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폴리매스 문제
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[슬기로운 수학생활] 슬4. 거듭제곱수의 합은 어디로 수렴할까?
수학동아 2020.08.01 07:54

 

거듭제곱수는 2 이상의 두 자연수 a, b에 대해 a^b 꼴로 나타낼 수 있는 수다.

 

모든 거듭제곱수 a에 대해 \frac{1}{a-1}꼴의 분수를 다 합하면 어느 값으로 수렴할까?

 

즉, 무한급수 \frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\cdots의 합은 얼마인가?

 

 

※김다인 멘토의 검토 결과 이 문제는 파스칼과 리프 친구가 잘 해결했습니다. 출제자인 백진언 연구원의 검토 후 최종 해결 처리를 하겠습니다.^^

 

 

◆특별 추가 문제!◆

 

김다인 멘토가 학생들의 풀이를 보면서 아래와 같은 추가 문제를 제시했습니다.

 

관심 있는 친구는 도전해 보세요!

 

파스칼과 리프 학생은 a_{i,j}라는 2차원 수열이 있을 때, 이를 i에 대해서 더하고 j에 대해 더한 결과값과 j에 대해서 더하고 i에 대해 더한 값이 같다고 생각하고 풀었습니다.

하지만 일반적으로 성립하는 식은 아닙니다. 따라서 아래 문제를 증명해 보기를 권합니다.

 

추가 문제 양의 정수의 순서쌍 (i,j)에 대해 a_{i,j}는 실수다. 이때 \sum_i \sum_j a_{i,j} \ne \sum_j \sum_i a_{i,j}이지만 4개의 무한합은 모두 수렴하는 a_{i,j}가 존재함을 보여라.

 

 출제자인 백진언 연구원의 검토 결과 이 문제는 파스칼 학생과 리프 학생이 맞혔습니다. 축하합니다.^^

 

  •  
    infinitepi Lv.9 2020.08.01 09:13

    4번째인것 같은데요

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  •  
    △π Lv.9 2020.08.01 19:00

    (기대는 하지만 문제는 못풀어 슬픈 삼각파이)

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    •  
      빅수비 Lv.11 2020.08.01 19:05

      그런 2인...

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  •  
    파스칼 Lv.6 2020.08.03 21:33

    1이 된다는 것을 증명한 것 같습니다.

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  •  
    infinitepi Lv.9 2020.08.03 22:45

    음... 제생각엔 1/4+1/8+1/16+....=1/2, 1/9+1/27+1/81+....=1/6, .....

    1/2+1/6+1/12+1/20+....=1인데,

    파스칼님의 말에 따르면 여기서 분모에 1이 적어져도 같은 값이 된다는 것 같아요.

    아니면 다른 값이 나오거나

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    •  
      파스칼 Lv.6 2020.08.03 23:21

      분모에 1이 적어지면 당연히 수는 커져야 합니다. 그러나 무한파이님의 계산에서 잘못된 부분이 있습니다. 1/2+1/6+1/12+1/20+...=1이라서 1이 된다는 계산이신 것 같은데, 실제로 항들을 나열하면 1/12 항은 존재하지 않습니다. 다른 항들도 마찬가지입니다. 1/72, 1/240, 1/600, 1/1260 등의 항들이 나오지 않을 것입니다. 1/12항은 1/16+1/64+1/256+...으로 나오는데, 이 항들은 이미 1/2를 만드는 과정에서 사용했기 때문입니다.

      무한파이 님의 아이디어에서 조금만 발전시키면 1을 만드는 식을 찾을 수 있습니다.

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    •  
      매스파이 Lv.7 2020.08.11 13:28

      그거 1 아닙니다.파이썬으로 확인해 보았는데 1.012를 넘는 값입니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.08.11 19:42

      제가 개인적으로 파스칼님과 직접 연락해서 코드를 따로 짜고 확인해본 결과 100000까지 더했을 때 값이 동일함을 확인했습니다. 또한 10억까지 직접 더해본 결과 1에 수렴하고 1을 넘지 않습니다.

      코드에 오류가 있는 것 같으니 확인해보시기 바랍니다.

      참고로 저도 파이썬을 사용하여 값을 구했습니다.

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    •  
      매스파이 Lv.7 2020.08.13 11:17

      리프님,만약 1/a라면 1에 수렴하겠지만 1/a가 아닌 1/a-1입니다.(참고로 저도 1/a로 착각하고 1로 수렴하는걸로 착각했습니다.)

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    •  
      파스칼 Lv.6 2020.08.14 09:41

      아마도 최산님은 \sum_{a=2}^{\infty } (\sum_{b=2}^{\infty } \frac{1}{a^b-1})으로 답을 구하신 것 같은데.. 이 방법에는 오류가 있습니다. 예를 한 가지 들자면 1/15는 16이 거듭제곱수이니 수열에서 한 번 등장해야 하지만, 저 시그마 식에서는 1/2^4-1, 1/4^2-1로 두 번 등장하고 있습니다.

      만약 최산님의 말씀대로 값이 1 이상의 어떤 수에 수렴한다면, 부분합으로써 'S_n=주어진 무한급수에서 분모가 n보다 작은 단위분수들의 총합'으로 잡았을 때 이것이 1을 넘어가는 n이 존재할 것입니다. 그 n의 값을 찾아서 말씀해 주신다면 수렴값을 확실히 정하는 데 더 도움이 될 것 같습니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.08.19 10:43

      @최산 혹시 코드 공유 좀 해주실 수 있나요?

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    •  
      매스파이 Lv.7 2020.08.24 14:11

      #슬4

      result=0
      for i in range(2,1500):
          for j in range(2,1500):
              result+=1/((i**j)-1)
      print(result)
       

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    •  
      매스파이 Lv.7 2020.08.24 14:19

      아마 리프님은 코드를 이런 식으로 입력하셨을 겁니다.

      result=0
      for i in range(2,100000000):
          for j in range(2,1000000000):
              result+=1/(i**j)
      print(result)
      실제로 이렇게 입력하면 1을 넘지 않습니다.그런데 이 코드의 4번째 줄을 result=1/((i**j)-1)로 바꿔야 맞습니다.코드 확인해보시기 바랍니다.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.08.24 14:50

      최산님 2**4-1랑 4**2-1, 3**4-1랑 9**2-1, 4**3-1이랑 8**2-1 처럼 여러 번 나오는 값들이 있습니다~^^ 겹치는 걸 제외해주면 1로 수렴하는 게 맞습니다~

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    •  
      매스파이 Lv.7 2020.08.24 16:46

      앗..실수

      #슬4

      result=0
      for i in range(2,1500):
          for j in range(i,1500):
              result+=1/((i**j)-1)
      print(result)
      입니다.

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    •  
      매스파이 Lv.7 2020.08.24 16:47

      리프님,무한파이님,파스칼님이 생각하신 1이 맞네요.

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  •  
    해결
    파스칼 Lv.6 2020.08.03 23:14 비밀댓글
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    •  
      리프 Lv.6 2020.08.04 00:01 비밀댓글
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    •  
      최기자 Lv.4 2020.10.20 22:59

      정답이에요! 늦어서 미안합니다^^;;

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  •  
    해결
    리프 Lv.6 2020.08.03 23:59 비밀댓글
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    •  
      리프 Lv.6 2020.08.04 00:04

      무한파이님과 파스칼님의 아이디어를 사용하여 풀었습니다.

      풀이에 생략된 부분이 있는데 무한파이님과 파스칼님의 댓글을 보시면 될 것 같습니다.

       

      2주 후에 공댓으로 전환하겠습니다.

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    •  
      △π Lv.9 2020.08.05 22:54

      흐익 그러면 빨리 풀어봐야 겠네요 (어차피 풀지도 못할거면서ㅋㅋ)

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.10.20 22:59

      답글 늦어서 미안합니다! 정답이에요~. 

       

      특히 본인이 누구의 아이디어를 이용해 풀어냈는지 명시한 점이 좋습니다^^
       

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  •  
    infinitepi Lv.9 2020.08.04 08:56

    설마 이거 역대 두번째로 빨리 푼 문제 되나요?

    (역대 첫번째는 국9, 수돌이님의 기록 약 2시간)

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.7 2020.08.04 10:34

      저도 풀었습니다 ㅇㅅㅇ 15분만에...

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    •  
      리프 Lv.6 2020.08.04 12:53

      저도 문제 보고 10분 정도만에 풀었습니다 ㅋㅋ 

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    •  
      매스파이 Lv.7 2020.08.11 13:41

      저는 5분

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    •  
      파스칼 Lv.6 2020.08.14 09:33

      헉...

      저는 2시간 30분.. ㅠㅠ

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    •  
      리프 Lv.6 2020.08.19 10:41

      파스칼님이 아이디어 공유 안해주셨으면 저도 오래 걸렸을거에요 ㅋㅋ

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  •  
    빅수비 Lv.11 2020.08.07 00:31 비밀댓글
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  •  
    매스파이 Lv.7 2020.08.11 13:39 비밀댓글
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    매스파이 Lv.7 2020.08.11 13:40 비밀댓글
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  •  
    파이파이 Lv.8 2020.08.12 14:45 비밀댓글
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  •  
    빅수비 Lv.11 2020.08.19 01:03

    이번 문제의 난이도가 그렇게 어렵지는 않다고 느꼈고 시간이 꽤 지났다고 생각하여

    저의 풀이를 올립니다.

    만약 제 풀이에 오류등이 있다면 지적해주시면 감사하겠습니다.

    풀이:

    1/4+1/8+1/16+..=1/2이되고

    1/9+1/27+...=1/6

    이되며

    1/2+1/6+1/12+1/20+.....=1이 된다는 것은 자명한 사실입니다.

    그런데 1/12,1/72,1/240 처럼 1/a^b(a^b-1) 의 값들은 나올수가 없게 됩니다.

    예를들어 1/12=1/16+1/256+...이되자만 이들은 1/2을 만드는데 사용되고

    1/72=1/81+1/6561+.... 이 모두 1/6을 만드는데 사용되며

    다른 1/a^b(a^b-1)의 수들도 만들어 질 수 없게 됩니다.

    그런데 우리가 구하고자 하는 것은 1/a^b의 총합이 아닌

    1/a^b-1의 총합입니다.

    분자가 0보다 클때 분모가 작을수록 크기는 커짐으로

    1/a^b-1은 1/a^b보다

    (1/a^b)-(1/a^b-1)=1/a^b(a^b-1)만큼 더 큽니다.

    그럼으로 아까 만들어질 수 없었던 수들이

    1/a^b과 1/a^b-1의 차이로써 메꾸어 지기 때문에

    모든 1/a^b의 합은 1임을 알 수 있습니다.

     

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  •  
    정희승 Lv.1 2020.08.24 03:34

    여기 왤케 다들 천재임 ㄷㄷ 개잘하네 

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  •  
    매스파이 Lv.7 2020.08.24 16:49
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    답은 1입니다.제가 파이썬으로 1에 수렴하는 것을 증명했습니다.

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    •  
      구머 Lv.5 2020.08.24 19:45

      python 증명은 수학적인 증명은 될 수 없습니다! 

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    •  
      빅수비 Lv.11 2020.08.24 21:20

      파이썬으로 수렴값을 어떻게 구하나요?

      숫자를 아주 크게해도 대략값일텐데...

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  •  
    파스칼 Lv.6 2020.11.28 00:27

    추가문제 풀이입니다

    수렴값이 1/2임을 보이지는 않았으나, A_n의 절댓값이 0으로 수렴하고 부호가 교대로 나타남에서 A_n 수열의 n번째까지 부분합과 n+1번째까지 부분합 사이에 수렴값이 존재합니다. 컴퓨터를 이용한 계산결과 이 방법을 사용하면 수렴값이 4.99이상 5.01이하임을 알 수 있고 이를 두 배 해서 log 2가 될 수는 없으므로 문제의 반례가 됩니다.

    그러나 저와 리프님이 사용한 논증은 이와 같은 오류가 발생하지 않습니다.

    (이하의 내용은 리프님과의 대화 중 얻은 내용입니다)

    문제의 수열인 1/3, 1/7, 1/8, 1/15, 1/24, ...는 단조감소수열이며 모든 항이 0보다 크고, 0에 수렴하며 합이 수렴한다.

    이런 분수들을 수열로 배열해 놓은 a1,a2,a3,... 과 행렬처럼 배열해 놓은 b_i,j, 즉 b_1,1, b_1,2, b_1,3, ..., b_2,1, b_2,2, b_2,3, ..., b_3,1, b_3,2, b_3,3, ..., ...이 있다고 가정하자.

     \sum_{i=1}^{\infty }a_i=A\sum_{i=1}^{\infty }\sum_{j=1}^{\infty }b_{i,j}=B로 수렴한다고 하자. 수렴의 정의에 의해 임의의 양의 실수 \varepsilon에 대해, A-\varepsilon<\sum_{i=1}^{n}a_i를 만족하는 양의 정수 n이 존재한다. 이때 a1, a2, a3, ..., an을 b_i,j에서 각각 대응시키고 그렇게 만든 모든 b_i,j에서 i의 최댓값을 k, j의 최댓값을 m이라 놓자. 그러면 i가 k 이하이며 j가 m 이하인 모든 b_i,j는 a1, a2, a3, ...,an을 모두 포함하며, 모든 b_i,j가 양수임에서 A-\varepsilon<B를 얻는다.

    또한, 임의의 양의 실수 \varepsilon에 대해, B-\frac{\varepsilon}{2}<\sum_{i=1}^{n }\sum_{j=1}^{\infty }b_{i,j}를 만족하는 양의 정수 n이 존재하고, 각각의 i에 대해 \sum_{j=1}^{\infty }b_{i,j}-\frac{\varepsilon }{2n}<\sum_{j=1}^{m}b_{i,j}을 만족하는 양의 정수 m에 존재한다. 그러므로 B-\varepsilon<\sum_{i=1}^{n }\sum_{j=1}^{m}b_{i,j}을 만족하는 양의 정수 m,n이 존재하고, 이때 i가 n 이하이며 j가 m 이하인 모든 b_i,j를 ai로 대응시켜 i의 최댓값을 g라 하면 a1, a2, a3, ..., ag의 총합은 \sum_{i=1}^{n }\sum_{j=1}^{m}b_{i,j}보다 크거나 같다. 모든 ai가 0보다 큼에서 B-\varepsilon <A가 된다.

    즉 A=B이며 모든 수열로의 배치, 행렬식의 배치에서 더하는 순서가 어떻게 바뀌어도 모든 항이 0보다 크고 어떻게 합하도 수렴하는 수열의 경우에는 수렴값이 같다.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.12.05 19:02

      추가문제 푸셨네요 ㄷㄷ 대단하십니다

      전 요즘 바빠서 폴리매스 문제 읽어보지도 못하고 있네요 ㅠㅠ

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  • 폴리매스 문제는 2019년도 정부의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물입니다.

  • ☎문의 02-6749-3911