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폴리매스 문제
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[대한수학회] 대46. 특별한 수열
수학동아 2020.10.05 10:25

다음과 같이 정의되는 수열을 생각해 봅시다. 양의 정수 k가 주어졌을 때 (k>1), a_1=a_2=\cdots =a_k=1이고, k가 홀수일 때는

 

a_n=(a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots+a_{n-\frac{k-1}{2}}a_{n-\frac{k+1}{2}})/a_{n-k}   (n>k)

 

k가 짝수일 때는

 

a_n=(a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots+a_{n-\frac{k}{2}}^{2})/a_{n-k}

인 관계가 성립합니다. 이 수열은 대수학 연구에서 나타나는 수열인데, 몇몇 k에 대해서는 수열의 모든 항이 정수임을 보일 수 있습니다.

 

문제 1 k=4일 때 수열 \left \{ a_n \right \}의 모든 항이 정수임을 증명하세요. 이때, 수열의 점화식은

 

a_1=a_2=a_3=a_4=1

a_n=(a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2})/a_{n-4}  (n>4)

 

입니다.

 

 

문제 2 수열 \left \{ a_n \right \}이 정수가 아닌 항을 포함하게 되는 최소의 k를 구하세요.

 

※ 문제 1은 여백패르마 친구가 잘 풀었습니다. 2번까지 풀리면 교수님께 정답 확인을 요청하겠습니다~!

  •  
    Sin X Lv.5 2020.10.10 15:59 비밀댓글
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    •  
      최기자 Lv.4 2020.12.19 13:11

      답변이 늦어서 미안합니다~!

       

      김다인 멘토가 검토한 결과 보완이 필요하다고 하네요! 아래 내용을 참고하세요!

       

      a_{n-6}a_{n-7}(a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}a_{n-2}) \equiv 0 (a_{n-4})라고 말씀해주셨는데, 이 부분까지는 맞는 논의입니다! 다만 이 뒤에서 a_{n-6}a_{n-7}a_{n-4}의 배수가 아니기 때문에 a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^2a_{n-4}의 배수여야된다고 하셨는데, 이는 a_{n-4}이 소수일 때만 성립하는 명제입니다. 예를 들어 6x14 = 84는 4의 배수이지만 6과 14는 모두 4의 배수가 아닌 것처럼요. 다시 한 번 생각해보길 바랄게요!
       

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    Sin X Lv.5 2020.10.14 14:14 비밀댓글
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    무한대의끝을본남자 Lv.7 2020.10.14 16:22

    일정이많아서 못푸네요 ㅠㅠㅠ

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    여백 패르마 Lv.5 2020.10.31 18:22
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    •  
      여백 패르마 Lv.5 2020.10.31 18:22

      1번 풀이입니당

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.12.19 13:12

      답변이 늦어서 미안해요~!

       

      김다인 멘토의 검토 결과 잘 풀었다고 하네요.^^

       

      다만 수학적 귀납법을 적용하던 중에 사소한 오타가 있는데, 보조정리2를 적용한 직후에 계산한 식에서 a_{k-2}^3*\bar{a_{k-4}} + a_{k-1}^2를 계산하려고 했던 것으로 보이네요!

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  • 폴리매스 문제는 2019년도 정부의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물입니다.

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