폴리매스

다각형은 평면에서 선분으로 둘러싸인 도형이다. 이때 주위를 둘러싸는 선분들을 반시계방향으로 도는 방향성이 있는 곡선이라고 이해한다면 이 곡선은 자기 자신과 겹치지 않는 곡선이 될 것이다. [그림1] 이 곡선은 평면을 다각형 내부와 외부 두 개로 나눌 수 있다.

(오른쪽 그림은 월요일에 수정할 예정입니다)

이런 다각형의 정의를 좀 더 일반화 시켜서 자기 자신과 겹칠 수도 있는 곡선 를 생각하려 한다. [그림2] 이때 이 곡선은 평면을 몇 개의 영역으로 나누게 된다. 한 영역의 점 P를 고르자. 곡선 는 P를 중심으로 반시계 방향으로 몇 바퀴 돌게 되는데 이 횟수 를 P에 대한 회전수(winding number)라 부르자. 재미있는 사실(이자 당연한 사실) 중 하나는 영역을 하나 고르면 그 안에서 어떤 점을 고르더라도 회전수는 같아야 한다. 따라서 영역 의 회전수 를 라 정의할 수 있다.

이런 관점에서 '확장된 다각형' 의 넓이를 다음과 같이 정의할 수 있다.

'확장된 다각형' 의 넓이 =   

예를 들어 일반 다각형의 경우는 내부의 회전수는 1이고 외부의 회전수는 0이므로 위 정의대로 계산하더라도 원래의 넓이를 얻을 수 있다. [그림2]의 왼쪽 그림의 넓이는 영역 의 넓이가 2, 회전수가 1이고, 영역 의 넓이가 7.5이고 회전수가 0이므로 넓이는 9.5가 된다.

문제1 - 연습문제

[그림2]의 오른쪽 '확장된 다각형'의 넓이를 구하여라.

격자점이란 좌표평면에서  좌표가 모두 정수인 점이고, 어떤 다각형의 꼭짓점이 모든 꼭짓점의 좌표가 정수점이면 이 다각형을 격자다각형이라 한다. 같은 방식으로 확장된 격자다각형을 정의할 수 있다. 격자다각형의 넓이를 구하는 공식으로 유명한 픽의 정리(Pick’s theorem)이 있다. 다각형 선분위의 점의 개수를 , 다각형 내부의 점의 개수를 라 하면 격자다각형의 넓이 는 다음과 같다.

문제2 픽의 정리를 이용하여 [그림1] 도형의 넓이를 구해보자. 또한 픽의 정리를 증명해 보자.

문제3 '확장된 격자다각형'의 넓이 역시 도형 상의 격자점과 그것의 회전수를 이용하여 구할 수 있을까? '확장된 격자다각형'에 적용할 수 있는 확장된 픽의 정리를 만들고 이를 증명해 보자.

(참고) 가 반드시 반시계 방향으로만 회전할 필요는 없다. 만약 점 P를 가 시계방향으로  바퀴 회전한다면 회전수를 이라 할 수 있다. 이 경우 '확장된 다각형'의 넓이는 음수가 된다.