폴리매스

쉬운대한수학회문제가나왔네요!

픽의 정리는 증명중입니다

픽의 정리 증명하시는 분들께 힌트를 드리자면 처음부터 복잡한 다각형에서 성립함을 보이지 말고 아주 단순한 도형부터 보이면 풀릴겁니다.

저는 대 17이나 파고 있겠습니다...

3. <확장된 픽의 정리>

확장된 다각형 X의 넓이를 라 하고, 모든 점 P에 대해 점을 스칼라량으로 대응시키는 두 함수 을 다음과 같이 정의한다.

I_X(P)=w(P)(=P에 대핸 회전수. 단, P가 한 선분 위에 있다면 그 선분은 P를 반시계 방향으로 돌지 않은 것으로, 즉 선분 양쪽 중 더 작은 회전수를 가지는 쪽에 있는 것으로 계산한다) , B_X(P)=(격자다각형의 선분이 점 P를 지나간 횟수).

또한 확장된 다각형 X에 대하여 실수 R_X를 정의하자. 확장된 다각형의 선분 위에서 꼭짓점이 아닌 임의의 한 점을 선택한다. 그리고 선분을 따라 다각형을 돌면서 각 꼭짓점에서마다 가던 방향의 각도가 얼마나 변하는지 측정한다. 단, 시계 반대방향으로 변하는 각도를 +, 시계방향으로 변하는 각도를 -로 측정하고, 꼭짓점에서 양쪽의 선분이 180도의 각을 이루며 그대로 나아가는 경우에 각도 변화량이 0이 되며, 60분법으로 각도를 측정한다. 원래 자리로 돌아올 때까지의 회전각도를 모두 더하여 360'로 나눈 값을 R이라 정의한다. 즉, 직관적으로는 R_X는 확장된 다각형이 시계방향으로 몇 바퀴 돌았는지를 의미한다.

이때, 일반적으로 가 성립한다.

<공식에 대한 직관적인 해석>

아래 그림과 같이 모든 격자점에서 그 점을 중심으로 하고 넓이가 1인 정사각형을 그린다.

다각형 안쪽에 있는 점의 정사각형은 선분에 의해 깎여나가도 넓이 1을 다각형 안쪽으로 가진다. 선분의 점은 기본적으로는 점 양쪽의 선이 180도를 이룰 때 1/2개가 되지만, 180도가 아닐 때 일반다각형에서는 각도의 회전을 모두 합하면 360도가 되므로 가감된 것을 모두 합하면 정사각형 하나의 넓이로써 1을 빼야 한다. 확장된 다각형에서는 회전수 R을 꼭짓점이 아닌 한 선분의 점에서 선분을 따라가며 기울기의 변화를 측정하여 총합을 360도로 나눈 값으로 정의하였으므로, 각도마다 정사각형의 일부가 가감된 것을 더하면 총 R을 빼야 한다. 무한강하법을 사용하면 이 공식이 참임을 더 엄밀하게 증명할 수 있다.

lemma) 임의의 두 확장된 다각형 X와 Y가 존재하여, X의 선분 PQ가 Y에서도 선분으로 있으나 X에서는 P=>Q, Y에서는 Q=>P로 선분이 진행한다고 가정한다. 이때, Q에서 P까지는 X의 선분을 따라가고 P에서 Q까지는 Y의 선분을 따라가는 확장된 다각형 Z를 생각하면, X와 Y에서 확장된 픽의 정리가 성립할 때 Z도 확장된 픽의 정리가 성립한다. (단, PQ)

proof) PQ 위에 있는 격자점의 개수를 L이라 하자. L은 2 이상의 자연수이다. , ,  , 임을 이용하자. 이므로 위 lemma가 증명된다.

<확장된 픽의 정리의 증명>

임의의 확장된 다각형 X에 대하여 X의 임의의 인접한 세 점 P,Q,R을 잡는다. 일반성을 잃지 않고 P=>Q=>R 순서로 선분이 진행한다고 할 때, 삼각형 PQR을 P=>Q=>R 순서로 선분이 진행하도록 정의한다. 이떄 R=>P까지는 X의 선분을 따라가고, P=>R로 선분을 연결한 확장된 다각형 Y를 생각하자. 위 lemma로부터 Y와 삼각형 PQR이 확장된 픽의 정리를 만족하면 X도 확장된 픽의 정리를 만족한다. 이때 X보다 Y가 선분의 개수가 하나 적으므로, 무한강하법을 사용하면 삼각형들의 유한집합을 만들어 그 삼각형들이 확장된 픽의 정리를 만족하면 X도 확장된 픽의 정리를 만족하게 된다. 즉 삼각형들에 대해서만 보이면 충분한데, 삼각형의 경우는 선분이 반시계방향으로 돌 경우 확장된 픽의 정리가 일반적인 픽의 정리와 같아서 2번 문제의 풀이로부터 증명된다. 또한 삼각형 T의 선분이 시계방향으로 돌아도 선분이 반시계방향으로 도는 같은 삼각형 T'에 대하여 I_T(P)의 총합은 I_T'(P)의 총합에 음의 부호를 붙이고 둘레 위의 점의 개수를 뺀 것과 같으며, B_T(P)의 총합은 B_T'(P)의 총합과 같고, R_T와 R_T'는 부호만이 다르므로 가 되어 성립한다. 즉 모든 삼각형에 대해 확장된 픽의 정리가 성립하고, 모든 확장된 다각형에 대해 확장된 픽의 정리가 성립한다.