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폴리매스 문제
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[대한수학회] 대44. 확장된 다각형을 생각해보자!
수학동아 2020.08.01 07:43

다각형은 평면에서 선분으로 둘러싸인 도형이다. 이때 주위를 둘러싸는 선분들을 반시계방향으로 도는 방향성이 있는 곡선이라고 이해한다면 이 곡선은 자기 자신과 겹치지 않는 곡선이 될 것이다. [그림1] 이 곡선은 평면을 다각형 내부와 외부 두 개로 나눌 수 있다.

 

 

 

 

이런 다각형의 정의를 좀 더 일반화 시켜서 자기 자신과 겹칠 수도 있는 곡선 C를 생각하려 한다. [그림2] 이때 이 곡선은 평면을 몇 개의 영역으로 나누게 된다. 한 영역의 점 P를 고르자. 곡선 C는 P를 중심으로 반시계 방향으로 몇 바퀴 돌게 되는데 이 횟수 w_p를 P에 대한 회전수(winding number)라 부르자. 재미있는 사실(이자 당연한 사실) 중 하나는 영역을 하나 고르면 그 안에서 어떤 점을 고르더라도 회전수는 같아야 한다. 따라서 영역 R의 회전수 w_Rw_R=w_P라 정의할 수 있다.

 

 

 

 

이런 관점에서 '확장된 다각형' C의 넓이를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

'확장된 다각형' C의 넓이 =   

 

예를 들어 일반 다각형의 경우는 내부의 회전수는 1이고 외부의 회전수는 0이므로 위 정의대로 계산하더라도 원래의 넓이를 얻을 수 있다. [그림2]의 왼쪽 그림의 넓이는 영역 R_1의 넓이가 2, 회전수가 2이고, 영역 R_2의 넓이가 7.5이고 회전수가 1이므로 넓이는 11.5가 된다.

 

 

문제1 - 연습문제

[그림2]의 오른쪽 '확장된 다각형'의 넓이를 구하여라.

 

격자점이란 좌표평면에서 x, y 좌표가 모두 정수인 점이고, 어떤 다각형의 꼭짓점이 모든 꼭짓점의 좌표가 정수점이면 이 다각형을 격자다각형이라 한다. 같은 방식으로 확장된 격자다각형을 정의할 수 있다. 격자다각형의 넓이를 구하는 공식으로 유명한 픽의 정리(Pick’s theorem)이 있다. 다각형 선분위의 점의 개수를 B, 다각형 내부의 점의 개수를 I라 하면 격자다각형의 넓이 A는 다음과 같다.

 

A=I+\frac{B}{2}-1

 

 

문제2 픽의 정리를 이용하여 [그림1] 도형의 넓이를 구해보자. 또한 픽의 정리를 증명해 보자.

 

 

문제3 '확장된 격자다각형'의 넓이 역시 도형 상의 격자점과 그것의 회전수를 이용하여 구할 수 있을까? '확장된 격자다각형'에 적용할 수 있는 확장된 픽의 정리를 만들고 이를 증명해 보자.

 

(참고) C가 반드시 반시계 방향으로만 회전할 필요는 없다. 만약 점 P를 C가 시계방향으로 n 바퀴 회전한다면 회전수를 -n이라 할 수 있다. 이 경우 '확장된 다각형'의 넓이는 음수가 된다. 

 

 

※ 김다인 멘토 검토 결과 1, 2번은 infinitepi(1), 파스칼 학생(1, 2)이 풀었습니다. 3번까지 확인되면 교수님께 풀이 검토를 요청드리겠습니다. 모두 파이팅! 

  •  
    부분해결
    infinitepi Lv.9 2020.08.01 13:18 비밀댓글
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    •  
      최기자 Lv.4 2020.08.24 17:28

      댓글이 늦어서 미안해요! 김다인 멘토가 이미 확인하고 잘 풀었다고 얘기해 줬는데 제가 늦었습니다ㅠㅠ

       

      잘 풀었어요 수고했어요~!

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  •  
    다시 도전
    infinitepi Lv.9 2020.08.01 13:27 비밀댓글
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  •  
    부분해결
    파스칼 Lv.6 2020.08.01 20:04 비밀댓글
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    •  
      파스칼 Lv.6 2020.08.14 19:12

      1,2번 풀이입니다.

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.08.24 17:34

      답변이 늦어서 미안합니다. 김다인 멘토의 검토는 예전에 이뤄졌는데, 제가 특집 기사에 빠져 지내느라 답변이 늦었어요ㅠ

       

      1번, 2번 모두 잘 풀었다고 합니다!

       

      축하해요 수고 많았어요~!

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  •  
    무한대의끝을본남자 Lv.7 2020.08.02 11:21

    쉬운대한수학회문제가나왔네요!

    픽의 정리는 증명중입니다

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    •  
      infinitepi Lv.9 2020.08.02 12:26

      쉬워서 저도 1, 2번(증명제외)는 풀었습니다!

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  •  
    리프 Lv.6 2020.08.02 16:38

    픽의 정리 증명하시는 분들께 힌트를 드리자면 처음부터 복잡한 다각형에서 성립함을 보이지 말고 아주 단순한 도형부터 보이면 풀릴겁니다.

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    •  
      Benedict Lv.5 2020.08.03 17:18 비밀댓글
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    •  
      infinitepi Lv.9 2020.08.03 22:37

      힌트2: 제가 cms 사고력관에서 픽의 정리를 배운 적 있는데,

               처음에는 작은 도형부터 시작했습니다!

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    •  
      리프 Lv.6 2020.08.03 23:27

      @수학장 그 방법은 저도 아는데 그게 넓이랑 동일함을 어떻게 보이나요? 그걸 저는 몰라서...

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    •  
      Benedict Lv.5 2020.08.07 19:04

      넓이가 1/2인 삼각형으로 쪼개야...겠죠?

      대충 수학적 귀납법 쓰시면 됩니다

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    •  
      리프 Lv.6 2020.08.07 19:19

      생각해보니 그렇네요 ㅇㅅㅇ

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  •  
    여백 패르마 Lv.5 2020.08.02 19:05

    저는 대 17이나 파고 있겠습니다...

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    •  
      여백 패르마 Lv.5 2020.08.02 19:06

      쉬운 문제 증명은 똑똑한 여러분이 빨리 푸실 것이라고 판단하고...

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    •  
      Benedict Lv.5 2020.08.03 17:21

      대18은 Undefined님이 푸신 걸로 알고 있는데... 28번 말씀하시는 건가요?

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    •  
      여백 패르마 Lv.5 2020.08.05 12:30

      대17이요

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  •  
    다시 도전
    파스칼 Lv.6 2020.08.03 10:58 비밀댓글
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    •  
      파스칼 Lv.6 2020.08.04 11:55 비밀댓글
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    •  
      파스칼 Lv.6 2020.08.14 19:12

      3번 풀이입니다.

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.08.24 17:36

      수고 많았어요~!. 답변이 늦어서 미안합니다. 김다인 멘토가 아래와 같은 피드백을 줬어요.

       

      정의가 애매한 개념들이 있습니다. R을 정의하는 데에 있어서 '방법의 수'가 무엇인지 구체적으로 정의해주길 바랍니다!

      또한 "다각형은 A1A2를 기준으로 B1, B1B2를 기준으로 A2쪽에 존재한다"고 가정할 수 있는 이유와, B(P)를 정의할 때 "격자다각형의 선분이 반시계 방향으로 점 P를 지나간 횟수"라는 것이 정확히 무슨 말인지도 생각해주세요.

      좀 더 쉽게 생각할 수 있도록 아래의 확장된 도형을 예시로 드릴테니, 이 다각형에서 본인이 원했던 정의와 설명이 무엇인지 생각해보는 것이 좋을 것 같아요! 더 다듬어진 풀이로 다시 돌아오길 기대할게요~!

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  •  
    전자기역학 Lv.8 2020.08.25 09:09 비밀댓글
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  •  
    파스칼 Lv.6 2020.08.29 23:56
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    3. <확장된 픽의 정리>

    확장된 다각형 X의 넓이를 A_X라 하고, 모든 점 P에 대해 점을 스칼라량으로 대응시키는 두 함수 I_X:P\rightarrow \mathbb{Z}, B_X:P\rightarrow \mathbb{Z}을 다음과 같이 정의한다.

    I_X(P)=w(P)(=P에 대핸 회전수. 단, P가 한 선분 위에 있다면 그 선분은 P를 반시계 방향으로 돌지 않은 것으로, 즉 선분 양쪽 중 더 작은 회전수를 가지는 쪽에 있는 것으로 계산한다) , B_X(P)=(격자다각형의 선분이 점 P를 지나간 횟수).

    또한 확장된 다각형 X에 대하여 실수 R_X를 정의하자. 확장된 다각형의 선분 위에서 꼭짓점이 아닌 임의의 한 점을 선택한다. 그리고 선분을 따라 다각형을 돌면서 각 꼭짓점에서마다 가던 방향의 각도가 얼마나 변하는지 측정한다. 단, 시계 반대방향으로 변하는 각도를 +, 시계방향으로 변하는 각도를 -로 측정하고, 꼭짓점에서 양쪽의 선분이 180도의 각을 이루며 그대로 나아가는 경우에 각도 변화량이 0이 되며, 60분법으로 각도를 측정한다. 원래 자리로 돌아올 때까지의 회전각도를 모두 더하여 360'로 나눈 값을 R이라 정의한다. 즉, 직관적으로는 R_X는 확장된 다각형이 시계방향으로 몇 바퀴 돌았는지를 의미한다.

    이때, 일반적으로 A_X=\left \{ \sum_{P\in \mathbb{Z}^2}I_X(P)+\frac{B_X(P)}{2} \right \}-R_X가 성립한다.

    <공식에 대한 직관적인 해석>

    아래 그림과 같이 모든 격자점에서 그 점을 중심으로 하고 넓이가 1인 정사각형을 그린다.

    다각형 안쪽에 있는 점의 정사각형은 선분에 의해 깎여나가도 넓이 1을 다각형 안쪽으로 가진다. 선분의 점은 기본적으로는 점 양쪽의 선이 180도를 이룰 때 1/2개가 되지만, 180도가 아닐 때 일반다각형에서는 각도의 회전을 모두 합하면 360도가 되므로 가감된 것을 모두 합하면 정사각형 하나의 넓이로써 1을 빼야 한다. 확장된 다각형에서는 회전수 R을 꼭짓점이 아닌 한 선분의 점에서 선분을 따라가며 기울기의 변화를 측정하여 총합을 360도로 나눈 값으로 정의하였으므로, 각도마다 정사각형의 일부가 가감된 것을 더하면 총 R을 빼야 한다. 무한강하법을 사용하면 이 공식이 참임을 더 엄밀하게 증명할 수 있다.

    lemma) 임의의 두 확장된 다각형 X와 Y가 존재하여, X의 선분 PQ가 Y에서도 선분으로 있으나 X에서는 P=>Q, Y에서는 Q=>P로 선분이 진행한다고 가정한다. 이때, Q에서 P까지는 X의 선분을 따라가고 P에서 Q까지는 Y의 선분을 따라가는 확장된 다각형 Z를 생각하면, X와 Y에서 확장된 픽의 정리가 성립할 때 Z도 확장된 픽의 정리가 성립한다. (단, P\neqQ)

    proof) PQ 위에 있는 격자점의 개수를 L이라 하자. L은 2 이상의 자연수이다. A_Z=A_X+A_Y\sum_{P\in \mathbb{Z}^2}^{}I_Z(P)=\sum_{P\in \mathbb{Z}^2}^{}I_X(P)+\sum_{P\in \mathbb{Z}^2}^{}I_Y(P)+L-2,  \sum_{P\in \mathbb{Z}^2}^{}B_Z(P)=\sum_{P\in \mathbb{Z}^2}^{}B_X(P)+\sum_{P\in \mathbb{Z}^2}^{}B_Y(P)-2L+2, R_Z=R_X+R_Y-1임을 이용하자. A_Z=A_X+A_Y=\left \{ \sum_{P\in \mathbb{Z}^2}I_X(P)+\frac{B_X(P)}{2} \right \}-R_X+\left \{ \sum_{P\in \mathbb{Z}^2}I_Y(P)+\frac{B_Y(P)}{2} \right \}-R_Y=\left \{ \sum_{P\in \mathbb{Z}^2}I_X(P)+I_Y(P)+\frac{B_X(P)+B_Y(P)}{2} \right \}-R_X-R_Y=\left \{ \sum_{P\in \mathbb{Z}^2}I_Z(P)+\frac{B_Z(P)}{2} \right \}-R_Z+L-2-\frac{2L-2}{2}+1=\left \{ \sum_{P\in \mathbb{Z}^2}I_Z(P)+\frac{B_Z(P)}{2} \right \}-R_Z이므로 위 lemma가 증명된다.

    <확장된 픽의 정리의 증명>

    임의의 확장된 다각형 X에 대하여 X의 임의의 인접한 세 점 P,Q,R을 잡는다. 일반성을 잃지 않고 P=>Q=>R 순서로 선분이 진행한다고 할 때, 삼각형 PQR을 P=>Q=>R 순서로 선분이 진행하도록 정의한다. 이떄 R=>P까지는 X의 선분을 따라가고, P=>R로 선분을 연결한 확장된 다각형 Y를 생각하자. 위 lemma로부터 Y와 삼각형 PQR이 확장된 픽의 정리를 만족하면 X도 확장된 픽의 정리를 만족한다. 이때 X보다 Y가 선분의 개수가 하나 적으므로, 무한강하법을 사용하면 삼각형들의 유한집합을 만들어 그 삼각형들이 확장된 픽의 정리를 만족하면 X도 확장된 픽의 정리를 만족하게 된다. 즉 삼각형들에 대해서만 보이면 충분한데, 삼각형의 경우는 선분이 반시계방향으로 돌 경우 확장된 픽의 정리가 일반적인 픽의 정리와 같아서 2번 문제의 풀이로부터 증명된다. 또한 삼각형 T의 선분이 시계방향으로 돌아도 선분이 반시계방향으로 도는 같은 삼각형 T'에 대하여 I_T(P)의 총합은 I_T'(P)의 총합에 음의 부호를 붙이고 둘레 위의 점의 개수를 뺀 것과 같으며, B_T(P)의 총합은 B_T'(P)의 총합과 같고, R_T와 R_T'는 부호만이 다르므로 A_T=-A_{T'}=-\left \{ \sum_{P\in \mathbb{Z}^2}I_{T'}(P)+\frac{B_{T'}(P)}{2} \right \}+R_{T'}=\left \{ \sum_{P\in \mathbb{Z}^2}I_{T}(P) \right \}+\left \{ \sum_{P\in \mathbb{Z}^2}B_{T}(P) \right \}-\left \{ \sum_{P\in \mathbb{Z}^2}\frac{B_{T}}{2}(P) \right \}-R_T=\left \{ \sum_{P\in \mathbb{Z}^2}I_{T}(P)+\frac{B_{T}(P)}{2} \right \}+R_{T}가 되어 성립한다. 즉 모든 삼각형에 대해 확장된 픽의 정리가 성립하고, 모든 확장된 다각형에 대해 확장된 픽의 정리가 성립한다.

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      파스칼 Lv.6 2020.08.30 01:25

      R값의 한 가지 예로, 위에서 멘토님께서 예시로 제시하신 다각형에서는 R=1입니다. 또한 왼쪽 아래의 점을 (0,0)으로 보았을 때 P(3,3)에서 I(P)=-1, B(P)=2입니다. I(P)값에 대해서는 (3,3), (4,3), (3,4), (4,4), (5,3), (3,5), (4,5), (5,4), (5,5)는 I(P)=-1, (2,2), (6,2)에서 I(P)=1이고 나머지 모든 점에서 I(P)=0입니다.

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