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폴리매스 문제
세상에 없던 문제에 도전하세요!
[슬기로운 수학생활] 슬2. 격자거리를 재 보자!
수학동아 2020.05.29

정수좌표를 가지는 임의의 두 격자점 사이의 거리를 '격자거리'라고 하자.

 

 

즉, 어떤 수 x가 격자거리라는 것은 x가 어떤 정수 n, m에 대해 x=\sqrt{n^2+m^2}꼴로 나타내진다는 뜻이다.

 

임의의 음이 아닌 실수 x에 대해, \Delta (x)x 이상의 격자거리 중 최솟값 u(x)와 x 이하의 격자거리 중 최댓값 l(x)의 차이 u(x) - l(x)로 정의하자.

 

예를 들어 x = 3.1에 대해 u(x) = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13}이고, l(x) = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}이므로 \Delta(x) = \sqrt{13} - \sqrt{10}이다. \Delta(x)x로 나눠지는 두 연속한 격자거리 사이의 차이를 나타낸다. 이제 다음을 증명해보자.

 

 

 

문제 1 x를 무한으로 보낼 때 \Delta(x)가 0으로 수렴할까?

 

 

문제 2 어떤 상수 C, D > 0가 있어서, 모든 x \geq C에 대해 항상 \Delta(x) \leq D x^{-\frac{1}{2}}가 만족하도록 할 수 있을까?

 

 

문제 3 위 문제의 상한을 더 줄일 수 있을까? 이를테면, 어떤 상수 \alpha > \frac{1}{2}에 대해 위 문제의 상한을 D x^{-\frac{1}{2}} 대신 D x^{-\alpha}로 바꿔서 증명할 수 있을까? 이때 \alpha는 최대 얼마까지 갈 수 있을까?

 

댓글 194
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  •  
    B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

    \Delta (x)가 양의 실수 \epsilon가 아무리 작아도 \epsilon보다 작은 값이 존재한다는 걸로는 증명이 불충분하겠죠? (너무 당연한 사실이기도 하고, 진동할 가능성도 있어서)

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.02

      ? 그거 보이셨으면 다 푸신건데요?

      애초에 수렴의 정의가 그건데...

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.02

      혹시 '임의의 양의 실수 엡실론에 대해 델타 x가 엡실론보다 작은 x가 존재한다' 만을 의미 한건가요? 그러면 오류가 있네요

      일단 1번은 수렴의 정의에 의해 x>M일때 항상 엡실론보다 작아지도록 하는 실수 M의 존재성을 보이면 충분합니다

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      그럼 된 것 같네요 풀이 올릴게요. (이 댓글 좀 이상하게 썼어요. 다시 보니까 뜻이 다르게 해석되네요)

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  •  
    무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02
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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

      1번풀이

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

      참고로 이건 x를 사용한 오타가 있어서 저걸 가우스 바닥함수로 표현해 보겠습니다 2번풀이에서 자세하게 나와 있어요 

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.02

      조금 직설적으로 말하면 풀이가 전혀 이해가 안되네요... 풀이를 같은 반 친구한테 설명해준다는 느낌으로 차근차근 써주시면 안될까요?

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  •  
    B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

    n^2+k^2\leq (n+1)^2을 만족하는 가장 큰 정수 k를 잡자.

    k^2\leq 2n+1이므로 k\leq \sqrt{2n+1}이다.

    격자거리 중 \sqrt{n^2+1}, \sqrt{n^2+4}, \sqrt{n^2+9}, ..., \sqrt{n^2+k^2}만 생각하자.

    n<x<n+1에서 생기는 \Delta (x)

     \sqrt{n^2+1}-n< \sqrt{n^2+4}-\sqrt{n^2+1}< ...< \sqrt{n^2+k^2}-\sqrt{n^2+(k-1)^2}과 n+1-\sqrt{n^2+k^2}이 있다.

    여기서 \sqrt{n^2+k^2}을 제외하고 생각하면, \Delta (x)\leq n+1-\sqrt{n^2+(k-1)^2}이다. (가장 큰 값이 이겁니다.)

    극한값을 구해주면, 

    \lim_{n\rightarrow \infty }(n+1-\sqrt{n^2+(k-1)^2})=\lim_{n\rightarrow \infty }(n+1-\sqrt{(n+1)^2-2\sqrt{n+1}+1})=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2\sqrt{n+1}-1}{n+1+\sqrt{(n+1)^2-2\sqrt{n+1}+1}}=0

    따라서 0에 수렴한다.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      앗... 수식이 다 깨져버렸네요.. 손풀이로 다시 써서 올릴게요

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

      구지 그걸 그렇게 힘들게 풀어야 되나요

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      아예 결과가 다르게 나왔어요.. 님은 불가능이고 전 수렴한다임다

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  •  
    무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02
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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

      2번풀이 입돠

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

      저거 그래프 개형은 무시하세요 안써도 되는데 그래프 잘못 그렸습니다 근데 개형가지고 안풀었어요

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      아마 격자거리 중 격자거리가 정수인 것만 고려하신 듯 싶습니다. \Delta (x)=2[x]+1으로 나타낼 수 없어서 틀렸습니다...

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

      예 맞습니다 일부러 반례를 찾기위해 정수만 따로 빼낸 것이라 괜찮습니다 

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

      제 설명이 빈약한가요?

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      아.. 이건 반례를 찾기 위해 바꿀 수 있는 부분이 아니예요.. △(x)의 정의 자체가 달라집니다. x가 정해지면 △(x)도 정해지는 겁니다.

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

      아 그려네요 ㅋㅋㅋㅋㅋ

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

      ㅋㅋㅋㅋ

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

      풀이 틀린것 때문에 해탈하는중...

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      그나저나 29개의 댓글을 저희 둘이 다 썼네요;;ㄷㄷ

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

      저기요 저기요? 다시 생각해보니 재가 맞느데요

      교수님

      설명해 드릴게요 

      저는 함수를 x관해 각각 쓰고 하계를 구하여 x에 대한 반례를 찾았습니다 BCI수학장님이 잘못 안거...

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.03

      1. 하한(상한 아닌가요?)을 쓰셨다면 △(x)가 오른쪽 식보다 작거나 같다는 꼴로 나와야 합니다.

      2. [x]+1이랑 [x]를 제곱하는 이유가 뭐죠? 그냥 [x]+1-[x]=1 아닌가요?

      저는 이게 '△(x)는 1 이하이다.'라는 결론이 나와야 하는 풀이로 봅니다. 이 때 이것만으로는 2번이 만족할지 안 할지는 알 수 없죠.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.03

      저도 그렇게 생각해서 물어봤는데 아니라네요... ㅋㅋ

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.06.05

      무한대의끝을본남자 회원님.

      회원님의 풀이를 진지하게 고민하고 도움을 주고자 댓을을 달아주는 다른 회원들에게 비꼬는 듯한 태도로 댓글을 달지 말아 주시길 바랍니다.

      폴리매스에 관신을 가지고 활동해 주시는 것은 감사하지만 다른 사람을 존중하지 않는 댓글은 협력해서 문제를 풀어나가는 폴리매스의 문화를 어지럽힙니다.

      자제해 주세요.

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  •  
    무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02
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    3번풀이

     

    2번풀이와 같이 미분하면 이것도 -와 같은 기울기를 가짐으로

    피타고라스 쌍을 못넘겨서 성립되지 않는다 즉

    불가능

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

      틀렸으면 이유도 달아주세요 교수님

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      아니요 교수님 대신 제가 달아드리겠습니다. 잠깐만 기다려주세요. 지금 제 풀이 쓰는 중

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

      이건 저의 풀이가 100% 맞다고 생각하는데...

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  •  
    B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02
    확인요청중

    약간의 오류가 있어서 수정해서 다시 올립니다.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      부등식 증명

       

      극한값 증명

       

       

       

      오류 발견하시면 지적해주세요

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      아 여기서도 실수했네요 첫 번째 사진 "극한을 씌워주면" 다음 줄에서 '='이 아니고 '<='이고, 세 번째 사진 네 번째 줄에서 '<'가 아닌 '<='입니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.02

      제가 처음에 접근했던 방식인데 극한값 증명에 실패해서 버려뒀는데 이게 되는거였네요 ㄷㄷ 좀만 더 해볼걸 ㅠ

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.02

      극한값 증명 잘못된것 같은데요? k^2+2k+1<2n+1로 해서 식을 (n+1)^2으로 묶는 부분 있는데 부등호 반대 아닌가요?

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.02

      지금 직접 해보니까 그부분 부등호만 반대로 하면 맞는 것 같네요. 자세히 보니까 처음에 맞는 방향으로 했다가 바꾸셨는데 왜 바꾸신거죠 ㅋㅋ

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    •  
      수학꿀잼 Lv.2 2020.06.02

      수학장님 풀이에 오류가 있습니다만, 부등호가 반대라는 점입니다

      그리고, 이 문제에서 의도하는 바는 격자거리의 제곱인 정수들의 차이가 root-scale임을 보이는 것입니다(2번 문제를 보면 추론할 수 있습니다

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.02

      값이 루트 형태로 수렴함과는 관계없이 문제 1번은 단순히 델타 x가 0에 수렴한다는 것을 보이는 문제이므로 풀이에는 아무 문제가 없는 것 같습니다.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      극한값 부등호 바꿨는데 저게 맞나요? 자꾸 헷갈리네요;;

      +정답요청 했습니다

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      그런데 이렇게 하면 분모가 1차식이고 분자가 1/2차식이니까 x에 관하여 고쳐주면 2번도 만족하는 거 아닌가요?

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.02

      앗... 알아채셨네요... 수학장님 풀이 보고 바로 2번 풀려서 몰래 풀이 쓰고 있었는데 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      쓰던거 쓰세요 ㅋㅋㅋ 저는 귀찮아요

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.02

      심각한 오류는 아닌데 2k땜에 k계수가 -2여서 -4sqrt(2n+1)+4를 -2sqrt(2n+1)로 바꿔야 할 듯 합니다. (글고 -1은 안 해야 맞지 않나요)

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  •  
    리프 Lv.6 2020.06.02
    확인요청중

    2번 풀이입니다.

    전 따로 한 거 없고 수학장님이 다 하셔서... 아마도 폴리매스에 존재하는 풀이 중 제일 양심이 없는 풀이인 것 같습니다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 죄송합니다 ㅋㅋ

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  •  
    리프 Lv.6 2020.06.02

    3번은 아마도 답이 아직 안 알려진 문제인 것 같은데 그러면 이번 문제는 하루컷 난건가요 ㅋㅋㅋㅋ

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

      근데  제풀이가 맞습니다 ㅠ bci님이 잘못 보신거

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.02

      그러면 수학장님의 풀이에서 오류를 지적해주실 수 있나요? 수학장님은 문제가 맞다는 결론이 나왔는데요...

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      리프님리프님 제 더정확한 풀이설명아래에 올렸으니 봐주세요

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  •  
    무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

    제풀이가 맞습니다!!!

    BCI수학장님이 잘못이해하신거예요

    저는 상계와 하계를 이용해서 반례를 찾은건데

    BCI 수학장님 께서 정해진다고 하신조건 저는 지켰어요!

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      일단 오늘은 졸리니까 내일 일어나서 확인할게요 

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.02

      않이 그러면 수학장님이 어디가 틀렸는지 정확히 좀 말씀해주시면 안 될까요 ;;

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

      죄송합니다 제 성격이 갈루아 같아서요

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.02

      직설적이고 직관을 많이 따라서

      저는 라마누잔+갈루아 라고 생각하시면...

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.03

      1번 풀이에서 n, m이 피타 삼원쌍을 이뤄야 해서 0과 0이 아닌 수가 나오면서 진동한다고 설명하셨는데 sqrt(n^2+m^2)가 정수가 될 필요는 없기 때문에 성립하지 않는 풀이라고 생각합니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.03

      2번도 마찬가지네요. 격자거리가 정수라는 조건이 없기 때문에 델타 x의 값이 2floor(x)-1보다 크거나 같을 이유는 없습니다. 또한 델타 x의 값이 왜 (floor(x)+1)^2-(floor(x))^2이 되는지도 잘 모르겠네요. 루트가 붙어있어서 님 논리대로면 제곱이 없어야 하지 않나요.

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.03

      리프님 제 설명이 많이 빈약한가 보네요... 일부러 제가 그렇게한건데

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.03

      제설명이 많이 빈약한것같으니 오늘 다시 올리겠습니다

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  •  
    리프 Lv.6 2020.06.03

    일단 1,2번은 그렇게 강력하지 않은 실례를 통해 범위를 잡은 것이기 때문에 아마도 3번에서 알파가 1/2보다 큰 값을 가질 수 있을 것 같습니다. 정수론적인 측면에서 접근을 해봐야 할 것 같네요. (예를 들어 4k+1꼴의 소수의 곱으로 이루어진 수는 항상 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있습니다.)

     

    그리고 프로그래밍을 통해 델타 x의 값을 적당히(100만 정도?) 구해서 그래프로 그려보면 도움이 될 것 같네요. 전 프로그램 쪽은 아는게 없어서... ㅋㅋ 다른 분들이 해주셨으면 좋겠네요

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  •  
    리프 Lv.6 2020.06.03

    https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8E%98%EB%A5%B4%EB%A7%88_%EB%91%90_%EC%A0%9C%EA%B3%B1%EC%88%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC#%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%99%94

    여기서 일반화 부분을 읽어보면

    n=x^2+y^2 의 해가 존재하기 위한 n의 필요충분조건은 n이 4에 대한 나머지가 3인 홀수 중복도의 소인수를 가지지 않는다. 라고 적혀 있는데 이게 무슨 뜻인지 아시는 분 있나요?

    만약 n에 대한 필요충분조건이 존재한다면 문제 푸는데 엄청 도움이 될 것 같은데요...

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    •  
      GUN.007 Lv.11 2020.06.03

      http://www.polymath.co.kr/contents/view/17699

      문제의 형태와 매우 비슷하네요

      제가 형태를 저런거에서 약간 변경시키기는 했는데

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.03

      근데 님 문제는 -c^2 때문에 너무 자명해지는 거 아닌가요? 그냥 a^2-c^2=2k+1의 근이 항상 존재하니까 자명한 것 같은데요...

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    •  
      GUN.007 Lv.11 2020.06.03

      제 이 문제가 모든 홀수 정수 n은 a^2-b^2으로 나타낼 수 있다인데요

      모양이 비슷해서...

      어쨌든....

      저도 무슨 뜻인지는 잘 모르겠네요...

      (거기다가 필요충분조건 뜻 까먹은.ㅋㅋ)

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.03

      4로 나눈 나머지가 3인 소수(3,7,11,19,...)를 소인수로 홀수 개 갖지 않는다는 뜻 같습니다.

      저게 필요조건인 건 제곱수를 4로 나눈 나머지가 3이 될 수 없다는 것에서 쉽게 증명할 수 있고, 충분조건은 (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ad-bc)^2+(ac+bd)^2으로 나타낼 수 있으므로 성립한다는 뜻 같아요. 2는 1^2+1^2이고 4로 나눈 나머지가 1인 소수는 페르마 두 제곱수 정리에 의해 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있으므로 성립합니다.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.03

      근데...21은 또 불가능하네요.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.03

      아니면 이런 뜻일까요? 3, 7, 11, 19, .. 등의 소인수를 모두 짝수 개씩 갖는다

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.03

      ㅇㅎ 수학장님의 두 번째 댓글이 맞는 것 같네요 근데 증명 어떻게 하지... (일단은 몇 개 노가다 해보니까 맞는 것 같습니다)

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.03

      생각해보니 다음 렘마를 사용하면 너무 자명하게 끝나는 문제였네요 ㅋㅋ

      lemma) 4k+3꼴의 소수 p에 대하여 p가 a^2+b^2의 약수라면 p는 a와 b를 동시에 나눈다.

      이 렘마에 의해 a^2+b^2꼴의 수는 항상 4k+3꼴의 소수를 2개씩 갖는다는 것을 알 수 있네요. (켐오 2차하던 시절에 이 문제를 접했으면 걍 1초컷이였을텐데 ㅋㅋ)

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.03

      그러면 3번 풀이 기대해보겠습니다. 저는 대수적인 방법으로 접근해볼게요!

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.03

      근데 이걸 안다고 해도... 조금 어려울 것 같네요 ㅇㅅㅇ 글고 영재고 2차 시험 볼 때까지는 학원 숙제가 많아서 많이 고민을 못할 것 같아요 ㅠㅠ

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.04

      저도 사정이 크게 다르지 않네요ㅠㅠ 그래도 2차~3차 빈 시간이 많아서 2차 이후로는 생각해볼 시간이 있겠어요

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      그러신가요 ㅠㅠ 저도 한과영 10일후에 시험입니다

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  •  
    무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04
    확인요청중

    저의 2번풀이설명입니다 교수님

    제 설명이 빈약해서...

    이는 "모든 x에 대한"이라는 것입니다

    따라서 모든 x에대해 \Delta (x)\leq Dx^{-\frac{1}{2}}가 성립하여야합니다

    따라서 저는 기준을 \Delta (x) \in Z즉, x = PITAGORASE쌍이라는 뜻입니다

    저의 풀이는 이둘을 함수로 나타내며 만일 이것이 정수조건에서

    \Delta (x)\leq Dx^{-\frac{1}{2}}가성립하지않는다를 증명하였고

    따라서 "모든" x에대하여 성립하지 않는 다는 것을 보인것입니다

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      그리고 3번풀이는 이걸이용하여 이미 쉽게 풀었습니다

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      또, (이것이 제 원본풀이)

      정수조건을 어떻게 불가능한지 보였냐하면, 그것을 모두 분포함수로 나타내고, Dx^{-\frac{1}{2}}도 나타내어

      Dx^{-\frac{1}{2}}을 미분하여 \Delta (x)보다 기울기가 뒤쳐진다는것을 보여

      언젠간 이것이 성립하지 않는다는것을 보여 모순을 보인것입니다

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      왜 가우스 바닥함수로 뒀냐고요?

      간단합니다 "정수"조건이라고 했잖아요

      그리고 이는 기울기를 뒤쳐저 보이는것을 증명하는것이므로

      이의 최소인 x-1을 가우스(x)라고 봐도 과언이아닙니다

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      그래프 그림가지고 뭐라하지 말아주세요 저건그냥 잘못그린겁니다 어차피 그래프안써요 괜찮습니다

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.04

      일단 수학장님 풀이 한 번 읽어보고 오시면 안 될까요... 문제 이해를 잘못하신 것 같은데 (글고 백진언 연구원님은 교수는 아닐걸요)

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      저는 문제를 4번이상봤습니다만...

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.04

      제가 생각하기에 무끝남님은 이 점들을 잘못 이해하고 계신 것 같네요.

       

      1. 문제를 읽어보시면 델타 x를 정의할 때 x '이상', '이하' 라는 말이 있기 때문에 x가 피타 삼원쌍의 원소가 되면 (즉 x가 격자거리이면) 델타 x의 값은 0입니다.

      2. 격자거리는 정수일 필요가 없습니다.

      3. 2에 의해 이상 이하가 초과로 바뀐다 해도 여전히 델타 x는 1보다 작게 만들 수 있고 0에 수렴합니다.

       

      한 번 예시를 들어볼까요?

      델타(5)의 값을 구해보면 실제 문제의 정의상 0이 되지만 3과 같은 조건으로 푼다고 해도 델타(5)=sqrt(29)-sqrt(20)=0.91302885213 임을 알 수 있습니다.

      델타(x)가 2floor(x)-1보다 커야 할 이유는 없습니다. 만약 2floor(x)-1 이 되도록 격자거리를 잡을 수 있다면 델타 x는 그보다 작거나 같아야 합니다.

       

      추가) 문제에서 정의된 델타함수의 정의역은 양의 실수이므로 델타(x)에서 x도 정수일 필요성은 없습니다.

      추가2) 모든 정수는 sqrt(n^2+0^2)으로 표현 가능하므로 모든 정수는 격자거리이며, 델타(x)는 1이하임을 알 수 있습니다.

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      제가 잘못말했네요 피타삼원소쌍의 하한입니다 x가

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      교수님그리고 제가 피타고라스쌍이라고했는데

      잘못말한거고요 피타고라스쌍의 하한입니다

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      즉, 피타고라스쌍보다 약간작다는뜻입니다

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.04

      글고 약간 관련 없긴 한데 띄어쓰기 좀 해주시면 안 될까요? 가독성이 좀 떨어져서...

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      제가 2일전에 풀다보니 저도 제풀이를 까먹군요 그래서 말실수를 하는겁니다

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.04

      그리고 피타 삼원쌍을 언급하는 이유가 도대체 뭔가요? 격자거리는 정수일 필요가 없다니까요...

      아니면 다른 이유가 있는건가요?

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      아무이유없습니다 그냥 이렇게 잡아서 푸는게 쉽기 때문이죠(직관)

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      죄송합니다 제가 손보다 머리가 빨라서 손의 속도가 못따라가서 띄어쓰기를 잘안합니다

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.04

      실례를 잡아서 델타 x의 범위를 잡는거면 그 값보다 커지는게 아니라 작아지는데요

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      예 맞아요 그걸이용해서 이게 불가능하다고 한겁니다 제풀이를 이제 이해하시네요

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.04

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.04

      2번이 틀렸다는걸 보이려면 어떤 상수 D를 잡아도 델타 x가 D/sqrt(x)보다 커지도록 하는 x가 항상 존재함을 보여야 하는데 무슨 소리를 하시는거죠... 님은 어떤 식보다 작다는걸 보이기만 했기 때문에 그건 2번이 틀렸다는 근거가 될 수 없습니다.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.04

      접속 안 한다고 했다가 궁금해서 접속해봤더니 댓글이 89개.. 근데 무끝남님 제 풀이 한 번 보고 오세요. 저도 델타 x가 어떤 값보다 작아지는 것을 이용한 겁니다.

      그리고 그 값보다 작아지면 꼭 그 값을 따라가야 하는 게 아니라 더 작을 수 있는 거잖아요... 그건 수렴하지 않는다는 증거가 아닙니다

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      ??? 저는 그자체가 반례라서 꼭 모든 x에대해 성립하지않으면 불가능한데요?

      모순이되잖아요

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.04

      그 값보다 작다는 결과가 나오는 거니까 그 값이 반례가 될 수 없어요

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.04

      예를 들어보면

      문제) x가 1보다 작음을 보여라.

      무끝남님 풀이) x가 2보다 작기 때문에 문제가 틀렸다.

       

      이런 상황 아닌가요...

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      뭔소리죠 저는이런건데요

      모든x가 2보다작다

      어떤x가 2보다 크므로 모든x가 2보다작지않다

      라는건데요

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.04

      부등호 방향 착각하고 계신 건 아닌가요? 크다는 결론이 안 나올 텐데

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      이건예시잖아요...

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.04

      근데 님 풀이에서는 크다는 걸 보이는 부분이 없는데요? 실례를 통해 잡은거면 델타 x는 그 값보다 작아지는거지 절대 커질 수 없습니다.

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      아니 이건예시잖아요

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.04

      (가능한 모든 경우보다 많은 경우 사이의 차이)보다 크다

      또는 (가능한 경우 중 일부 사이의 차이)보다 작다

      라는 결론이 나와야죠

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.04

      그러면 식을 치환해서 설명해주세요.

      문제에서는 델타 x가 식1보다 작음을 보이라고 했습니다. 근데 무끝남님은 어떤 x가 존재해서 델타 x가 식1보다 크단걸 보였다고 하셨는데 그 부분에 대한 설명을 해주세요.

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      분명 맞는것같은데...

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      잠깐만요 아이스크림먹고있어서...

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      오늘 밤에 답변드릴게요 공부해야되서

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.04

      네 무끝남님 힘내시고 밤에 확인하러 오겠습니다.

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  •  
    B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.04

    그나저나 문제 3의 \alpha는 1보다 클 수는 없겠네요

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수9
    •  
      리프 Lv.6 2020.06.04

      왜죠?

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      제2번풀이가 맞다면 3번은 무조건 틀립니다

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      제가 중1이라 한과영준비하느라 힘드네요 2차시험이얼마안남았는데 이렇게도되는지

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.04

      이렇게 돼서 자명하네요 루트n+1이랑 루트 n은 scale이 x랑 같으니까요

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.04

      근데 무끝남님 틀린 점 알려주는데 본인 풀이가 맞다고 너무 확신을 가지시는 듯 하네요.. 마음을 열고 다시 한 번 보세요

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.04

      영재고 준비하는건 님만이 아니라 저희도인데요... 저희는 심지어 중3이라 이번이 마지막 기회입니다...

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      일단제가 나중에 더 자세히 설명드릴게요

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.04

      ㅇㅎ 자명하네요

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      제가 풀이작성했습니다

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  •  
    무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

    하하... 저의 직관적인 성격이 단점도있네요 풀이할때 남들이 못알아듣는군요

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수7
    •  
      리프 Lv.6 2020.06.04

      그거 근데 진짜로 고치시는게 좋아요... 이런 곳에서는 이해가 안 되면 물어볼 수 있지만 시험 같은 곳에서는 그냥 점수를 안 줄 수도 있어요...

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.04

      근데 맞게 풀었는데 이해 못해서 부분점수 받으면 엄청 손해 아닌가요

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.04

      특히 한과영은 서술형일텐데...

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      근데또제가 시험때는 안그래요;;; 하하;

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      직관적인 성격이 좋을때도 있답니다! 공식아이디어랑 풀이아이디어를 엄청난 창의력을 이루기도 해요

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.04

      어쨌든 시험 잘 보시기 바랍니다 ㅇㅅㅇ

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.04

      감사합니다!

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  •  
    무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05
    확인요청중

    더정확하게 제 2번풀이설명해드리겠습니다

    저는 Dx^{\frac{1}{2}}이 "어떤 x"의 값에대해

    \Delta (x)\leq Dx^{\frac{1}{2}} 이 성립하지 않는 다는것을 보였으며,

    그로인해 2번의 부등식이 불가능하다는것을 보였습니다

    따라서 이 어떤 x의 값을 찾기만하면되므로 

    x를 피타고라스쌍의 하한으로잡고(피타고라스쌍보다 약간작다 하지만 그이전피타고라스쌍보단크다)

    어느함수 f(x)를 이 피타고라스 하한 x를 x좌표로하고

    \Delta (x)를 y좌표로하는 것으로 정의한다

     

    그리고 어느함수 g(x)를 피타고라스 하한 x에대하여 g(x) =Dx^{\frac{1}{2}}로 정의한다

     

    우리의 목표는 그 어떤 x의 값을 찾는 것이므로 어느 x의 값에서  f(x)\leq g(x) 이 아님을 보이면된다

     

    제가 접근할 방법은 \frac{d}{dx}f(x)> \frac{d}{dx}g(x)를 보여서

    어떤 x의 값이 나옴을 증명할것이다

     

    f(x)를 피타고라스 쌍의 대해미분해보십시오 각자

    g(x)도 미분해보세요 그러면 이부등식이 성립하여

    어떤 x가 존재하여

    2번문제가 불가능함을 보일수있게됩니다

     

    미분법을 보시려면, 위에 제 2번 원본풀이를 잘읽어보세요

     

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      왜하한으로 잡는가?

      물어보는 사람이있을까봐...

       

      저는 피타고라스의 n+1번째 쌍-n번째쌍인 x를 찾아 쉽게 계산하기 위하여 이렇게 잡은것입니다

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      그냥편의상 x를 그렇게 놨다고 생각해도 무방합니다 

      이거는 별로신경 안쓰셔도 될것같아요

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.05

      질문이 2가지 있습니다.

      1. 피타고라스쌍의 하한이 무슨 뜻이죠? 예시를 들어서 설명좀 해주시면 감사하겠습니다.

      2. 만약 님의 풀이가 맞다면 예시로 D=4일 때 만족하지 않는 x를 100이상에 대해 1개라도 구해주셨으면 좋겠습니다. 미분을 통해 f(x)가 커지는 x가 존재한다면 밝혔다면 실례를 잡는건 별로 어렵지 않을 것 같은데요.

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    •  
      수돌이 Lv.2 2020.06.05

      안녕하세요, 무한대의끝을본남자님이 적어주신 풀이 중,

      함수 f(x)가 잘 이해가 가지 않아서 질문 드립니다. x가 3.04이면 x보다 작은 격자거리중 가장 큰 것은 루트9이고, x보다 큰 격자거리중 가장 작은 것은 루트10이므로,

      함수 f(x)는 x좌표=루트9, y좌표=델타(3.04)=(루트10-루트9)인 점을 지나는, 아래와 같은 함수로 생각해야 하나요?

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      수돌이님좋은질문입니다 저렇게 뾰족점이나오면 미분불가능 하지만, 저런정수함수를 가우스 함수를

      통하여 미분하면 [x]-n을 미분변수로 잡는다

      그렇게되는 방식으로 미분가능한데...

      좀  복잡합니다 미분가능함수가아니라서

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      뜨아 수돌이님 말씀을 보면 제풀이가틀렸군요

       

       

      다시 올리겠습니다

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.05

      무끝남님 근데 제 풀이 읽어보셨나요?

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      예 읽어봤습니다 그리고 수돌이님의 말에 제가 틀린것도 알았고요 다시올렸습니다 봐주세용

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.05

      혹시 제 풀이도 읽어보셨나요? 제 풀이 보시면 2번이 맞다는 걸 알게 될텐데요...

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    무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05
    확인요청중

     저의 풀이의 오류를 깨닫고  풀이를 작성하도록하겠습니다 2번풀이!

    이도 접근 방식은 비슷한데 오류를 고치는것입니다

    일단 2번 부등식은 가능함을 알았습니다... 제가 가능함을 보였습니다

    일단

    f(x) = 델타(x)에서 x를 피타고라스쌍의 하한으로 잡자(저번이랑 똑같다)

    여기서부터 다르다! g(x) = Dx^-1/2는 x를 C이상의 모든실수로 잡는다

    하한으로 잡는이유는 \Delta (x) = PITA_{n+1}-PITA_{n}으로 잡아서 쉽게 풀이하기 위한것입니다

     

    이런피타고라스쌍은 계속잡다잡다보면 0에 수렴하게되는데,

    (수학장님의 1번풀이참고)

    그러면 기울기가 그때는 0으로 된다는 소리이다

    하지만

    이상하게도 피타고라스쌍은 증가세이다

    이유가 무엇일까?

    그렇다, 제곱이기 때문이다

    증가세, 기울기가 0보다 크다는 소리이다

     

    그러면 

    g(x)를 미분하자

    여기서 x는 모든실수이므로

    어차피 f(x)도 x의범위가 모든실수에 포함되므로

    f(x)\leq g(x)

    를보이면 가능이지만

    모든 x에대해서 어떤 불가능한 x가존재하면 이부등식은 틀린것이다

     

    f(x) = 피타고라스n+1쌍-피타고라스n-1쌍은 증가세이다

    이는기하로도 쉽게증명가능하다

    여기서 \frac{d}{dx}f(x)> 0임을 알수있다 원래 f(x)는 뾰족점이 있어 미분이 불가능하지만

    증가세이므로 기울기가 이것이 됨을 알수있다

    그런데

    g(x)를 미분하자

    \frac{d}{dx}g(x) = -\frac{1}{2}Dx^{-\frac{3}{2}}ㅋㅋㅋㅋ 기울기가 -잖아요

    그러면 당연히 g '(x)< f'(x),  g(x)< f(x) 인 어떤 x가존재하므로 "모든"이라는 조건에 모순이되어 2번은 부등식이 성립을 안합니다

    기울기가 열등하면 당연히 뒤쳐집니다

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      당연히라는 말을 많이썼네요... 당연한말이긴합니다

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.05

      함수 f(x)가 수돌이님이 말한 형태로 정의된다면 왜 미분했을 때 양수가 되는거죠? 음수가 될텐데...

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      그건 수돌이님이 그래프를 잘못그리신겁니다

       

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      저도 가능할 풀이를 생각해는 당연히 생각해 봤죠 근데 미분으로 접근하면 불가능해서

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.05

      그러면 그래프의 어디가 잘못된건가요? 함수 f(x)의 정의가 저게 아니라면 무슨 뜻인가요? 실제 수치를 몇 개 계산해서 그래프로 그려주셨으면 좋겠네요...

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      수돌이님은 x자체를 정수로 안잡고 그리셨어요

      f(x)가 원래 정수여야되거든요

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      왜 근데 제가 수돌이님말에 틀린것을아냐면, 뾰족점 미분불가능함을 알았기때문입니다 따라서 증가세라는 것으로 추정하였죠

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.05

      일단 수돌이님 질문에 대답해주시면 안 되나요... 저도 f(x)의 정의를 모르겠는데... 실제 값 한 두개만 구해서 알려주세요.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.05

      질문

      1. "피타고라스쌍의 하한"이 무슨 말인가요?

      2. "제곱이기 때문이다"는 무슨 말인가요?

      3. x를 저렇게 잡는다고 \Delta(x)=PITA_{n+1}-PITA_{n}가 성립할까요?

      4. PITA_n가 무슨 뜻이죠?

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      피타고라스쌍보다 조금작다는의미라고 하였는데요

      저기 풀이에도 써놯는데

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.05

      그러니까, 피타고라스 쌍보다 작다는 게 뭡니까? 피타고라스 쌍이란 건 애초에 수가 아닌데요

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      지금 제가 어디가야되서... 

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      어... 이건 틀린건지 맞은건지 모르겠습니다

      제가 실례를 구해봤는데

      1이라서 기울기가 0이더군요

      어차피 g(x)가 기울기가 -라서.

      증명은 맞는데... 혹시 제가 틀린걸까요 가능으로 초점을 맞춰봤는데 안되던데...

      그냥 기하적으로 풀어볼까요

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.05

      그냥 예시로 f(x) 몇 개의 값을 계산해서 올려주시면 안 될까요... 님 말고 f(x)가 뭔지 이해한 사람이 없는 것 같은데...

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      모두 1입니다 ㅠㅠ

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.05

      그러면 님 풀이는 어떤 x에 대해 f(x)>g(x)임을 보여서 델타 x가 g(x)보다 커지는 x가 존재함을 보이는 건가요?

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      yes 잘짚으셨네요

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.05

      근데 델타(x)<f(x)이여서 f(x)>g(x)임을 보여도 델타(x)>g(x) 라는 보장은 없는데요

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.05

      무끝남님 주장을 비유하자면

      3은 1보다 크다.

      2는 3보다 작다.

      고로 1은 2보다 크다가 됩니다.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.05

      드디어 길었던 토론의 끝이 보이는 듯하네요

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      예? BCI님? 전혀아닌데요?

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      저기요

      f(x) = 델타(x)이고

      g(x) = 여기부등식

      인데

      저는 그것을 부정하려고

      이것이 어떤 x를 존재함을 증명하는건데요?

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      그냥 나중에 정답요청때 확인하는게 나을듯하네요...

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.05

      f(x)가 모두 1이라면 모든 x에 대해 델타 x는 f(x)보다 작게 됩니다.

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      아닌데요??

      감소세라서 일정세를 못이깁니다

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      그러면 제 이 풀이를 이용해 가능함을 증명할수있나요?

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.05

      델타(x)는 1보다 작단건 자명한 거 아닌가요... 글고 님이 f(x)가 항상 1이라 하셨으니 델타(x)는 항상 1보다 작게 됩니다.

      그리고 이 풀이를 다듬어서 가능함을 보이는건 그냥 제 풀이랑 거의 비슷한 흐름으로 갈 것 같은데요...

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.05

      f(x)=델타(x)이면 1이 아닌데요..?

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    •  
      수돌이 Lv.2 2020.06.05

      안녕하세요, 무한대의끝을본남자님, 함수 f(x)의 함수값이 항상 정수가 된다고 하니 f(x)가 도저히 뭔지 모르겠습니다.

      다음 세 개의 값을 구하여 대댓글로 달아 주시면 감사드리겠습니다.

      f(3)

      f(3.01)

      f(5)

      이 부분은 함수 f(x)에 대한 궁금증이 풀린 이후에 말씀드리고 싶었던 내용입니다.

      아래와 같이 두 함수를 잡으면,

      모든 x>0에 대해 f'(x)<0이고 g'(x)>0이기 때문에 f'(x)<g'(x)입니다. 하지만 모든 x>0에 대해 f(x)>g(x)입니다.

      따라서 무한대의끝을본남자 님의 풀이는 근본적인 부분에 오류가 있다고 생각됩니다.

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.05

      그냥.. 이풀이는 버립니다

      다른풀이로 풀죠

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.05

      근데 수돌이님 다시 활동하실 생각이신가요? 글고 그래프 그리는 프로그램 뭐 쓰시는지 좀 알려주실 수 있을까요?

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.05

      수돌이님 이제 대학생인가요? 고3이신가?

      아 그리고 그래프 그리는 프로그램 저도 궁금합니다

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    •  
      수돌이 Lv.2 2020.06.06

      이제 대학생이죠! 근데 아직 성인은 아니고...

      활동은 가끔씩 들어와서 눈팅하고 있어요

      그리고 저 그래프들은 파워포인트로 그린건데요ㅋㅋㅋㅋ

      Geogebra로 그래프 쉽게 그릴 수 있긴 해요

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.06

      파워포인트였다니 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 뭔가 좀 허무하네요 ㅋㅋ

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    •  
      구머 Lv.4 2020.06.06

      풀이가 맞고 틀리고를 떠나서, 무끝남님 풀이 작성하실 때 자신이 사용한 (함수/테크닉/식)들을 명확하게 정의할 필요가 있다고 생각합니다. 

      (개떡같이 말해줘도 찰떡같이 잘 알아듣는)수돌이 님마저도 풀이 이해를 포기한 점을 보면, 풀이에 자신만 알고 남은 알지 못하는 부분들이 있는것 같아요.

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  •  
    구머 Lv.4 2020.06.06

    오랜만에 들어왔는데 너무 풀이가 많아서 다 읽을 수가 없네요. 지금 소문제 뭐가 풀렸고(or 풀린 것 같고) 뭐가 안풀린거죠?

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    •  
      구머 Lv.4 2020.06.06

      휴 다읽었다

      수학장+리프 듀오가 1,2번을 해결한것 같고,

      사용된 아이디어는 대충 n과 n+1개 사이에 루트(2n)개 이상의 격자거리가 존재한다는 것을 활용한 것 같은데 제대로 이해한건지 모르겠네요ㅜ

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.06

      델타(x)는 격자거리 중 n, 루트 (n^2+1), 루트 (n^2+4), ...., 루트(n^2+k^2), n+1만 생각해도 이 사이의 차이보다 작다는 것을 이용한 겁니다.

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  •  
    파스칼 Lv.4 2020.06.06

    수학장님, 리프님 두 분이서 1,2번 다 끝내셨네요..

    영재교 입시때문에 바쁘실 텐데 대단하시네요

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수3
    •  
      리프 Lv.6 2020.06.06

      사실 전 따로 한 거 없고 수학장님이 식 변형 다 해놓으셔서... 수학장님이 1, 2번 둘 다 해결한거나 마찬가지에요 ㅋㅋ 볼때마다 느끼는건데 식 변형하는 능력은 수학장님이 저보다 훨씬 뛰어나신듯 ㄷㄷ

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.07

      리프님 과찬이십니다... 저는 리프님 아이디어를 못 따라가요..

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    •  
      무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.06.07

      저는 아이디어는 정말 큰데 흠... 풀이를 정리를 못하네요

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  •  
    삼각파이 Lv.9 2020.06.07

    흠...

    문제를 이해도 하기 전에 다 풀어버리시다니...

    역시 여기서 제가 할 일은 없는 것 같군요...ㄷㄷ

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.07

      3번을 푸시면 됩니다(!)

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    •  
      닮은살걀 Lv.4 2020.06.07

      반응이 폭발적이네요 ㄷㄷ

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  •  
    구머 Lv.4 2020.06.07

    ***(주의!! 이 댓글은 엄밀성과는 거리가 먼 댓글입니다!!)

    문제 3번의 경우 1보다 작은 모든 양의 실수 α에 대해 \Delta x \leq Dx^{-\alpha}임을 추정할 수 있습니다. (alpha=1인 경우는 확신이 잘 서질 않네요)

     

    자세한 계산은 나중에 올릴 예정이지만, 충분히 큰 어느 수가 m2+n2꼴로 나타내어질 확률은 그 수가 소수일 확률보다 큽니다. 따라서 m2+n2꼴의 수가 "소수가 분포하는 정도"보다 더 자주 등장한다는 것을 알 수 있습니다. 그런데 소수 정리에 의하면, 충분히 큰 자연수 n이 소수일 때, 그 다음 소수는 대략 n + log n 주변에서 나타난다는 것을 알 수 있습니다. 그런데  

    \sqrt{n+logn}-\sqrt{n} \approx \frac{logn}{2\sqrt n}

    이므로 우리는 \Delta x가 \frac{log x}{ x}에 비례한다고 추측을 해볼수 있습니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.07

      격자거리의 제곱이 나타날 확률이 왜 소수보다 큰지 잘 모르겠는데 설명해주실 수 있나요?

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.07

      (주의!! 이 댓글도 엄밀성과는 거리가 먼 댓글입니다!!!)

       

      어떤 공간 안의 격자점의 개수는 그 공간의 넓이에 비례하는 추세를 가짐을 확인할 수 있습니다.

      원점을 중심으로 반지름이 1,2,3,4,..인 원을 그리면 그 사이의 격자점의 개수는 대략적으로 일차함수 꼴이겠죠.

      원들 사이의 격자점의 개수는, 원들의 반지름 사이의 격자거리의 수와 비슷합니다.

      따라서 두 자연수 n, n+1 사이에서 격자거리의 개수는 어떤 상수 c에 대해 cn개보다 클 것으로 예상됩니다.

      그러면 격자거리 사이의 평균적인 차이도 \frac{1}{cn} 보다 작을 것으로 추측할 수 있습니다.

       

      이 추측이 맞다면 alpha=1인 경우에도 성립할 것 같네요

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.08

      수학장님 아이디어가 되게 괜찮은 것 같긴 한데 평균적인 관점에서 보면 성립할 수도 있지만 sqrt(n^2+1)과 n 처럼 엄청 가깝게 있는 격자거리 쌍도 되게 많아서... 왠지 성립하지 않을 것 같은 기분이 드네요

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.08

      리프님 말씀이 맞습니다..ㅠㅠ 증명이 힘들고 쉽고를 떠나서 아예 성립하지 않을 수도 있어요

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    •  
      수돌이 Lv.2 2020.06.08

      \alpha =1인 경우에는 불가능합니다.

      충분히 큰 x에 대해 \Delta (x) \leq D/x가 성립한다면 x보다 작은 격자거리 중 가장 큰 것을 L(x)x보다 큰 격자거리 중 가장 작은 것을 R(x)라고 할 때, R(x)-L(x)\leq D/x이고, R(x)+L(x)\leq 2R(x)<3x (x가 충분히 크므로 성립)이어서 R(x)^2-L(x)^2\leq 3D이어야만 합니다.

      3 D가 고정된 상수이므로, 충분히 큰 c 이상, 임의의 연속한 3 D개의 자연수를 잡으면 적어도 하나는 m^2+n^2꼴로 표현되어야만 합니다.

      하지만 그렇지 않다는 것을 보이겠습니다.

      주어진 양의 정수 n에 대해, 4k+3꼴의 소수 n개 p_1,p_2,...,p_n를 생각합니다.중국인의 나머지 정리에 의하여, c 이상이면서 i=1,2,...,n에 대하여 T\equiv p_i-i (mod p_i^2)를 만족하는 T가 존재합니다.

      이 경우  i=1,2,...,n에 대해 T+i \equiv p_i (mod p_i^2)이므로 T+i를 소인수분해 했을 때 p_i의 지수가 1입니다. (홀수) 그러므로 T+i는 m_1^2+m_2^2꼴로 표현이 불가능하게 됩니다. 따라서 임의의 n을 잡아도 T+1,T+2,...,T+n이 모두 m_1^2+m_2^2꼴로 표현이 불가능하게 되는 T가 존재하게 되어 모순입니다.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.08

      와....

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.09

      역시 수돌이님... ㄷㄷ

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    •  
      code Lv.4 2020.06.09

      수학장님이 말씀하신 기하적 접근(?)으로 저도 해보고 있었는데, 별로 도움이 안되더라고요..

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.10

      https://www.youtube.com/watch?v=NaL_Cb42WyY&feature=youtu.be

      뭔가 관련이 있는 것 같긴 한 3B1B의 영상입니다.

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