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[KAIST 과학영재교육연구원] k3. 유리수의 정체를 밝혀라
수학동아 2018.10.01 10:55

 

문제 유리수 \large a, b, c에 대해 \large a+b+c, ab+bc+ca, abc가 모두 정수면 \large a, b, c는 모두 정수일까?

 

 

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    muse Lv.6 2018.10.01 21:10

    삼차방정식 x^3+ax^2+bx+c에서 a, b, c가 모두 정수일 때 세 근이 모두 정수인지를 밝히는 문제이네요.

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      Benedict Lv.5 2018.10.02 18:11

      단 무리근은 존재하지 않는 삼차방정식이여야 합니다.

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      muse Lv.6 2018.10.02 18:57

      세 근이 모두 정수인지를 밝힌다고 했으므로 무리근이 존재하는 경우는 자동 제외됩니다.

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      주니어멘토 Lv.1 2018.10.17 20:59

      안녕하세요. 주니어폴리매스 멘토입니다!

      수학장 님의 말씀처럼, 무리수(혹은 허수)를 근으로 갖는 경우에는 논리의 방향이 맞지 않아서 함께 생각을 해주셔야 합니다.

      예를 들면, x^3 + x^2 - 2x - 2 = 0과 같은 3차방정식의 경우, 조건을 만족하지만, 해가 -1과 +- 루트2가 되어서, 원하는 결과를 얻지 못합니다.

      "세 유리근을 갖는 삼차방정식 x^3 + ... 에 대해 ..." 로 변경한다면 완벽한 접근이 되겠습니다^^
       

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    수학짱 Lv.1 2018.10.03 08:01

    a와 b의 절댓값이 같고 부호만 다르게 하고 c가 정수일때 위 조건을 모두 만족합니다

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    바람개비 Lv.1 2018.10.03 09:21

    a,b,c가 유리수라는 조건을 이용해서 같이 풀어봐요.

    3차방정식으로 해석하면 너무 쉬워서...

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      Benedict Lv.5 2018.10.03 15:28

      쉬우면 풀어보세요.

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      바람개비 Lv.1 2018.10.03 23:58

      풀면 결론이 나와서 다른 분들의 문제 풀 의욕이 떨어질까봐 다른 풀이가 나올 때까지는 가만히 있을 생각입니다. (허세가 아니라 근과 계수의 관계로는 정말 쉽게 풀려요:)

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      구머 Lv.5 2018.10.04 23:42

      진짜로 쉽습니다....

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      21세기오일러 Lv.11 2018.10.05 19:03

      !!!!!! 삼차방정식을 생각 못 했네요.

      풀 수있었는데..

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      Rupp1 Lv.1 2018.10.06 13:47

      고1과정에서 배우는 대우를 이용하면 풀수 있을것 같긴한데....

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      Benedict Lv.5 2018.10.08 20:42

      삼차방정식은 처음부터 생각하고 있긴 했는데 감이 안 와서 때려쳤는데....... 혹시어떻게 풀었는지봐도 될까요 오류 찾아보게요

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      바람개비 Lv.1 2018.10.13 18:18

      유리수 a, b, c를 곱하면 모두 정수가 되는 정수 k에 각각 곱한 ak, bk, ck를 근으로 갖는 삼차방정식을 생각해보세요.

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      Benedict Lv.5 2018.10.16 22:00

      무슨 말 하시는 지는 알겠는데 그 역을 증명해야 되는 거 아닌가요? (아 왜 이해가 될 듯 안 될 듯 하지)(어쨌든 이번 일로 흑역사 하나 추가요)

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      바람개비 Lv.1 2018.10.17 01:03

      그 삼차방정식에서 삼차항을 제외한 모든 항의 계수는 k의 정수배입니다.

      (그 다음을 모르지는 않겠죠-_-)

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    바람개비 Lv.1 2018.10.17 00:48

    Rupp1님이 제안한 대로 바꾼 명제입니다.

     

    "유리수 a, b, c중 적어도 하나는 정수가 아니면, a+b+c, ab+bc+ca, abc가 모두 정수일 수는 없다."

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    아루키데메스 Lv.5 2019.01.02 22:28

    음... 이건 아니네...

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    codename Lv.1 2019.01.07 21:38

    음.. 이렇게도 증명이 가능한가요?

    a+b+c 가 정수이고 유리수는 분수의 형태로 나타낼수있기 때문에

    n이라는 공통분모로 a1/n, b1/n, c1/n 으로 바꾸어 볼 수 있습니다.

    그런데 ab, bc, ac 가 정수 여야 하므로 두수를 곱했을 때 분자에서 최소 n의제곱이 나와야합니다.

    그런데 모두 n을 가지고 있으면 약분됨으로, a2n2/n, b2n2/n, c1/n 으로 바꾸어 쓸수 있습니다.

    결국은 n값이 a와 b에서 나누어지므로 a와 b는 정수이고,

    a+b+c 는 정수 이므로 c도 정수입니다.

    즉, a b c 모두 정수입니다.

     

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    사과뉴턴 Lv.1 2019.05.30 23:32

    제 생각에는 a+b+c에 대해서는 만약 a,b,c가 모두 혹은 하나라도 정수가 아니라면 무조건 정수가 아닌 즉 허근 혹은 무리수가 들어감으로 유리수라는 조건에 위배가 되서 일단a+b+c가 정수이면 a,b,c도 정수가 될것 같습니다.

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    킬러뽀로로 Lv.1 2019.06.02 14:45

    만일 a가1이고 b가 2고 c가 3이면 다 정수인데요

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    code Lv.5 2019.07.14 12:56

    a, b, c가 하나라도 정수가 아닌 유리수인경우 a+b+c, ab+bc+ca, abc 모두가 정수이지 못하다는 것을 증명하여,

    a, b, c가 모두 정수임을 밝히도록 하겠습니다.

    1.하나만 정수가 아닌 유리수인 경우.

    a=m/n(m과n은 서로소)라 하고 b, c 를 정수라고 가정합니다.

    이때 a+b+c는 정수가 되지 못합니다.

    2. 두 수가 정수가 아닌 유리수인 경우

    a=m/n, b=(kn-m)/n(m과n은 서로소, kn-m은 n의배수가 아님) 이라하고 c를 정수라 가정합니다(a+b+c가 정수가 되기 위해서는 a+b가 정수가 되어야하므로 다음과 같이 가정하였습니다.).

    abc에서, (kn-m)mc/n2이라서 c는 n2의 배수여야 정수가 됩니다.

    ab+bc+ca 에서, ca와 bc는 정수이기때문에 반드시 ab가 정수여야 합니다.

    그러나 (kn-m)m/n2 이 정수가 되지못하므로 모순입니다.

    3. 세수가 모두 정수가 아닌 유리수인 경우

    a= m/n, b= (kn-i)/n, c= (m+i)/n 이라 가정합시다(a+b+c가 정수가 되야 하기때문에).

    그러나 이와같은 경우는 m, kn-i, m+i 모두

    n과 서로소이기때문에,

    abc는 정수가 되지못합니다.

     

    따라서 a+b+c, ab+bc+ca, abc 가 모두 정수이면 a, b, c는 모두 정수입니다(a,b,c는 유리수).

     

     

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    네비스 Lv.1 2020.06.03 11:01

    혹시 제가 아는 공식 중에 (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b)(c+b)(c+a)라는 걸로도 풀수있지 않을까요?

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      별하늘 Lv.2 2020.11.03 09:37

      삼차방정식으로 생각하고 근과 계수와의 관계를 쓰면됩니다

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  • 폴리매스 문제는 2019년도 정부의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물입니다.

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