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[대한수학회] 대46. 특별한 수열

수학동아 2020.10.05 10:25 조회 2562

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대한수학회 46번

특별한 수열

문제 출제자 : 이지운 KAIST 수리과학과 교수

다음과 같이 정의되는 수열을 생각해 봅시다. 양의 정수 $k$ 가 주어졌을 때 $(k>1)$ , $a_1=a_2=\cdots =a_k=1$ 이고, $k$ 가 홀수일 때는

$a_n=(a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots+a_{n-\frac{k-1}{2}}a_{n-\frac{k+1}{2}})/a_{n-k}$ $(n>k)$

$k$ 가 짝수일 때는

$a_n=(a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots+a_{n-\frac{k}{2}}^{2})/a_{n-k}$

인 관계가 성립합니다. 이 수열은 대수학 연구에서 나타나는 수열인데, 몇몇 $k$ 에 대해서는 수열의 모든 항이 정수임을 보일 수 있습니다.

문제 1 $k=4$ 일 때 수열 $\left \{ a_n \right \}$ 의 모든 항이 정수임을 증명하세요. 이때, 수열의 점화식은

$a_1=a_2=a_3=a_4=1$

$a_n=(a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2})/a_{n-4}$ $(n>4)$

입니다.

문제 2 수열 $\left \{ a_n \right \}$ 이 정수가 아닌 항을 포함하게 되는 최소의 $k$ 를 구하세요.

※ 문제 1은 여백패르마 친구가 잘 풀었습니다. 2번까지 풀리면 교수님께 정답 확인을 요청하겠습니다~!

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Sin X Lv.5 2020.10.10 15:59 비밀댓글

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- 최기자 Lv.4 2020.12.19 13:11
  
  답변이 늦어서 미안합니다~!
  
  김다인 멘토가 검토한 결과 보완이 필요하다고 하네요! 아래 내용을 참고하세요!
  
  $a_{n-6}a_{n-7}(a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}a_{n-2}) \equiv 0 (a_{n-4})$ 라고 말씀해주셨는데, 이 부분까지는 맞는 논의입니다! 다만 이 뒤에서 $a_{n-6}a_{n-7}$ 이 $a_{n-4}$ 의 배수가 아니기 때문에 $a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^2$ 이 $a_{n-4}$ 의 배수여야된다고 하셨는데, 이는 $a_{n-4}$ 이 소수일 때만 성립하는 명제입니다. 예를 들어 6x14 = 84는 4의 배수이지만 6과 14는 모두 4의 배수가 아닌 것처럼요. 다시 한 번 생각해보길 바랄게요!
  
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Sin X Lv.5 2020.10.14 14:14 비밀댓글

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비밀 댓글이 등록 되었습니다.

댓글 작성하기 댓글수0
유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.10.14 16:22

일정이많아서 못푸네요 ㅠㅠㅠ

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여백 패르마 Lv.5 2020.10.31 18:22

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- 여백 패르마 Lv.5 2020.10.31 18:22
  
  1번 풀이입니당
  
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- 최기자 Lv.4 2020.12.19 13:12
  
  답변이 늦어서 미안해요~!
  
  김다인 멘토의 검토 결과 잘 풀었다고 하네요.^^
  
  다만 수학적 귀납법을 적용하던 중에 사소한 오타가 있는데, 보조정리2를 적용한 직후에 계산한 식에서 $a_{k-2}^3*\bar{a_{k-4}} + a_{k-1}^2$ 를 계산하려고 했던 것으로 보이네요!
  
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