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폴리매스 문제
세상에 없던 문제에 도전하세요!
[대한수학회] 대42. 도전! 무한 연분수
수학동아 2020.05.29

다음 무한 연분수의 값을 구하고 증명하여라.

 

문제 1

 

\LARGE 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}}

 

 

문제 2

 

\LARGE \frac{4}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+\ddots}}}}}

 

 

문제 3

 

\LARGE 1-\frac{1}{2-\frac{1}{3-\frac{2}{4-\frac{3}{5-\ddots}}}}

 

 

 

문제 4

 

\LARGE 1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+\frac{4}{5+\ddots}}}}

 

댓글 105
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  •  
    GUN.007 Lv.11 2020.06.02

    오, 대한수학회 새로운 문제 올라왔네요!!

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  •  
    GUN.007 Lv.11 2020.06.02
    확인요청중

    제가 어려운 것 못해서..흠흠...

    문제 1번

    \sqrt{2}=1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=1+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}-1}}=1+\frac{1}{\sqrt{2}+1이 됩니다.

    이때, 루트2+1의 정수부분은 2, 소수부분은 루트2-1이 됩니다.

    그래서 루트 2의 무한연분수는

    \sqrt{2}=1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{...}}}}

    로 루트2인 듯 합니다

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  •  
    MathlabJ Lv.8 2020.06.02
    확인요청중

    문제 1번

    주어진 식을 x라고 하면

    x=1+1/(1+x) 로 표현할 수 있습니다.

     

    이때 x가 양수인것은 자명하므로 1+x의 값이 0이 아니죠. 그러니 양변에 1+x를 곱해보면

     

    x2+x=x+1+1, 정리하면 x2=2가 됩니다.

     

    x는 양수이므로 x는 루트2가 됩니다.

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    •  
      MathlabJ Lv.8 2020.06.02

      건님이랑 답은 똑같네요

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  •  
    아인수타인 Lv.12 2020.06.02

    저도 1번은 위 두 분이랑 똑같이 나왔습니다. (MathlabJ님의 풀이와 같습니다)

    나머지는 좀 이따 도전해볼께요.

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  •  
    리프 Lv.6 2020.06.02

    역대급으로 간단한 대한수학회 문제네요 ㄷㄷ

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    •  
      MathlabJ Lv.8 2020.06.02

      그러게요 오랜만에 이해가 잘 되는 문제네요((본인한정

      하지만 전 연분수 잘 못하는ㄷ..

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    •  
      아인수타인 Lv.12 2020.06.02

      ㅇㅈ합니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.02

      저런 형태의 연분수 계산은 저도 첨 봐요 ;; 난이도 겁나 높을듯

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      첨 봤을 때 슬수생인 줄 알았어요 ㅋㅋ

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  •  
    MathlabJ Lv.8 2020.06.02

    근데 문제3번 분자들이 1, 1, 2, 3 ... 이면 피보나치 수열인가요? 아니면 1 1 2 3 4 5 ... 가 되나요?

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    •  
      GUN.007 Lv.11 2020.06.02

      그래 보이지는 않아요

      그냥 1이 하나 더 만들어진 것일 뿐이지..

      1,2,3,4,5....그렇게 될 듯 하네요

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    •  
      신희성 교수 Lv.3 2020.06.03

      1,1,2,3,4,5,6,7,8,.... 이렇게 되는 겁니다.

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  •  
    리프 Lv.6 2020.06.02

    방금 연분수 관련 해서 정보를 찾다가 문제 2,3번의 답을 발견했네요 ㅋㅋㅋㅋㅋ

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.02

      아 착각했네요 2번만 답을 발견했습니다 ㅋㅋ (근데 증명이 제가 할 수준이 아니네요 ㅠ)

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  •  
    ππ Lv.8 2020.06.02
    확인요청중

    문제 1번

    ^{\sqrt{2}}=1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}} =1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{...}}}}}

    이므로 주어진 식은 \sqrt{2}가 됩니다.

    식 쓰느라 10분 걸림

     

     

     

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    •  
      GUN.007 Lv.11 2020.06.02

      저는 1분만에 썼는데....

      그러케 오래.....?

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    •  
      닮은살걀 Lv.4 2020.06.07

      원래 오래 걸리죠..근데 닉네임이 센스 있으시네요 ㅋㅋㅋ

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  •  
    GUN.007 Lv.11 2020.06.02
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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      이거 좋은데요...? 앞으로 푸는데 엄청난 도움이 될 것 같네요

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    •  
      GUN.007 Lv.11 2020.06.02

      그럼.....

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      근데 경우가 좀 특수하긴 하네요... 저렇게 고치기만 하면 쉬울 텐데 고치는 게 쉽지 않을 듯.. 

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    •  
      sicma Lv.11 2020.06.04

      이거 힌트인줄 알고 들어갔더니 답이 다 있어요.ㅠㅠ

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  •  
    MathlabJ Lv.8 2020.06.02

    문제형식은 간단했지만.. 이게 이렇게 어려울줄은 몰랐어요.. 제 능력으론 1번이 한계....((퍽

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  •  
    B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

    문제 2는 몇 단계 계산해봤는데 파이가 나올 것 같아요. 증명은 흠..

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    •  
      GUN.007 Lv.11 2020.06.02

      그러게요..증명이...

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    •  
      sicma Lv.11 2020.06.03

      arctan 전개식 이용하면 풀릴것 깉은 느낌??

      \pi=4(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}...)

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.03

      저도 4보고 그 생각했는데 그걸로 정리가 안 되는 것 같네요 ㅠ

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.03

      그래도 기억은 해놔야겠어요. 되게 비슷한 꼴이네요

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  •  
    •  
      GUN.007 Lv.11 2020.06.02

      이거면 2, 4번은 설명이 어느정도 될 듯 합니다

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  •  
    B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

    근데 다들 문제 안 풀고 검색해서 답 찾아요 ㅋㅋㅋㅋㅋ

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    •  
      MathlabJ Lv.8 2020.06.02

      그러게요. 취지에서 벗어나는것 같은데..

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    •  
      GUN.007 Lv.11 2020.06.02

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  •  
    아인수타인 Lv.12 2020.06.02

    예전에 비슷한 내용을 책에서 본 것도 같은데(증명은 없었지만) 확실히 파이 나왔던 거 같아요.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      2번 파이는 맞지만, 이게 망해버린 게

      증명한다--> 너 이거 봤지

      증명 안 한다 --> 미해결

      이래저래 난감한 상황ㅋㅋㅋ 저는 증명 못 하겠지만 누군가 증명한다 해도 위키백과랑 비슷하면 이렇게 될 것 같아요

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.02

      증명을 다른 데서 봐도 그 증명을 완벽히 이해해서 자신의 말로 다시 풀어서 쓰면 해결 처리 되지 않나요? 예전에 그런 경우 있었던 것 같아요 ㅇㅅㅇ

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.02

      지금까지도 위키백과에서 찾은 정보가 도움이 되는 경우는 많았지만 이렇게 위키백과에 완전한 답이 있는 경우는 저는 처음 봅니다. 3,4번은 모르겠지만

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  •  
    리프 Lv.6 2020.06.02

    tmi) 이 문제의 썸네일은 외국 유명 수학 유튜브 채널인 blackpenredpen의 연분수 관련 영상 썸네일이다. (유튭에 bprp continued fraction 이라고 검색하면 나옵니다.)

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  •  
    sicma Lv.11 2020.06.03

    3번과 4번은 왠지 ln이 나올 것 같은데요... 아니면 e나...

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.03

      그러게요. 잘 변형하면 e^x의 테일러 전개 꼴로 만들 수 있을 것 같아요. e의 지수 x를 찾는 게 문제지만.. 저는 1/2 정도로 추측하고 있는데, 쉽지 않네요

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  •  
    파스칼 Lv.4 2020.06.06

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    •  
      파스칼 Lv.4 2020.06.06

      수식편집기가 잘 작동하지 않아서 스크린샷을 이용하여 올렸습니다.

      글씨가 잘 보이지 않을 수 있습니다.. 죄송합니다.

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    •  
      파스칼 Lv.4 2020.06.06

      실제로 마지막 식의 값을 계산해보면 대략 1.3455766569...<a_1<1.346153846153...이 나와서 이미 범위의 크기가 0.0005 정도뿐임을 알 수 있습니다. n을 조금씩만 늘려 계산해도 몇 자리가 더 정확해질 것입니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.07

      문제 학살 좀 멈춰주세요... 이러면 저희가 할 게 없어지잖아요 ㅋㅋㅋㅋ

      중2인데 묻힌 문제들이랑 최근 문제까지 혼자 다 해결하시다니 진짜 대단합니다 ㄷㄷ (ㄹㅇ 수돌이님급)

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    •  
      파스칼 Lv.4 2020.06.07

      아..

      잠깐만요.. 4번 문제를 1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+...}}}으로 봤네요

      이렇게 되면 처음부터 틀린 게 되네요..

      다시 해봐야겠어요

      (리프님 보시다시피 저 그렇게 잘하지 못해요ㅠㅠ )

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    •  
      닮은살걀 Lv.4 2020.06.07

      거짓말하지 마세욧! 잘하시잖아요 ㅋㅋㅋ 진짜 잘하신다

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  •  
    파스칼 Lv.4 2020.06.07

    수열  a_n을 생각하여a_1=1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+...}}}, a_2=1+\frac{1}{3+\frac{3}{4+\frac{4}{5+...}}},a_3=1+\frac{1}{4+\frac{4}{5+\frac{5}{6+...}}},...으로 정의하겠습니다.

    이제 함수수열 f_n(x)=1+\frac{1}{nx } 를 생각하고, f_n(c)= c인 양수근 c를 c_n으로 정의하겠습니다. 이때 c_n=\frac{1+\sqrt{1+\frac{4}{n}}}{2}이고, c_n은 n이 양의 정수일 때 단조감소수열이 됩니다. 또한 f_n(a_n)=a_{n-1}입니다.

    어떤 양수 \epsilon에 대해서도 충분히 큰 n이 존재하여 n<g인 모든 g에 대해 \left | a_g-1 \right |< \epsilon 이므로, \lim_{n \to \infty }a_n= 1입니다.

    모든 1보다 큰 양수 b에 대해 \frac{\sqrt{(b+1)^2+4(b+1)}+b-1}{2b}< \frac{1+\sqrt{1+\frac{4}{b-1}}}{2}이므로, \frac{1+\sqrt{1+\frac{4}{n+1}}}{2}\leq a_{n}\leq \frac{1+\sqrt{1+\frac{4}{n}}}{2}일 때 \frac{1+\sqrt{1+\frac{4}{n}}}{2}\leq a_{n-1}\leq \frac{\sqrt{(n+1)^2+4(n+1)}+n-1}{2n}< \frac{1+\sqrt{1+\frac{4}{n-1}}}{2}입니다.

    그러므로 귀납적으로, 모든 a_{n-1}에 대해 \frac{1+\sqrt{1+\frac{4}{n}}}{2}\leq a_{n-1}\leq \frac{\sqrt{(n+1)^2+4(n+1)}+n-1}{2}< \frac{1+\sqrt{1+\frac{4}{n-1}}}{2}입니다.

    이제 이것을 이용하여 a_1의 값의 범위를 구해보겠습니다.

    \frac{1+\sqrt{1+\frac{4}{n}}}{2}\leq a_{n-1}\leq \frac{\sqrt{(n+1)^2+4(n+1)}+n-1}{2}< \frac{1+\sqrt{1+\frac{4}{n-1}}}{2}에서 n에 2를 대입하면 \frac{1+\sqrt{3}}{2}\leq a_1\leq \frac{\sqrt{21}+1}{4}< \frac{1+\sqrt{5}}{2}이며,

    n에 3,4를 대입하여 f_2 , f_3을 거치면 \frac{5+4\sqrt{2}}{2+4\sqrt{2}}\leq a_1\leq \frac{27\sqrt{5}+43}{18\sqrt{5}+34}을 얻을 수 있습니다.

    n에 큰 수를 대입할수록 더 강한 조건을 얻을 수 있으므로 이것을 이용하여 a_1의 값을 구해볼 수도 있을 것 같습니다.

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    •  
      파스칼 Lv.4 2020.06.07

      4번 문제의 해가 존재할 수 있는 범위입니다(솔직히 이 방법으로 정확한 답을 구하기는 힘들 것 같습니다)

      상당수를 앞의 논리에서 복사해 왔습니다.

      이번경우에는 마지막 부등식이 대략 1.39180581244\leq 1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+...}}}\leq 1.3922547656으로 범위의 크기는 이번에도 약 0.0005입니다.

      한번 틀리고 나니 자신감이 떨어지네요.. 틀린점 있으면 말씀해주세요

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.07

      아직 풀이를 제대로 읽진 않았지만 일단 단순 계산으로 확인해본 결과 파스칼님이 구한 범위가 맞는 것 같네요.

      (연분수에서 분자에 3 있는 부분까지 계산해본 결과 32/23(=1.3913)이상, 53/38(=1.3948) 미만이 나오네요)

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  •  
    기하학 Lv.1 2020.06.07 비밀댓글
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    •  
      기하학 Lv.1 2020.06.07

      3번 풀이입니다 맞는지는 모르겠네여(비밀글 설정 전에 보신 분도 계실지는 모르겠지만..)

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.07

      비밀글 풀어주실 수 있나요.. 다른 분들이 풀이 검토해주실 수 있어요. 풀이에 오류가 있는 걸 발견한다면 고칠 수도 있죠.

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    •  
      기하학 Lv.1 2020.06.07

      비밀글 어떻게 푸는지 모르겠네요 ㅋㅋㅋㅋ 비밀글은 못 풀거 같아서 풀어놓은 풀이는 캡쳐본으로 올려놓겠습니다. 풀이 위쪽에 있는 링크는 위에 댓글에 있는 위키 링크입니다!

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.07

      감사합니다. 소문제들로 나눠진 문제는 '모든 문제를 비정상적으로 빨리 풀었다!'라는 경우를 제외하고는 비밀댓글로 하지 않으셔도 괜찮습니다.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.07

      1-\frac{1}{2-\frac{1}{3-\frac{1}{4-\frac{1}{5-\ddots}} }}를 구해주신 것 같습니다! 그런데 저희가 구해야 할 값은 이게 아니고 1-\frac{1}{2-\frac{1}{3-\frac{2}{4-\frac{3}{5-\ddots}} }}입니다.

      글씨가 작아서 잘 안 보이셨던 것 같네요ㅠㅠ

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    •  
      기하학 Lv.1 2020.06.07

      아 풀이를 작성하는 과정에서 귀차니즘이 발생해서 조금 많이 생략했네요 ㅜㅜ 설명 듣고 저도 헷갈렸습니다.. 식에 중간 과정을 이용해 추가 설명을 하자면 

      1+x - \frac{\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2} - \frac{\frac{x}{3}}{1+\frac{x}{3}-\cdots}} 이 식을 정리할 때,

       1+x - \frac{\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2} - \frac{\frac{x}{3}}{1+\frac{x}{3}-\cdots}} = 1+x - \frac{x}{2+x - \frac{\frac{2x}{3}}{1+\frac{x}{3}-\cdots}} = 1+x - \frac{x}{2+x - \frac{2x}{3+x-\cdots}}

      다음과 같은 과정을 통해 정리를 했습니다. 이 식에 x=1을 대입하여 계산한 풀이입니다.

      혹시 질문 있으시면 계속 질문해주세요! 틀린 점이 있을 수도 있으니까요

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.07

      맞는 것 같네요. ㄷㄷ 별다른 오류는 없는 것 같습니다.

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  •  
    B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.07

    지금까지 답 정리

    1. \sqrt 2

    2. \pi (위키백과)

    3. \frac{1}{e} (기하학) 

    4.  1.39180581244 \leq x \leq 1.3922547656 (파스칼)

     

    다른 분들 기하학님 풀이 검토 부탁드립니다. 저는 기하학님 풀이 맞는 것 같습니다.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.08

      4번 답을 예상하기 위해서 여러 가지 초월수를 계산해보고 있는데 범위 안에 있는 건 아직 못 찾았어요ㅠㅠ

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.08

      아마도 답은 1/(e-2) 일 가능성이 제일 높은 것 같네요. 좀 더 계산해보면 답을 확실하게 알 수 있을 것 같습니다.

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  •  
    B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.08
    확인요청중

    2번입니다.

    \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-....라는 급수로 나타낼 수 있는데, x=1을 대입하면

    \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-...이다

    즉 \pi=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}이므로  \prod_{k=0}^{n}a_k=\frac{(-1)^n}{2n+1}인 a_n을 찾으면 됩니다.

    a_0=1, a_n=\frac{1-2n}{2n+1} \ \ \ (n>0)이 나오고, 이 수열을 

     

     

    \sum_{n=0}^{\infty}\prod_{k=0}^{n}a_k=\frac{a_0}{a-\frac{a_1}{1+a_1-\frac{a_2}{1+a_2-\frac{\ddots}{\ddots}}}}에 대입하면 됩니다.

     

    \frac{\pi}{4}=\frac{1}{1+\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}+\frac{\frac{3}{5}}{1-\frac{3}{5}+\frac{\ddots}{\ddots}}}}가 나오고, 정리해주면

     

    \frac{\pi}{4}=\frac{1}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{\ddots}{\ddots}}}}가 되기 때문에

     

    \pi=\frac{4}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{\ddots}{\ddots}}}}가 됩니다.

     

    나무위키에서 파이 계산법 찾아보다가 이걸 발견해서 적용해봤더니 바로 되더라구요ㅋㅋㅋ 기하학님 풀이에서 영감을 받았습니다.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.08

      이해 안 되는 부분이 있다면 질문해주세요

      참고로 위키백과와는 다른 풀이입니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.08

      와우 대단하십니다 ㄷㄷ

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.08

      감사합니다 sicma님이 arctan 전개식 안 알려주셨으면 못 풀었을 수도....

       

      이번 문제는 정말 서로가 도움을 굉장히 많이 주고받았던 것 같네요...

      모든 댓글이 다 얽혀있어요

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.09

      오타가 있네요. \sum_{n=0}^{\infty}\prod_{k=0}^{n}a_k=\frac{a_0}{a-\frac{a_1}{1+a_1-\frac{a_2}{1+a_2-\frac{\ddots}{\ddots}}}}에서 a(아래첨자 없는 거) 가 아니라 1입니다.

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  •  
    B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.08

    저랑 님이 사용한 보조정리 증명입니다.

    \sum_{n=0}^{\infty}\prod_{k=0}^{n}a_n=\frac{a_0}{1-\frac{a_1}{1+a_1-\frac{a_2}{1+a_2-\ddots}}}

     

    수학적 귀납법으로 증명할 수 있습니다.

     

    여기서 동그라미 친 부분을 정리하면

     

    가 되어서, 모든 자연수 n에 대해서 저 식이 성립하게 됩니다. 이걸 n을 무한대로 보내주면 저희가 사용한 식이 되는 겁니다.

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  •  
    기하학 Lv.1 2020.06.08
    확인요청중

    리프님 수고하셨습니다 4번 풀이 작성하겠습니다 답은 윗 댓글에 리프님이 예측하셨던 답인 \frac{1}{e-2} 로 나왔습니다

    위에서 제가 작성한 3번 풀이를 참고하여 e^{x} = \frac{1}{1-\frac{x}{1+x-\frac{x}{2+x-\frac{2x}{3+x-\frac{\ddots}{\ddots}}}}} 식을 이용하도록 하겠습니다. 이 식에 x=-1 을 대입하여 식을 정리하면 

    e^{-1} = \frac{1}{1-\frac{-1}{1+(-1)-\frac{-1}{2+(-1)-\frac{-2}{3+(-1)-\frac{\ddots}{\ddots}}}}} = \frac{1}{1+\frac{1}{\frac{1}{1+\frac{2}{2-\frac{\ddots}{\ddots}}}}} = \frac{1}{2+\frac{2}{2+\frac{3}{3+\frac{4}{4+\frac{\ddots}{\ddots}}}}} 다음과 같이 식이 정리가 됩니다.

    따라서 e=2+\frac{2}{2+\frac{3}{3+\frac{4}{4+\frac{\ddots}{\ddots}}}} 입니다. 이 식을 통해 계산을 하면

    \frac{1}{e-2}=\frac{2+\frac{3}{3+\frac{4}{4+\frac{\ddots}{\ddots}}}}{2}=1+\frac{\frac{3}{2}}{3+\frac{4}{4+\frac{\ddots}{\ddots}}}=1+\frac{1}{2+\frac{\frac{8}{3}}{4+\frac{\ddots}{\ddots}}} 이런 식으로 계산할 수 있고, 계속해서 계산하면 

    1+\frac{1}{2+\frac{\frac{8}{3}}{4+\frac{5}{5+\frac{6}{6+\frac{\ddots}{\ddots}}}}} = 1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{\frac{15}{4}}{5+\frac{6}{6+\frac{\ddots}{\ddots}}}}} = 1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+\frac{\frac{24}{5}}{6+\frac{\ddots}{\ddots}}}}} = \cdots = 1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+\frac{4}{5+\frac{\ddots}{\ddots}}}}} 으로 바뀌게 되어 4번 문제의 답은 \frac{1}{e-2} 가 됩니다.

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    •  
      기하학 Lv.1 2020.06.08

      보조정리 증명해주신 수학장 님도 수고하셨습니다~! 

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.08

      ㄲㅂ.. 똑같이 풀고 있었는데 ㅋㅋㅋ 수고하셨습니다. 제가 보조정리 증명과 함께 2번 풀었으니 이것도 다 풀린 것 같네요

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.08

      ㄷㄷ 4번까지 다 풀렸네요 기하학님이랑 수학장님 파스칼님 모두 대단하십니다... (이번 문제는 제가 한 게 없네요 ㅠ 7월 문제는 반드시 제가 풀겠습니다 ㅋㅋㅋㅋㅋ)

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    •  
      신희성 교수 Lv.3 2020.06.10

      4번 풀이에서 무한번 약분(?)하는 과정을 "이런 식으로 계속(?) 계산할 수 있고"라고 설명하고 넘어가는데, 좀 더 엄밀하게 증명되어야 하는 부분이 있습니다. 마치 위의 글타래의 보조정리에서 수학적 귀납법을 사용하여 증명하듯이 말이죠.

      다음에 적는 식은 잘못된 풀이입니다만, 이해를 위해서 예를 들어보는 겁니다.

      2 = 1+ \frac{1}{1}

      = 1+ \frac{1}{2 + \frac{1}{-1}}

      = 1+ \frac{1}{2 + \frac{1}{2+ \frac{1}{-1/3}}}

      = 1+ \frac{1}{2 + \frac{1}{2+ \frac{1}{2+ \frac{1}{-3/7}}}}

      = 1+ \frac{1}{2 + \frac{1}{2+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2+ \frac{1}{-7/17}}}}}

      = 1+ \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\ddots}}}}}

      다들 알다시피 이건 답이 2가 아니죠?

      비단 기하학님의 푼 4번 뿐만 아니라, 나머지 문제의 풀이도 이런 엄밀성에서 의문을 가질 수 있지 않을까 생각이 됩니다. 무한을 다룰 때 어디까지 생각을 해서 기술해야 완벽한 증명인지에 대해서 생각해 보면 좋을 것 같습니다.

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    •  
      기하학 Lv.1 2020.06.11

      호오... 그 부분에서 엄밀성이 떨어지는군요 오늘 해보고 되면 풀이를 다시 올려보도록 하겠습니다

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.11

      아하.. 그런 부분에서 문제가 생길 수 있네요. 2번 풀이도 수정해서 올릴게요

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.11

      제 생각에 약분하는 과정은 n번째 분모와 분자에 어떤 값을 곱하는지를 n에 대한 식으로 표현해서 보이면 충분할 것 같네요.

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.06.25

      교수님께서 말씀하신 것처럼 보완을 부탁합니다~!^^

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  •  
    B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.08

    자 마지막으로 정리합니다

    1. \sqrt{2}(GUN.007)

    2. \pi(수학장)

    3. \frac{1}{e}(기하학)

    4. \frac{1}{e-2}(기하학)

     

    파스칼님이 근삿값을 구해주지 않으셨다면 4번은 풀리지 않았을 거라고 생각합니다. 모두가 노력해주셔서 다 풀린 것 같습니다. 지금까지 풀이 중에 논리의 비약이나 오류가 있을 수 있으니 다들 검토 바랍니다.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.08

      제가 사용한 \pi=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+....

      기하학님이 사용한 e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+....

       

      각각 arctan(x)와 e^x의 테일러 급수를 사용한 것입니다.

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  •  
    리프 Lv.6 2020.06.08

    와 1주일만에 대한수학회랑 슬수(사실 3번은 미해결이지만) 다 풀렸네요 ㄷㄷ 지금까지 이런 경우가 있었나요 ㅋㅋ

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.08

      글고 이번 문제는 '수렴과 발산', '연속함수의 근사' 문제처럼 여러 명이 의견을 공유해서 다 같이 해결한 것 같네요 ㅋㅋ

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  •  
    B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.09

    문제가 빨리 풀려서 아쉬우신 분들을 위한 자작 추가문제

    문제 5

    \frac{6}{0^2+1^2-\frac{1^4}{1^2+2^2-\frac{2^4}{2^2+3^2-\frac{3^4}{3^2+4^2-\ddots}}}}

     

     

    문제 6

    1-\frac{1}{3-\frac{2}{5-\frac{4}{7-\frac{6}{9-\frac{8}{\ddots}}}}}

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    •  
      GUN.007 Lv.11 2020.06.09

      역시 도전적이시군요...

      저는 엄마가 끄라고 난리여서 다음에 보죠..

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.09

      제가 만든 문제다 보니 당연히 저는 답을 알고 있습니다. 문제를 푸시면 맞는지 알려드리겠습니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.09

      저의 엄청난(?) 직관에 의하면 5번은 바젤식에 의해 pi^2이 되고 6번은 1/e일 것 같네요

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.09

      5번은 맞네요 좀 이따 풀이 올립니다

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.09

      6번은 1/e는 아닐 것 같네요 ㅇㅅㅇ 적당히 a_n 을 정의해보려 하는데 어렵네요 ㅋㅋ

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    •  
      기하학 Lv.1 2020.06.10

      시험기간이라 해보고 싶은데 나중에 하도록 해보겠숩니다 

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    •  
      기하학 Lv.1 2020.06.10

      수학장님 혹시 6번 문제 답이 e^{-\frac{1}{2}} 인가요? 암산이라 맞는지는 잘 모르겠네요 ㅇㅅㅇ 맞으면 시험 끝나고 풀이 올리도록 하겠숩니다.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.10

      아니 저게 암산으로 된다고요;; 답 찾기 어려울 줄 알았는데

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.10

      아마도 기하학님은 이런 방식으로 답을 구한게 아닐까 추측해봅니다.

      1. 뭔가 파이랑은 관련 없을 것 같음

      2. 그래서 답을 e^x 형태로 추정함

      3. 위에서 증명한 e^x 연분수 전개식을 이용

      4. x=1/2 넣으면 상수 부분이 전부 홀수/2가 돼서 뭔가 답이랑 비슷해보임

      5. x=1/2 넣고 대충 계산해보니까 맞는 것 같음 근데 역수 취해야 해서 답은 아마도 e^(-1/2)

       

      (사실 제가 답 구한 방식)

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.10

      5번 풀이

      \sum_{k=1}^{\infty}\frac {1}{k^2}= \frac{\pi^2}{6}임을 이용하자.

      a_0=1,\: a_{n}=\frac{n^2}{(n+1)^2}\: (n\geq 1)인 수열 a_n을 정의하면 오일러의 연분수 공식에 의해

      \frac{\pi^2}{6}=\sum _{k=0}^{\infty}\prod _{k=0}^{n}a_k=\frac{1}{1-\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}-\frac{\frac{4}{9}}{\ddots }}}\\=\frac{1}{0^2+1^2-\frac{1^4}{1^2+2^2-\frac{2^4}{\ddots }}}\\이 되어 문제의 식은 pi^2이 됨을 알 수 있다.

       

      6번 풀이

      기하학님이 증명하셨던 e^x의 연분수 전개식을 이용하겠습니다.

      e^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{1-\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{2+\frac{1}{2}-\frac{\frac{2}{2}}{3+\frac{1}{2}-\ddots}}}}\\=\frac{1}{1-\frac{1}{3-\frac{\frac{2}{2}}{2+\frac{1}{2}-\frac{\frac{2}{2}}{3+\frac{1}{2}-\ddots}}}}\\=\frac{1}{1-\frac{1}{3-\frac{2}{5-\frac{\frac{4}{2}}{3+\frac{1}{2}-\ddots}}}}\\=\frac{1}{1-\frac{1}{3-\frac{2}{5-\frac{4}{7-\ddots}}}}가 되어 문제의 식은 e^(1/2)의 역수, 즉 e^(-1/2)임을 알 수 있다.

       

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    •  
      기하학 Lv.1 2020.06.10

      아 문제보고 a_n 찾다가 대충 a_n = \frac{x}{2n} 의 형태로 생긴거 같아서 e^{\frac{x}{2}} 전개식 이용하면 될 것 같았습니다  리프님 수고하셨습니당

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  •  
    리프 Lv.6 2020.06.10

    저도 문제 하나 만들어봤습니다

     

    문제 7

    \frac{1}{1+\frac{1}{5+\frac{6}{19+\frac{20}{41+\frac{42}{\ddots }}}}}

    만약 너무 안 풀리면 힌트 드리겠습니다.

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    •  
      기하학 Lv.1 2020.06.11

      답이 sinh(1) 인가요.. 이것도 암산이라 잘은 모르겠네여

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    •  
      GUN.007 Lv.11 2020.06.11

      그런게 암산이 되나요...?!

      ㄷㄷ

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.11

      sinh 는 아니고 다른 함수에 1 대입한거에요

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.06.11

      sin(1)인 것 같네요

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.11

      sin 1 맞습니다 ㅇㅅㅇ 글고 sinh1은 아마도 5 19 41... 이 7 21 43 ... 으로 바뀌고 모든 +가 -로 바뀌면 될 것 같네요 (저도 암산이라 확실하진 않습니다)

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    •  
      기하학 Lv.1 2020.06.11

      앗 형태가 비슷해서 헷갈렸네요 

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  •  
    문제은행 Lv.3 2020.06.19

    근데 문제출제는 어떻게하나요?

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  •  
    파스칼 Lv.4 2020.06.20
    확인요청중

    lemma) a_n이 a에 수렴하고, b_n이 b에 수렴할 때, a_nb_n은 ab에 수렴한다.

    1)\frac{(n+1)(n-1)}{n}은 n-1에 수렴한다.

    2)s_n=n+\frac{n}{n+1+\frac{n+1}{n+2+\frac{n+2}{n+3+\frac{n+3}{n+4+...}}}}, t_n=n+\frac{n+1}{n+1+\frac{n+2}{n+2+\frac{n+3}{n+3+\frac{n+4}{n+4+...}}}}라고 했을 때, \frac{s_n}{s_{n+1}}이 1에 수렴하므로 \frac{s_n}{s_{n+2}}도 1에 수렴한다. 그런데 0<\frac{n}{n+1+\frac{n+1}{n+2+\frac{n+2}{n+3+\frac{n+3}{n+4+...}}}}<1이고 0<\frac{n+1}{n+1+\frac{n+2}{n+2+\frac{n+3}{n+3+\frac{n+4}{n+4+...}}}}<1임에서,s_n=n+\frac{n}{n+1+\frac{n+1}{n+2+\frac{n+2}{n+3+\frac{n+3}{n+4+...}}}}<n+1<t_{n+1}=n+1+\frac{n+2}{n+2+\frac{n+3}{n+3+\frac{n+4}{n+4+...}}}<n+2<n+2+\frac{n+2}{n+3+\frac{n+3}{n+4+\frac{n+4}{n+5+\frac{n+5}{n+6+...}}}}=s_{n+2}이므로 \frac{s_{n}}{t_{n+1}}도 1에 수렴한다.

    위의 1), 2)에서 lemma를 적용하면, n이 무한히 커질 때 \frac{\frac{(n+1)(n-1)}{n}}{n+1+\frac{n+2}{n+2+\frac{n+3}{n+3+\frac{n+4}{n+4+...}}}}, 즉\frac{\frac{(n+1)(n-1)}{n}} {t_{n+1}}\frac{n-1}{s_n}, 즉 \frac{n-1}{n+\frac{n}{n+1+\frac{n+1}{n+2+\frac{n+2}{n+3+\frac{n+3}{n+4+...}}}}}에 수렴합니다.

    그런데 \frac{\frac{(n+1)(n-1)}{n}}{n+1+\frac{n+2}{n+2+\frac{n+3}{n+3+\frac{n+4}{n+4+...}}}}=\frac{n-1}{n+\frac{\frac{n(n+2)}{n+1}}{n+2\frac{n+3}{n+3+\frac{n+4}{n+4+...}}}}이므로, 1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+\frac{4}{5+...}}}}=\frac{2+\frac{3}{3+\frac{4}{4+\frac{5}{5+\frac{6}{6+...}}}}}{2}입니다.

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    •  
      파스칼 Lv.4 2020.06.20

      4번 풀이의 증명을 해 봤습니다

      엄밀성이 약간 떨어지는 것 같기도 하네요...

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    •  
      최산 Lv.4 2020.06.21

      파스칼님 수식...

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    •  
      파스칼 Lv.4 2020.06.21

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  •  
    작동이 Lv.4 2020.07.04 비밀댓글
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  • 폴리매스 문제는 2019년도 정부의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물입니다.

  • ☎문의 02-6749-3911