 풀이가 완성되면 교수님께 검토를 요청드릴게요!

  •  
    느티나무 Math Lv.6 2020.11.02 10:09

    흠.......

    뭐...지...?

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    •  
      17수락 Lv.8 2020.11.02 12:50

      저도 아직 이 과정까지는 못갔어요

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    •  
      느티나무 Math Lv.6 2020.11.03 09:23

      저도요..

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  •  
    유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.11.02 12:08
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    문제1의 수열에서나오는 분모가 각각 같은 분수의 개수는 단조증가한다 ex) 분모가 2인 분수의개수 1 분모가 3인분수의개수 2 분모가 4인분수의개수 3 ....

    그러므로 문제1의 수열에서 나오는 0의전체개수는 수렴한다 즉, 상수로 간다는 것을 알수있다 (단조감소이면서 유계이므로) 이를 상수 c로 잡자...이를정의1이라고하자

     

    문제1에서 0을 제외한 수열 S을 보자

    a가 유리수인전재하에 풀어보자

    a = \frac{y}{x} 로 놓자 수열 S의 i번째항을 S_i라하자

    그러면 자연히 S_i = \frac{w}{z}일것이다 (즉 유리수)

    z는 우리가 1,2,3,4,5,....등 임을 알고있다 (수열을 보기에)

    wz이하 1,2,3,4,...,z-1임을 알고있다

     

    z를 우리가 임의의 값으로 놓았다고 하면

    S_{z,i}S에서 분모의수 z로 가정하는 1\leq i\leq z-1번째 수라하자 (즉, 분모가같은 S에서 모임, i는 그 분수중번째를 나타낸다)

    a와 통분하여 a보다 작은 값이 몇개있는지 알수있다

    S_{z,i}< a인것을 찾아보자

    \frac{i}{z} = \frac{y}{x}, \frac{y}{x}z = i 즉,i가  \frac{y}{x}z번째부터 a보다 커진다

    그러면

    \frac{y}{x}z = az이므로 z가 문제조건의 n에서 1~n(즉1~무한까지)

    으로 일반화하면

    그것을 모두더한거이므로 인수분해하면

    a(2+3....)

    이를 더 쉽게

    일반화하면

    a라는 수에서 문제 1의 수열에서 등장하는 유리수중에 a보다 작은 것들의 비율은 a 이다...이를 정의2라한다

    정의2와 잘 퍼뜨려졌다의정의에서 N(a,n) = na임을 알수있답니다

    또 정의 1에서

    \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{na+c}{n} = \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{na}{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{c}{n} = a

    a가 유리수일때 증명가능

     

    자 이제 a가 무리수일때만 증명하면됩니다

     

    하지만 이는 정말 쉽습니다

     


    유리수의 조밀성의 성질인 "실수와 실수사이에는 무조건 1개이상의 유리수가존재한다"
    그러면
    root(x) 와 root(x)+1사이엔 유리수가하나는존재합니다
    root(x)와 root(x)+0.1도요

    u를 u = \lim_{x\rightarrow 0}x라고하면
    root(x)와 root(x)+u 사이에도 유리수가 존재합니다

    그러면 root(x)에 수렴하는 유리수가 있다는 뜻이죠

    따라서 그 수렴하는 유리수를 p라고하면

    아까 a가 유리수조건에서 증명한 것과 같게되어

    무리수도성립합니다

     

    QED

     

     

    sin x님께서 제풀이를 검토해주셨습니다

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    •  
      유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.11.02 12:21

      아 무리수풀이일때 여기서는 root(x)만예로들었지만

       

      모든 실수도 유리수에 조밀성이 적용가능하니 괜찮습니다

       

      이게 1번풀이인건 아시겠죠?

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    •  
      Sin X Lv.5 2020.11.03 10:19

      유리수 증명 구간에서 엄밀히 하기 위해서 같다고 두면 안되고, 

      범위를 잡아서 샌드위치 정리로 극한값을 구해야 할것 같습니다.

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.12.19 13:18

      답변이 늦어서 미안합니다~!

       

      김다인 멘토의 검토 결과 Sin X님께서 설명해주셨듯이 무리수인 경우에 대해서 증명을 보완해주시면 좋을 것 같다고 합니다^^
       

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  •  
    리프 Lv.6 2020.11.02 20:08 비밀댓글
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    •  
      유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.11.02 20:34

      리프님께서 이것은 1번풀이라네요

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.12.19 13:19

      답변이 늦어서 미안합니다!

       

      김다인 멘토의 검토 결과 아주 깔끔하게 잘 풀어줬다고 합니다!^^

       

      수고했어요~!

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  •  
    Sin X Lv.5 2020.11.03 13:07
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    3번에 대한 것입니다.

    \alpha \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}이기 때문에 

    \frac{i_2}{2}<\alpha<\frac{i_2+1}{2} ,   \frac{i_3}{3}<\alpha<\frac{i_3+1}{3} , ..........   \frac{i_n}{n}<\alpha<\frac{i_n+1}{n} 꼴로 계속 나타낼수 있을것이다.

    이때 a_n={\left \{ n\alpha \right \}}인데, 

    b_n={\left [ n\alpha \right ]} 인 수열은 항들이 0, i_2,i_3...............i_n이 될것이다.

    따라서 a_n=na-i_n 의 형태 가 된다.

    이를 통해 S(\alpha ,n)는 i_n-(n-1)\alpha >0 인 것의 개수가 된다.

    위에서 정의한 범위를 조금 변형 시키면 \frac{i_n}{n}<\alpha<\frac{i_n+1}{n} 을 \alpha -1<i_n-(n-1)\alpha <\alpha로 바꿀수 있는데 이것이 양수가 될 확률은 근사적으로 \frac{\alpha -0}{\alpha -(\alpha -1)}=\alpha

    이어서 \frac{S(\alpha ,n)}{n}\approx \alpha임을 알수 있다.

    라플라스의 법칙인가에 따라서 n이 무한히 커지면 \lim_{x\to\infty}\frac{S(\alpha ,n)}{n}= \alpha이다.따라서 이 수열은 잘 퍼트려진 수열이라고 할수 있다.■

    (무한대의 끝을 본 남자님이 제 풀이를 검토해주셨습니다.)

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.12.19 13:22

      답변이 늦어서 미안합니다. 김다인 멘토가 검토한 결과 다음과 같은 피드백을 줬습니다.

       

      이 풀이에서 i_n은 특정한 정의에 의해 정확히 명시된 수열로서, i_n-(n-1)\alpha가 양수임을 증명하기 위해서는 i_n의 정의가 \alpha-1<i_n-(n-1)\alpha<\alpha임과 동치임을 보이는 것으로 충분하지 않습니다. 이 논의는 조금 어려운 말로 표현하자면, i_n-(n-1)\alpha이 구간 [\alpha-1, \alpha]에서 고르게 분포한다는 사실을 알 때만 가능합니다. 이해를 돕기 위해 하나의 예시를 들자면, a_n = n이라는 수열을 생각해보겠습니다. 이 수열의 소수부분의 분포는 어떻게 될까요? 우리는 이 소수부분이 [0,1)이라는 구간에 존재해야 한다는 사실을 알고 있고, 실제로 실수에서 임의의 수를 뽑았을 때 [0,1) 구간에서 각 수가 등장할 확률이 일정하다는 사실을 감으로 인지하고 있습니다. (이 설명에서 “확률”이라는 용어가 낯설 것입니다. 실제로 이 맥락에서 확률이라는 단어를 사용하는 것은 적절치 않으나 이 개념을 명확하게 정의하기 위해서는 조금 더 어려운 수학적인 내용이 필요합니다^^) 하지만 a_n = n이라는 특정한 수열에 대해서는 소수부분은 항상 0이죠?^^
      비록 수학적인 오류는 있지만, Sin X님의 관찰과 이를 서술하고자했던 시도에 대해서 큰 박수를 보내드리고 싶어요! Sin X님의 관찰은 매우 예리했습니다^^
       

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  •  
    파스칼 Lv.7 2020.11.04 21:55
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    1. A_k=\left \{ \frac{i}{k}\mid i\in \mathbb{Z}, 0\leq i\leq k-1 \right \}이라 하고, 'N_k(a)=a보다 작은 A_k의 원소의 수' 로 정의하자.

    이때, 수열 0,\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3},\frac{2}{3}, \cdots , 0, \frac{1}{k}, \frac{2}{k}, \cdots, \frac{k-1}{k}, \cdots에서 n번째 항까지를 모은 집합을 X_n이라 할 때 \bigcup_{k=2}^{n}A_k=X_\frac{n(n+1)}{2}이므로 N(a,\frac{n(n+1)}{2}-1)=\sum_{k=2}^{n}N_k(a) 가 성립한다.

    ka-1 \leq N_k(a)\leq \left \lfloor ka \right \rfloor \leq ka 이므로 

    a-\frac{n-1}{\frac{n(n+1)}{2}-1}=\sum_{k=2}^{n}\frac{ka-1}{\frac{n(n+1)}{2}-1}\leq \frac{N(a,\frac{n(n+1)}{2}-1)}{\frac{n(n+1)}{2}-1}=\sum_{k=2}^{n}\frac{N_k(a)}{\frac{n(n+1)}{2}-1}\leq \sum_{k=2}^{n}\frac{ka}{\frac{n(n+1)}{2}-1}=a\frac{n-1}{\frac{n(n+1)}{2}-1}=\frac{2}{n-\frac{2}{n+1}}으로 n이 무한히 커질 때 0에 수렴한다.

    모든 양의 정수 n에 대하여 n=\frac{m(m+1)}{2} +c(0\leq c\leq m)를 만족하는 양의 정수 m,c가 존재하여

    \frac{ma}{m+2}-\frac{m-1}{\frac{m(m+1)}{2}-1}\leq \sum_{k=2}^{m}\frac{ka-1}{\frac{m(m+1)}{2}-1+m}\leq \frac{N(a,n)}{n}\leq \frac{m}{\frac{m(m+1)}{2}}+\sum_{k=2}^{m}\frac{ka}{\frac{m(m+1)}{2}-1}=a+\frac{2}{(m+1)}를 만족하므로 m이 충분히 커지면 \frac{N(a,n)}{n}는 a에 수렴한다.

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.12.19 13:22

      답변이 늦어서 미안합니다. 김다인 멘토의 검토 결과 잘 푼 것 같다고 합니다.^^

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  •  
    파스칼 Lv.7 2020.11.04 22:56 비밀댓글
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    •  
      Sin X Lv.5 2020.11.04 23:50

      몇번 풀이인가요?

       

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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.11.05 21:28

      2번 풀이입니다.

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    •  
      Sin X Lv.5 2020.11.05 23:50

      그렇군요!

      저는 지금 시험기간이라서 다음주 부터 제대로 풀수 있을것 같습니다.

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.12.19 13:24

      김다인 멘토가 검토한 결과

       

      아쉽게도 \lim_{n \to \infty} E(a,n)/n은 잘 정의되지 않는 경우도 있습니다ㅠ 예시를 들자면, 수열 x_n = 1 (if 2(3^k)+1 \le n \le 4(3^k)), x_n = 0 (if 4(3^k)+1 \le n \le 2(3^{k+1})이라고 정의를 해볼게요! 이때 a = 1이라 하면, E(a,n)은 1/2n와 3/4n 사이를 계속 요동친다는 사실을 알 수 있을거에요~ 
       

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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.12.20 19:23

      수렴값을 한 변수로 놓을 수 없겠네요

      말씀하신 부분을 다시 보완하여 작성해 보았습니다

      수렴의 정의와 잘 퍼트려진 수열의 정의에 의하여, 임의의 0\leq a\leq 1과 임의의 양수 \varepsilon에 대하여 자연수 n_{a,\varepsilon}이 존재하여 n_{a,\varepsilon }\leq n을 만족하는 모든 자연수 n에 대해a-\varepsilon < \frac{N(a,n)}{n}< a+\varepsilon이 성립합니다. 그러므로 임의의 0\leq a\leq 1과 임의의 양수 \varepsilon에 대하여, max (n_{a,\frac{\varepsilon}{3} }, n_{a+\frac{\varepsilon }{3},\frac{\varepsilon }{3}})\leq n 을 만족하는 모든 자연수 n에 대해 \frac{E(a,n)}{n}\leq \frac{N(a+\frac{\varepsilon }{3},n)}{n}-\frac{N(a,n)}{n}< (a+\frac{\varepsilon }{3}+\frac{\varepsilon }{3})-(a-\frac{\varepsilon }{3})= \varepsilon이 성립하고, 수렴의 정의에 의해 \lim_{n \to \infty }\frac{E(a,n)}{n}=0입니다.

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.12.24 08:40

      김다인 멘토의 검토 결과입니다.^^

       

       잘 풀었습니다! 원래의 풀이와 보완한 풀이를 합치면 정답이에요! 다만 원래의 풀이에서 오류였던 부분도 있으니 다시 하나의 풀이로 깔끔하게 합쳐주면 더 보기 좋을 것 같아요^^

       

      파스칼 친구 수고했어요!

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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.12.25 22:16

      감사합니다!

      2번 풀이를 합치겠습니다.

      2. 자연수 n에 대해 E(a,n)을 a=x_i 를 만족하는 x_i의 수 (단, 1\leq i \leq n) 라 하겠습니다.

      수렴의 정의와 잘 퍼트려진 수열의 정의에 의하여, 임의의 0\leq a\leq 1과 임의의 양수 \varepsilon에 대하여 자연수 n_{a,\varepsilon}이 존재하여 n_{a,\varepsilon }\leq n을 만족하는 모든 자연수 n에 대해a-\varepsilon < \frac{N(a,n)}{n}< a+\varepsilon이 성립합니다. 그러므로 임의의 0\leq a\leq 1과 임의의 양수 \varepsilon에 대하여, max (n_{a,\frac{\varepsilon}{3} }, n_{a+\frac{\varepsilon }{3},\frac{\varepsilon }{3}})\leq n 을 만족하는 모든 자연수 n에 대해 \frac{E(a,n)}{n}\leq \frac{N(a+\frac{\varepsilon }{3},n)}{n}-\frac{N(a,n)}{n}< (a+\frac{\varepsilon }{3}+\frac{\varepsilon }{3})-(a-\frac{\varepsilon }{3})= \varepsilon이 성립하고, 수렴의 정의에 의해 \lim_{n \to \infty }\frac{E(a,n)}{n}=0입니다.\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{M(a,b,n)}{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{N(b,n)-N(a,n)-E(a,n)}{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{N(b,n)}{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{N(a,n)}{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{E(a,n)}{n}=b-a-\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{E(a,n)}{n}

      즉 \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{M(a,b,n)}{n}=b-a-\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{E(a,n)}{n}=b-a입니다.

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  •  
    파스칼 Lv.7 2020.11.04 23:16 비밀댓글
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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.11.05 21:29

      5번 풀이입니다.

      저도 거짓임을 증명하는 방향으로 풀었습니다.

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.12.19 13:24

      김다인 멘토의 검토 결과 잘 풀었다고 합니다.^^

       

      수고했어요! 최종 검토는 교수님께서!ㅎ

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  •  
    유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.11.05 15:11

    5번은 직관적으론 거짓으로 보입니다

     

    저도 지금 거짓이라고 잡고 증명해가고있습니다

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  •  
    파스칼 Lv.7 2020.11.05 22:52
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    4. 임의로 잘 퍼트려진 수열 a_n을 잡고, 수열 x_n=a_n^2을 생각하자. N(a, n)=a보다 작은 x_i의 개수 (단, 1\leq i\leq n), M(a,n)=a보다 작은 a_i의 개수 (단, 1\leq i\leq n)라 정의하면 \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{N(a,n)}{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{M(\sqrt{a},n)}{n}=\sqrt{a}가 성립한다. 이때 N(b,n)-N(a,n)는 a\leq x_i< b인 x_i의 개수 (단, 1\leq i\leq n)이며 E(n)x_i=1x_i의 개수 (단, 1\leq i\leq n)라 했을 때 \lim_{n \to \infty }\frac{E(n)}{n}=0이므로, \int_{0}^{1}\lim_{n \to \infty } \left \{ N(x,n)-N(x-\frac{1}{n},n) \right \} \cdot (x-\frac{1}{n})dx= \lim_{n \to \infty }\sum_ {i=1}^{n}\frac{\left \{ N(\frac{i}{n},n)-N(\frac{i-1}{n},n) \right \}\frac{i-1}{n}}{n}\leq \lim_{n \to \infty }\sum_ {i=1}^{n}\frac{x_i}{n}\leq \lim_{n \to \infty }\sum_ {i=1}^{n}\frac{\left \{ N(\frac{i}{n},n)-N(\frac{i-1}{n},n) \right \}\frac{i}{n}}{n}=\int_{0}^{1}\lim_{n \to \infty } \left \{ N(x,n)-N(x-\frac{1}{n},n) \right \} \cdot (x) dx이다. 즉\lim_{n \to \infty }\sum_ {i=1}^{n}\frac{x_i}{n}=\int_{0}^{1}\lim_{n \to \infty } \left \{ N(x,n)-N(x-\frac{1}{n},n) \right \} \cdot (x) dx=\int_{0}^{1}\lim_{n \to \infty } \left \{ \sqrt{x}-\sqrt{x-\frac{1}{n}} \right \} \cdot n\cdot (x) dx=\int_{0}^{1}\frac{d}{dx} \left \{\sqrt{x} \right \}\cdot (x) dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot (x) dx=\frac{1}{3}이므로 어느 잘 퍼뜨려진 수열 a_n에 대해서도 주어진 값은 1/3이다.

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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.11.05 23:49

      4번 풀이입니다. 약간 엄밀성이 떨어지는 부분이 있는 것 같아 공개합니다. 풀이를 검토해주시기 바랍니다. 또한 저는 답을 1/3으로 구했는데 혹시 다른 답이 나오신 분이 있다면 알려주시기 바랍니다.

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    •  
      Sin X Lv.5 2020.11.05 23:50 비밀댓글
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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.11.05 23:53

      저는 다른 식을 사용했지만 직관적으로 그렇게 하는 방법도 있을 것 같습니다.

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.12.19 13:25

      김다인 멘토의 검토 결과

       

      적분과 lim을 쓸 때에는 항상 이 값이 잘 정의되는지부터 확인해야합니다. 샌드위치 정리를 사용하고 싶었던 것으로 보이는데 이 경우에는 하한과 상한의 극한값이 같다는 사실도 보여야합니다! Limit의 적분에서 합의 limit로 넘어가는 과정이 잘 보이지 않네요. 어떤 모티브를 가지고 이런 식을 생각했는지 덧붙여줄 수 있을까요?^^
       

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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.12.26 00:27

      말씀하신 중간부분을 보충해 보겠습니다.

      우선 이 식에 들어 있는 아이디어는, 식 중간에서 1부터 n까지 i에 대해 x_i의 총합을 계산하는 부분이 나오는데, 이때 N(x,n)-N(x-1/n, n)을 이욯하여 0부터 1까지 범위를 나누어 각각의 범위에 들어 있는 x_i의 개수를 세고, 이들을 그냥 모두 x 또는 x-1/n으로 셈하여 부등식을 세우는 것입니다. 즉, 먼저 다음과 같은 식이 나옵니다.\lim_{n \to \infty }\lim_{m \to \infty }\sum_ {i=1}^{m}\frac{\left \{ N(\frac{i}{m},n)-N(\frac{i-1}{m},n) \right \}\frac{i-1}{m}}{n}\leq \lim_{n \to \infty }\sum_ {i=1}^{n}\frac{x_i}{n} \leq \lim_{n \to \infty }\lim_{m \to \infty }\sum_ {i=1}^{m}\frac{\left \{ N(\frac{i}{m},n)-N(\frac{i-1}{m},n) \right \}\frac{i}{m}}{n}

      이제, 변수 n은 시그마 안에서만 등장하므로, lim과 sum의 순서를 아래와 같이 조정합니다. 또한, \lim_{n \to \infty }N(\frac{i}{m},n)-N(\frac{i-1}{m},n)=\sqrt{\frac{i}{m}}-\sqrt{\frac{i}{m}-\frac{1}{m}}인데, \lim_{m \to \infty }의 상황에서 이 값은 \sqrt{\frac{i}{m}-\frac{1}{m}}-\sqrt{\frac{i}{m}-\frac{2}{m}}=\lim_{n \to \infty }N(\frac{i-1}{m},n)-N(\frac{i-2}{m},n)에 수렴함을 적용합니다.(\because \lim_{m \to \infty }\frac{\sqrt{\frac{i}{m}}-\sqrt{\frac{i}{m}-\frac{1}{m}}}{\sqrt{\frac{i}{m}-\frac{1}{m}}-\sqrt{\frac{i}{m}-\frac{2}{m}}}=\lim_{m \to \infty }\frac{\sqrt{\frac{i}{m}-\frac{1}{m}}+\sqrt{\frac{i}{m}-\frac{2}{m}}}{\sqrt{\frac{i}{m}}+\sqrt{\frac{i}{m}-\frac{1}{m}}}=\lim_{m \to \infty }\frac{\sqrt{\frac{i}{m}}+\sqrt{\frac{i}{m}}}{\sqrt{\frac{i}{m}}+\sqrt{\frac{i}{m}}}=1)

      \lim_{m \to \infty }\sum_ {i=1}^{m}\lim_{n \to \infty }\frac{\left \{ N(\frac{i-1}{m},n)-N(\frac{i-2}{m},n) \right \}\frac{i-1}{m}}{n}= \lim_{m \to \infty }\sum_ {i=1}^{m}\lim_{n \to \infty }\frac{\left \{ N(\frac{i}{m},n)-N(\frac{i-1}{m},n) \right \}\frac{i-1}{m}}{n}\leq \lim_{n \to \infty }\sum_ {i=1}^{n}\frac{x_i}{n} \leq \lim_{m \to \infty }\sum_ {i=1}^{m} \lim_{n \to \infty }\frac{\left \{ N(\frac{i}{m},n)-N(\frac{i-1}{m},n) \right \}\frac{i}{m}}{n} 

      이제 두 변수 n과 m의 관계를 살핍니다. 두 변수 모두 lim 아래에서 무한대로 가고 있으며, 다시 말하면 '임의의 작은 오차범위에 대해 어떤 큰 수가 존재하여 그 수보다 크기만 하면 모두 그 오차범위 내로 들어간다' 입니다. 즉 한 오차범위에 대해, 두 변수에서 각각 '큰 수'를 구하고 이 둘보다 더 큰 수를 잡기만 하면 m과 n을 일치시킬 수 있다는 것입니다. 따라서 모든 변수 m을 n으로 바꿉니다.

      \lim_{n \to \infty }\sum_ {i=1}^{n}\lim_{n \to \infty }\frac{\left \{ N(\frac{i-1}{n},n)-N(\frac{i-2}{n},n) \right \}\frac{i-1}{n}}{n}\leq \lim_{n \to \infty }\sum_ {i=1}^{n}\frac{x_i}{n} \leq \lim_{n \to \infty }\sum_ {i=1}^{n} \lim_{n \to \infty }\frac{\left \{ N(\frac{i}{n},n)-N(\frac{i-1}{n},n) \right \}\frac{i}{n}}{n}

      이제 식 형태를 살펴봅니다. 정적분의 정의로써 리만 왼쪽 합과 리만 오른쪽 합을 이용한 정의를 택해 사용하겠습니다. 각각 

      R_n=\sum_{k=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}k)\frac{b-a}{n}

      L_n=\sum_{k=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}(k-1))\frac{b-a}{n}

      이며 \lim_{n \to \infty }L_n=\lim_{n \to \infty }R_n=S일 때 \int_{a}^{b}f(x)dx=S로 정의한다는 점, 그리고 이때 정적분은 미분의 역연산을 이용해 계산할 수 있다는 점을 이용하였습니다.(출처:나무위키)

      식에서 a=0, b=1을 대입하고, 식 형태를 맞추기 위해 k를 i로 바꾸면 아래와 같습니다.

      R_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{f(\frac{i}{n})}{n}L_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{f(\frac{i-1}{n})}{n}

      이렇게 한 후 f(x)=\lim_{n \to \infty }x\left \{N(x,n)-N(x-\frac{1}{n},n) \right \}로 놓으면 원래 식과 일치합니다.

      이런 형태의 함수는 적분가능함이 알려져 있고, 따라서 이때 리만 오른쪽 합과 리만 왼쪽 합이 일치합니다. 즉, 부등식의 좌변과 우변이 같으므로 

      \lim_{n \to \infty }\sum_ {i=1}^{n}\frac{x_i}{n}=\int_{0}^{1}\lim_{n \to \infty } \left \{ N(x,n)-N(x-\frac{1}{n},n) \right \} \cdot (x) dx=\int_{0}^{1}\lim_{n \to \infty } \left \{ \sqrt{x}-\sqrt{x-\frac{1}{n}} \right \} \cdot n\cdot (x) dx=\int_{0}^{1}\frac{d}{dx} \left \{\sqrt{x} \right \}\cdot (x) dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot (x) dx=\frac{1}{3}가 됩니다.

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    파스칼 Lv.7 2020.12.25 02:09
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    3번 풀이를 언뜻 보고 풀린 줄 알았다가 오류가 있다고 해서 도전해봅니다

    3.f(a)=\lim_{n \to \infty }\frac{N(a,n)}{n}-a로 정의합니다. 그리고 f(a)의 최댓값을 g, 최솟값을 l로 잡겠습니다. 또한 <x>를 x-(x이하의 최대 정수)로 정의하겠습니다.

    Lemma 1) \alpha가 무리수이며 c가 0\leq c<1의 실수일 때, 0에서 1 사이에 존재하는 임의의 공집합이 아닌 열린구간 안에 적어도 하나의 <n\alpha +c>가 존재한다. 단, 0\leq a,b<1에서 만약 a>b라면 열린구간 (a,b)를 (a,1)\cup[0,b)로 정의한다.

    proof)<n\alpha +c>이 존재하지 않는 0에서 1 사이의 최대 길이의(<\lambda-\kappa>가 최대가 되는) 열린구간 (\kappa ,\lambda )이 존재한다고 가정하자. 그렇다면 임의의 자연수 k에 대해 열린구간 (<\kappa-k\alpha> ,<\lambda-k\alpha> )에는 <n\alpha +c>가 존재하지 않는다. 이런 열린구간들은 각자 일정한 부분을 덮으며 무한히 많으므로 어떤 두 수 k,m(k<m)이 존재하여 (<\kappa-k\alpha> ,<\lambda-k\alpha> ),(<\kappa-m\alpha> ,<\lambda-m\alpha> )는 공동 원소가 존재하고, 따라서 (\kappa ,\lambda ),(<\kappa-(m-k)\alpha> ,<\lambda-(m-k)\alpha> )에 공동 원소가 존재한다. 그런데 \alpha가 무리수이므로 이 두 구간은 일치하지 않으며, 따라서 두 구간의 합집합은 <n\alpha +c>가 존재하지 않는, (\kappa ,\lambda )보다 긴 열린구간이 된다. 이는 가정에 모순이다.

    lemma 2) 수열 x_n에서, 임의의 0 이상 1 미만의 a에 대해 f(< a+\alpha>)=f(a)이다.

    proof) 수열 y_ny_n=x_{n+1}로 정의하자. 이때 수열 x_n에 대한 함수 f를 f_x(a), 수열 y_n에 대한 함수 f를 f_y(a)라 부른다. x_1이 빠져도 n이 무한히 커지면 f(a)=\lim_{n \to \infty }\frac{N(a,n)}{n}-a는 영향을 받지 않으므로 f_x(a)=f_y(a)이다. 그런데 y_n은 모든 n에 대해 y_n=<x_n+\alpha>를 만족한다. 따라서 f_y(< a+\alpha>)=f_x(a)+f_x(<-\alpha >)이며, 임의의 a에 대해 f_x(< a+\alpha>)=f_x(a)+f_x(<-\alpha >)이다. 이때, f가 최댓값 또는 최솟값을 갖는 임의의 지점을 각각 잡아 f(\sigma)=g, f(\rho)=l이라 하자. f(\sigma)=g일 때 f(<\sigma+\alpha>)=g+f(<-\alpha>)이므로 f(<-\alpha>)\leq0이다. f(\rho)=l일 때 f(<\rho +\alpha>)=l+f(<-\alpha>)이므로 f(<-\alpha>)\geq0이다. 따라서 f(<-\alpha>)=0이며, 임의의 a에 대해 f_x(< a+\alpha>)=f_x(a)이다.

    이제 본 문제로 돌아가겠습니다. f가 최댓값 또는 최솟값을 갖는 임의의 지점을 각각 잡아 f(\sigma)=g, f(\rho)=l이라 하겠습니다. lemma 2에 의해 임의의 자연수 k에 대해 f(< \sigma +k\alpha>)=g이며 f(< \rho +k\alpha>)=l입니다. 즉 lemma 1에 의해, 임의의 0부터 1 사이의 공집합이 아닌 열린구간에는 f(a)값이 g인 a와 f(a)값이 l인 a가 존재합니다. 이제 열린구간 (0.5, 0.6) 안에서 f(a)값이 g인 a를 찾아 \beta라 하고, 임의의 충분히 작은 양수 \epsilon에 대해 (\beta ,\beta +\epsilon ) 안에서 f(a)값이 l인 a를 찾아 \gamma라 하겠습니다. 이때 0\leq g-l=f(\beta )-f(\gamma )=\lim_{n \to \infty }\frac{N(\beta ,n)}{n}-\beta -\lim_{n \to \infty }\frac{N(\gamma ,n)}{n}+\gamma =\lim_{n \to \infty }\frac{N(\beta ,n)}{n}-\frac{N(\gamma ,n)}{n}-\beta +\gamma \leq \lim_{n \to \infty}\frac{N(\beta ,n)-N(\gamma ,n)}{n}+\epsilon\leq \epsilon이며, 이 부등식이 모든 작은 양수 \epsilon에서 성립하므로 g-l=0입니다. 따라서 f(a)는 상수함수입니다. 이때 f(0)=0이므로 임의의 a에 대해 f(a)=0이고 수열 x_n에 대해 \lim_{n \to \infty }\frac{N(a,n)}{n}=a입니다.

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      김미래_기자 Lv.6 2021.01.11 18:04

      안녕하세요! 김다인 멘토의 피드백 전해드립니다!

       

      f(a)의 최댓값과 최솟값이 항상 존재하지는 않습니다! a로 가능한 값은 0 이상 1 미만의 실수인데, f(a) = a라고 주어진다면 이 함수의 최댓값은 존재하지 않겠죠? 마찬가지로 귀류법을 쓸 때, <n\alpha+c>가 존재하지 않는 “최대 길이”의 열린 구간이 항상 존재할까요? 다만 Lemma1은 참인 명제입니다^^ Lemma2의 증명에서 f의 최댓값과 최솟값을 잡는 과정이 중요한 아이디어로 잡혀있기 때문에 보완해주세요~!
       

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      파스칼 Lv.7 2021.01.12 12:46

      잘못 사용하면 위험한 부분인 최댓값, 최솟값을 너무 쉽게 하나의 값으로 정의하고 있었네요

      말씀하신 부분을 보완해 보았습니다. f(a)가 가질 수 있는 값은 실수 내의 위아래로 유계인 부분집합입니다. 그러므로 f(a)가 가질 수 있는 모든 값의 집합에서 상한 v_{max}와 하한 v_{min}을 잡습니다. 그 다음 임의의 작은 양수 \epsilon에 대하여, f(a)가 (v_{max}-\epsilon,v_{max})안의 값 g와 (v_{min}v_{min}+\epsilon) 안의 값 l을 갖는 임의의 지점을 f(\sigma)=g, f(\rho)=l로 각각 잡으면, f(<\sigma+\alpha>)=g+f(<-\alpha>)에서 f(<-\alpha>)\leq\epsilon, f(<\rho +\alpha>)=l+f(<-\alpha>)에서 f(<-\alpha>)\geq\epsilon입니다. 이것이 모든 양수 \epsilon에 대해 성립하므로 f(<-\alpha>)=0이며, 임의의 a에 대해 f_x(< a+\alpha>)=f_x(a)입니다.

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      최기자 Lv.4 2021.02.07 16:43

      김다인 멘토의 추가 피드백이 있어서 전달해요~!^^

       

      저번에 피드백을 할 때보다 좀 더 근본적인 곳에서 오류를 찾았네요… 사실 이 문제에서는 f라는 함수가 잘 정의되는지 아직 모르죠? lim N(a,n)/n이 왜 잘 정의되는지 생각해보면 좋을 것 같아요!

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    Junee Lv.2 2020.12.28 00:36
    확인요청중

    4번을 제 나름대로 풀어봤습니다. 저는 엄밀하게 증명을 한다는 게 정확히 뭔지를 잘 몰라서...공개로 해 놓겠습니다.

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      김미래_기자 Lv.6 2021.01.11 18:03

      안녕하세요! 김다인 멘토의 피드백 전해드립니다!

       

      첫 줄에 쓰여진 식은 2번 문제에 a=k/n, b=(k+1)/n을 대입하여 얻은 것으로 보여집니다! 하지만 2번 문제의 경우에는 고정된 a,b에 대한 식인 반면에 a=k/n, b=(k+1)/n을 대입하게 되면 이 경우에는 a,b가 n에 의존하게 되죠? 따라서 이렇게 a,b를 잡아 2번 문제를 적용할 수 없어요~ 다시 도전해보세요!
       

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    수좋학 Lv.5 2021.01.06 14:54

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