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폴리매스 문제
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[대한수학회] 대47. 잘 퍼트려진 수열
수학동아 2020.11.01 09:23

01 사이의 값을 가지는 수열 x_1, x_2, x_3, \cdots을 생각하자. 실수 0\leq a\leq1와 자연수 n이 있으면,

 

N(a, n)=a보다 작은 x_i의 개수 (단, 1\leq i\leq n)

 

를 셀 수 있다. N(a,n)0n 사이의 자연수가 된다.

 

 

 

이 때, 임의의 실수 0\leq a\leq1에 대해서,

\lim_{n    o \infty } \frac{N(a,n) }{n} = a

 

를 만족하면, 수열 x_n이 (구간 [0, 1]에서) 잘 퍼트려져 있다고 부르자.

 

 

 

 

 

문제1 수열 0,\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3},\frac{2}{3}, \cdots , 0, \frac{1}{k}, \frac{2}{k}, \cdots, \frac{k-1}{k}, \cdots이 잘 퍼뜨려진 수열임을 보여라.

 

 

 

 

 

문제2 잘 퍼트려진 수열 x_n과 실수 0\leq a <b \leq1을 생각하자. 자연수 n에 대해 M(a, b, n)을 a< x_i < b 를 만족하는 x_i의 개수 (단, 1\leq i \leq n) 라 하자. 이때,

 

\lim_{n    o \infty } \frac{M(a,b,n) }{n} = b-a

임을 보여라.

 

 

 

 

 

문제3 \alpha를 무리수라 하고, x_nn \alpha의 소수 부분이라고 정의하자. (예를 들어, \alpha =\sqrt{2}-1일 경우 x_1=\alpha, x_2=2\sqrt{2}-2, x_3=3\sqrt{2}-4가 된다.) 수열 x_n이 잘 퍼트려진 수열임을 보여라.

 

 

 

 

 

문제4 잘 퍼트려진 수열 x_n에 대해서, 다음 값이 항상 일정함을 증명하고, 그 값을 찾아라.

 

\lim_{n    o \infty } \frac{1}{n} (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2})  

 

 

 

 

문제5 수열 x_ny_n=x_{n}^{2}이 모두 잘 퍼트려진 수열 x_n이 있을까?  

 

 

  •  
    승승남매 Lv.4 2020.11.02 10:09

    흠.......

    뭐...지...?

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    •  
      수락 Lv.7 2020.11.02 12:50

      저도 아직 이 과정까지는 못갔어요

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    •  
      승승남매 Lv.4 2020.11.03 09:23

      저도요..

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  •  
    무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.11.02 12:08
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    문제1의 수열에서나오는 분모가 각각 같은 분수의 개수는 단조증가한다 ex) 분모가 2인 분수의개수 1 분모가 3인분수의개수 2 분모가 4인분수의개수 3 ....

    그러므로 문제1의 수열에서 나오는 0의전체개수는 수렴한다 즉, 상수로 간다는 것을 알수있다 (단조감소이면서 유계이므로) 이를 상수 c로 잡자...이를정의1이라고하자

     

    문제1에서 0을 제외한 수열 S을 보자

    a가 유리수인전재하에 풀어보자

    a = \frac{y}{x} 로 놓자 수열 S의 i번째항을 S_i라하자

    그러면 자연히 S_i = \frac{w}{z}일것이다 (즉 유리수)

    z는 우리가 1,2,3,4,5,....등 임을 알고있다 (수열을 보기에)

    wz이하 1,2,3,4,...,z-1임을 알고있다

     

    z를 우리가 임의의 값으로 놓았다고 하면

    S_{z,i}S에서 분모의수 z로 가정하는 1\leq i\leq z-1번째 수라하자 (즉, 분모가같은 S에서 모임, i는 그 분수중번째를 나타낸다)

    a와 통분하여 a보다 작은 값이 몇개있는지 알수있다

    S_{z,i}< a인것을 찾아보자

    \frac{i}{z} = \frac{y}{x}, \frac{y}{x}z = i 즉,i가  \frac{y}{x}z번째부터 a보다 커진다

    그러면

    \frac{y}{x}z = az이므로 z가 문제조건의 n에서 1~n(즉1~무한까지)

    으로 일반화하면

    그것을 모두더한거이므로 인수분해하면

    a(2+3....)

    이를 더 쉽게

    일반화하면

    a라는 수에서 문제 1의 수열에서 등장하는 유리수중에 a보다 작은 것들의 비율은 a 이다...이를 정의2라한다

    정의2와 잘 퍼뜨려졌다의정의에서 N(a,n) = na임을 알수있답니다

    또 정의 1에서

    \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{na+c}{n} = \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{na}{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{c}{n} = a

    a가 유리수일때 증명가능

     

    자 이제 a가 무리수일때만 증명하면됩니다

     

    하지만 이는 정말 쉽습니다

     


    유리수의 조밀성의 성질인 "실수와 실수사이에는 무조건 1개이상의 유리수가존재한다"
    그러면
    root(x) 와 root(x)+1사이엔 유리수가하나는존재합니다
    root(x)와 root(x)+0.1도요

    u를 u = \lim_{x\rightarrow 0}x라고하면
    root(x)와 root(x)+u 사이에도 유리수가 존재합니다

    그러면 root(x)에 수렴하는 유리수가 있다는 뜻이죠

    따라서 그 수렴하는 유리수를 p라고하면

    아까 a가 유리수조건에서 증명한 것과 같게되어

    무리수도성립합니다

     

    QED

     

     

    sin x님께서 제풀이를 검토해주셨습니다

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.11.02 12:21

      아 무리수풀이일때 여기서는 root(x)만예로들었지만

       

      모든 실수도 유리수에 조밀성이 적용가능하니 괜찮습니다

       

      이게 1번풀이인건 아시겠죠?

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    •  
      Sin X Lv.5 2020.11.03 10:19

      유리수 증명 구간에서 엄밀히 하기 위해서 같다고 두면 안되고, 

      범위를 잡아서 샌드위치 정리로 극한값을 구해야 할것 같습니다.

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  •  
    리프 Lv.6 2020.11.02 20:08 비밀댓글
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  •  
    Sin X Lv.5 2020.11.03 13:07
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    3번에 대한 것입니다.

    \alpha \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}이기 때문에 

    \frac{i_2}{2}<\alpha<\frac{i_2+1}{2} ,   \frac{i_3}{3}<\alpha<\frac{i_3+1}{3} , ..........   \frac{i_n}{n}<\alpha<\frac{i_n+1}{n} 꼴로 계속 나타낼수 있을것이다.

    이때 a_n={\left \{ n\alpha \right \}}인데, 

    b_n={\left [ n\alpha \right ]} 인 수열은 항들이 0, i_2,i_3...............i_n이 될것이다.

    따라서 a_n=na-i_n 의 형태 가 된다.

    이를 통해 S(\alpha ,n)는 i_n-(n-1)\alpha >0 인 것의 개수가 된다.

    위에서 정의한 범위를 조금 변형 시키면 \frac{i_n}{n}<\alpha<\frac{i_n+1}{n} 을 \alpha -1<i_n-(n-1)\alpha <\alpha로 바꿀수 있는데 이것이 양수가 될 확률은 근사적으로 \frac{\alpha -0}{\alpha -(\alpha -1)}=\alpha

    이어서 \frac{S(\alpha ,n)}{n}\approx \alpha임을 알수 있다.

    라플라스의 법칙인가에 따라서 n이 무한히 커지면 \lim_{x\to\infty}\frac{S(\alpha ,n)}{n}= \alpha이다.따라서 이 수열은 잘 퍼트려진 수열이라고 할수 있다.■

    (무한대의 끝을 본 남자님이 제 풀이를 검토해주셨습니다.)

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  •  
    파스칼 Lv.5 2020.11.04 21:55
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    1. A_k=\left \{ \frac{i}{k}\mid i\in \mathbb{Z}, 0\leq i\leq k-1 \right \}이라 하고, 'N_k(a)=a보다 작은 A_k의 원소의 수' 로 정의하자.

    이때, 수열 0,\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3},\frac{2}{3}, \cdots , 0, \frac{1}{k}, \frac{2}{k}, \cdots, \frac{k-1}{k}, \cdots에서 n번째 항까지를 모은 집합을 X_n이라 할 때 \bigcup_{k=2}^{n}A_k=X_\frac{n(n+1)}{2}이므로 N(a,\frac{n(n+1)}{2}-1)=\sum_{k=2}^{n}N_k(a) 가 성립한다.

    ka-1 \leq N_k(a)\leq \left \lfloor ka \right \rfloor \leq ka 이므로 

    a-\frac{n-1}{\frac{n(n+1)}{2}-1}=\sum_{k=2}^{n}\frac{ka-1}{\frac{n(n+1)}{2}-1}\leq \frac{N(a,\frac{n(n+1)}{2}-1)}{\frac{n(n+1)}{2}-1}=\sum_{k=2}^{n}\frac{N_k(a)}{\frac{n(n+1)}{2}-1}\leq \sum_{k=2}^{n}\frac{ka}{\frac{n(n+1)}{2}-1}=a\frac{n-1}{\frac{n(n+1)}{2}-1}=\frac{2}{n-\frac{2}{n+1}}으로 n이 무한히 커질 때 0에 수렴한다.

    모든 양의 정수 n에 대하여 n=\frac{m(m+1)}{2} +c(0\leq c\leq m)를 만족하는 양의 정수 m,c가 존재하여

    \frac{ma}{m+2}-\frac{m-1}{\frac{m(m+1)}{2}-1}\leq \sum_{k=2}^{m}\frac{ka-1}{\frac{m(m+1)}{2}-1+m}\leq \frac{N(a,n)}{n}\leq \frac{m}{\frac{m(m+1)}{2}}+\sum_{k=2}^{m}\frac{ka}{\frac{m(m+1)}{2}-1}=a+\frac{2}{(m+1)}를 만족하므로 m이 충분히 커지면 \frac{N(a,n)}{n}는 a에 수렴한다.

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  •  
    파스칼 Lv.5 2020.11.04 22:56 비밀댓글
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    •  
      Sin X Lv.5 2020.11.04 23:50

      몇번 풀이인가요?

       

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    •  
      파스칼 Lv.5 2020.11.05 21:28

      2번 풀이입니다.

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    •  
      Sin X Lv.5 2020.11.05 23:50

      그렇군요!

      저는 지금 시험기간이라서 다음주 부터 제대로 풀수 있을것 같습니다.

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  •  
    파스칼 Lv.5 2020.11.04 23:16 비밀댓글
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    •  
      파스칼 Lv.5 2020.11.05 21:29

      5번 풀이입니다.

      저도 거짓임을 증명하는 방향으로 풀었습니다.

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  •  
    무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.11.05 15:11

    5번은 직관적으론 거짓으로 보입니다

     

    저도 지금 거짓이라고 잡고 증명해가고있습니다

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  •  
    파스칼 Lv.5 2020.11.05 22:52
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    4. 임의로 잘 퍼트려진 수열 a_n을 잡고, 수열 x_n=a_n^2을 생각하자. N(a, n)=a보다 작은 x_i의 개수 (단, 1\leq i\leq n), M(a,n)=a보다 작은 a_i의 개수 (단, 1\leq i\leq n)라 정의하면 \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{N(a,n)}{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{M(\sqrt{a},n)}{n}=\sqrt{a}가 성립한다. 이때 N(b,n)-N(a,n)는 a\leq x_i< b인 x_i의 개수 (단, 1\leq i\leq n)이며 E(n)x_i=1x_i의 개수 (단, 1\leq i\leq n)라 했을 때 \lim_{n \to \infty }\frac{E(n)}{n}=0이므로, \int_{0}^{1}\lim_{n \to \infty } \left \{ N(x,n)-N(x-\frac{1}{n},n) \right \} \cdot (x-\frac{1}{n})dx= \lim_{n \to \infty }\sum_ {i=1}^{n}\frac{\left \{ N(\frac{i}{n},n)-N(\frac{i-1}{n},n) \right \}\frac{i-1}{n}}{n}\leq \lim_{n \to \infty }\sum_ {i=1}^{n}\frac{x_i}{n}\leq \lim_{n \to \infty }\sum_ {i=1}^{n}\frac{\left \{ N(\frac{i}{n},n)-N(\frac{i-1}{n},n) \right \}\frac{i}{n}}{n}=\int_{0}^{1}\lim_{n \to \infty } \left \{ N(x,n)-N(x-\frac{1}{n},n) \right \} \cdot (x) dx이다. 즉\lim_{n \to \infty }\sum_ {i=1}^{n}\frac{x_i}{n}=\int_{0}^{1}\lim_{n \to \infty } \left \{ N(x,n)-N(x-\frac{1}{n},n) \right \} \cdot (x) dx=\int_{0}^{1}\lim_{n \to \infty } \left \{ \sqrt{x}-\sqrt{x-\frac{1}{n}} \right \} \cdot n\cdot (x) dx=\int_{0}^{1}\frac{d}{dx} \left \{\sqrt{x} \right \}\cdot (x) dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot (x) dx=\frac{1}{3}이므로 어느 잘 퍼뜨려진 수열 a_n에 대해서도 주어진 값은 1/3이다.

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    •  
      파스칼 Lv.5 2020.11.05 23:49

      4번 풀이입니다. 약간 엄밀성이 떨어지는 부분이 있는 것 같아 공개합니다. 풀이를 검토해주시기 바랍니다. 또한 저는 답을 1/3으로 구했는데 혹시 다른 답이 나오신 분이 있다면 알려주시기 바랍니다.

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    •  
      Sin X Lv.5 2020.11.05 23:50 비밀댓글
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    •  
      파스칼 Lv.5 2020.11.05 23:53

      저는 다른 식을 사용했지만 직관적으로 그렇게 하는 방법도 있을 것 같습니다.

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