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폴리매스 문제
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[대한수학회] 대44. 확장된 다각형을 생각해보자!
수학동아 2020.08.01

다각형은 평면에서 선분으로 둘러싸인 도형이다. 이때 주위를 둘러싸는 선분들을 반시계방향으로 도는 방향성이 있는 곡선이라고 이해한다면 이 곡선은 자기 자신과 겹치지 않는 곡선이 될 것이다. [그림1] 이 곡선은 평면을 다각형 내부와 외부 두 개로 나눌 수 있다.

 

 

(오른쪽 그림은 월요일에 수정할 예정입니다)

 

 

이런 다각형의 정의를 좀 더 일반화 시켜서 자기 자신과 겹칠 수도 있는 곡선 C를 생각하려 한다. [그림2] 이때 이 곡선은 평면을 몇 개의 영역으로 나누게 된다. 한 영역의 점 P를 고르자. 곡선 C는 P를 중심으로 반시계 방향으로 몇 바퀴 돌게 되는데 이 횟수 w_p를 P에 대한 회전수(winding number)라 부르자. 재미있는 사실(이자 당연한 사실) 중 하나는 영역을 하나 고르면 그 안에서 어떤 점을 고르더라도 회전수는 같아야 한다. 따라서 영역 R의 회전수 w_Rw_R=w_P라 정의할 수 있다.

 

 

 

 

이런 관점에서 '확장된 다각형' C의 넓이를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

'확장된 다각형' C의 넓이 =   

 

예를 들어 일반 다각형의 경우는 내부의 회전수는 1이고 외부의 회전수는 0이므로 위 정의대로 계산하더라도 원래의 넓이를 얻을 수 있다. [그림2]의 왼쪽 그림의 넓이는 영역 R_1의 넓이가 2, 회전수가 1이고, 영역 R_2의 넓이가 7.5이고 회전수가 0이므로 넓이는 9.5가 된다.

 

 

문제1 - 연습문제

[그림2]의 오른쪽 '확장된 다각형'의 넓이를 구하여라.

 

격자점이란 좌표평면에서 x, y 좌표가 모두 정수인 점이고, 어떤 다각형의 꼭짓점이 모든 꼭짓점의 좌표가 정수점이면 이 다각형을 격자다각형이라 한다. 같은 방식으로 확장된 격자다각형을 정의할 수 있다. 격자다각형의 넓이를 구하는 공식으로 유명한 픽의 정리(Pick’s theorem)이 있다. 다각형 선분위의 점의 개수를 B, 다각형 내부의 점의 개수를 I라 하면 격자다각형의 넓이 A는 다음과 같다.

 

A=I+\frac{B}{2}-1

 

 

문제2 픽의 정리를 이용하여 [그림1] 도형의 넓이를 구해보자. 또한 픽의 정리를 증명해 보자.

 

 

문제3 '확장된 격자다각형'의 넓이 역시 도형 상의 격자점과 그것의 회전수를 이용하여 구할 수 있을까? '확장된 격자다각형'에 적용할 수 있는 확장된 픽의 정리를 만들고 이를 증명해 보자.

 

(참고) C가 반드시 반시계 방향으로만 회전할 필요는 없다. 만약 점 P를 C가 시계방향으로 n 바퀴 회전한다면 회전수를 -n이라 할 수 있다. 이 경우 '확장된 다각형'의 넓이는 음수가 된다. 

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    무한파이 Lv.8 2020.08.01 비밀댓글
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    무한파이 Lv.8 2020.08.01 비밀댓글
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    파스칼 Lv.5 2020.08.01 비밀댓글
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  •  
    무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.08.02

    쉬운대한수학회문제가나왔네요!

    픽의 정리는 증명중입니다

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      무한파이 Lv.8 2020.08.02

      쉬워서 저도 1, 2번(증명제외)는 풀었습니다!

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  •  
    리프 Lv.6 2020.08.02

    픽의 정리 증명하시는 분들께 힌트를 드리자면 처음부터 복잡한 다각형에서 성립함을 보이지 말고 아주 단순한 도형부터 보이면 풀릴겁니다.

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      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.08.03 비밀댓글
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      무한파이 Lv.8 2020.08.03

      힌트2: 제가 cms 사고력관에서 픽의 정리를 배운 적 있는데,

               처음에는 작은 도형부터 시작했습니다!

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    •  
      리프 Lv.6 2020.08.03

      @수학장 그 방법은 저도 아는데 그게 넓이랑 동일함을 어떻게 보이나요? 그걸 저는 몰라서...

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.08.07

      넓이가 1/2인 삼각형으로 쪼개야...겠죠?

      대충 수학적 귀납법 쓰시면 됩니다

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    •  
      리프 Lv.6 2020.08.07

      생각해보니 그렇네요 ㅇㅅㅇ

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  •  
    여백 패르마 Lv.5 2020.08.02

    저는 대 17이나 파고 있겠습니다...

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    •  
      여백 패르마 Lv.5 2020.08.02

      쉬운 문제 증명은 똑똑한 여러분이 빨리 푸실 것이라고 판단하고...

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.08.03

      대18은 Undefined님이 푸신 걸로 알고 있는데... 28번 말씀하시는 건가요?

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    •  
      여백 패르마 Lv.5 2020.08.05

      대17이요

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  •  
    파스칼 Lv.5 2020.08.03 비밀댓글
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      파스칼 Lv.5 2020.08.04 비밀댓글
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  • 폴리매스 문제는 2019년도 정부의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물입니다.

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