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폴리매스 문제
세상에 없던 문제에 도전하세요!
[대한수학회] 대46. 특별한 수열
수학동아 2020.10.05 10:25

다음과 같이 정의되는 수열을 생각해 봅시다. 양의 정수 k가 주어졌을 때 (k>1), a_1=a_2=\cdots =a_k=1이고, k가 홀수일 때는

 

a_n=(a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots+a_{n-\frac{k-1}{2}}a_{n-\frac{k+1}{2}})/a_{n-k}   (n>k)

 

k가 짝수일 때는

 

a_n=(a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots+a_{n-\frac{k}{2}}^{2})/a_{n-k}

인 관계가 성립합니다. 이 수열은 대수학 연구에서 나타나는 수열인데, 몇몇 k에 대해서는 수열의 모든 항이 정수임을 보일 수 있습니다.

 

문제 1 k=4일 때 수열 \left \{ a_n \right \}의 모든 항이 정수임을 증명하세요. 이때, 수열의 점화식은

 

a_1=a_2=a_3=a_4=1

a_n=(a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2})/a_{n-4}  (n>4)

 

입니다.

 

 

문제 2 수열 \left \{ a_n \right \}이 정수가 아닌 항을 포함하게 되는 최소의 k를 구하세요.

 

 

  • 폴리매스 문제는 2019년도 정부의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물입니다.

  • ☎문의 02-6749-3911