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[대한수학회] 대46. 특별한 수열

수학동아 2020.10.05 10:25

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다음과 같이 정의되는 수열을 생각해 봅시다. 양의 정수 $k$ 가 주어졌을 때 $(k>1)$ , $a_1=a_2=\cdots =a_k=1$ 이고, $k$ 가 홀수일 때는

$a_n=(a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots+a_{n-\frac{k-1}{2}}a_{n-\frac{k+1}{2}})/a_{n-k}$ $(n>k)$

$k$ 가 짝수일 때는

$a_n=(a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots+a_{n-\frac{k}{2}}^{2})/a_{n-k}$

인 관계가 성립합니다. 이 수열은 대수학 연구에서 나타나는 수열인데, 몇몇 $k$ 에 대해서는 수열의 모든 항이 정수임을 보일 수 있습니다.

문제 1 $k=4$ 일 때 수열 $\left \{ a_n \right \}$ 의 모든 항이 정수임을 증명하세요. 이때, 수열의 점화식은

$a_1=a_2=a_3=a_4=1$

$a_n=(a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2})/a_{n-4}$ $(n>4)$

입니다.

문제 2 수열 $\left \{ a_n \right \}$ 이 정수가 아닌 항을 포함하게 되는 최소의 $k$ 를 구하세요.

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