건님이랑 답은 똑같네요

그러게요 오랜만에 이해가 잘 되는 문제네요((본인한정

하지만 전 연분수 잘 못하는ㄷ..

ㅇㅈ합니다.

저런 형태의 연분수 계산은 저도 첨 봐요 ;; 난이도 겁나 높을듯

첨 봤을 때 슬수생인 줄 알았어요 ㅋㅋ

그래 보이지는 않아요

그냥 1이 하나 더 만들어진 것일 뿐이지..

1,2,3,4,5....그렇게 될 듯 하네요

1,1,2,3,4,5,6,7,8,.... 이렇게 되는 겁니다.

피보나치 수열은 아닌 듯 합니다

피보나치 수열: 1,1,2,3,5,8,13,21....

                    =n-a,n,2n-a,3n-a, 형태로 풀 수 있을 듯 합니다.

아 착각했네요 2번만 답을 발견했습니다 ㅋㅋ (근데 증명이 제가 할 수준이 아니네요 ㅠ)

저는 1분만에 썼는데....

그러케 오래.....?

원래 오래 걸리죠..근데 닉네임이 센스 있으시네요 ㅋㅋㅋ

이거 좋은데요...? 앞으로 푸는데 엄청난 도움이 될 것 같네요

그럼.....

근데 경우가 좀 특수하긴 하네요... 저렇게 고치기만 하면 쉬울 텐데 고치는 게 쉽지 않을 듯.. 

이거 힌트인줄 알고 들어갔더니 답이 다 있어요.ㅠㅠ

그러게요..증명이...

arctan 전개식 이용하면 풀릴것 깉은 느낌??

저도 4보고 그 생각했는데 그걸로 정리가 안 되는 것 같네요 ㅠ

그래도 기억은 해놔야겠어요. 되게 비슷한 꼴이네요

이거면 2, 4번은 설명이 어느정도 될 듯 합니다

그러게요. 취지에서 벗어나는것 같은데..

2번 파이는 맞지만, 이게 망해버린 게

증명한다--> 너 이거 봤지

증명 안 한다 --> 미해결

이래저래 난감한 상황ㅋㅋㅋ 저는 증명 못 하겠지만 누군가 증명한다 해도 위키백과랑 비슷하면 이렇게 될 것 같아요

증명을 다른 데서 봐도 그 증명을 완벽히 이해해서 자신의 말로 다시 풀어서 쓰면 해결 처리 되지 않나요? 예전에 그런 경우 있었던 것 같아요 ㅇㅅㅇ

지금까지도 위키백과에서 찾은 정보가 도움이 되는 경우는 많았지만 이렇게 위키백과에 완전한 답이 있는 경우는 저는 처음 봅니다. 3,4번은 모르겠지만

그러게요. 잘 변형하면 의 테일러 전개 꼴로 만들 수 있을 것 같아요. e의 지수 x를 찾는 게 문제지만.. 저는 1/2 정도로 추측하고 있는데, 쉽지 않네요

수식편집기가 잘 작동하지 않아서 스크린샷을 이용하여 올렸습니다.

글씨가 잘 보이지 않을 수 있습니다.. 죄송합니다.

실제로 마지막 식의 값을 계산해보면 대략 1.3455766569...<a_1<1.346153846153...이 나와서 이미 범위의 크기가 0.0005 정도뿐임을 알 수 있습니다. n을 조금씩만 늘려 계산해도 몇 자리가 더 정확해질 것입니다.

문제 학살 좀 멈춰주세요... 이러면 저희가 할 게 없어지잖아요 ㅋㅋㅋㅋ

중2인데 묻힌 문제들이랑 최근 문제까지 혼자 다 해결하시다니 진짜 대단합니다 ㄷㄷ (ㄹㅇ 수돌이님급)

아..

잠깐만요.. 4번 문제를 으로 봤네요

이렇게 되면 처음부터 틀린 게 되네요..

다시 해봐야겠어요

(리프님 보시다시피 저 그렇게 잘하지 못해요ㅠㅠ )

거짓말하지 마세욧! 잘하시잖아요 ㅋㅋㅋ 진짜 잘하신다

4번 문제의 해가 존재할 수 있는 범위입니다(솔직히 이 방법으로 정확한 답을 구하기는 힘들 것 같습니다)

상당수를 앞의 논리에서 복사해 왔습니다.

이번경우에는 마지막 부등식이 대략 으로 범위의 크기는 이번에도 약 0.0005입니다.

한번 틀리고 나니 자신감이 떨어지네요.. 틀린점 있으면 말씀해주세요

아직 풀이를 제대로 읽진 않았지만 일단 단순 계산으로 확인해본 결과 파스칼님이 구한 범위가 맞는 것 같네요.

(연분수에서 분자에 3 있는 부분까지 계산해본 결과 32/23(=1.3913)이상, 53/38(=1.3948) 미만이 나오네요)

3번 풀이입니다 맞는지는 모르겠네여(비밀글 설정 전에 보신 분도 계실지는 모르겠지만..)

비밀글 풀어주실 수 있나요.. 다른 분들이 풀이 검토해주실 수 있어요. 풀이에 오류가 있는 걸 발견한다면 고칠 수도 있죠.

비밀글 어떻게 푸는지 모르겠네요 ㅋㅋㅋㅋ 비밀글은 못 풀거 같아서 풀어놓은 풀이는 캡쳐본으로 올려놓겠습니다. 풀이 위쪽에 있는 링크는 위에 댓글에 있는 위키 링크입니다!

감사합니다. 소문제들로 나눠진 문제는 '모든 문제를 비정상적으로 빨리 풀었다!'라는 경우를 제외하고는 비밀댓글로 하지 않으셔도 괜찮습니다.

를 구해주신 것 같습니다! 그런데 저희가 구해야 할 값은 이게 아니고 입니다.

글씨가 작아서 잘 안 보이셨던 것 같네요ㅠㅠ

아 풀이를 작성하는 과정에서 귀차니즘이 발생해서 조금 많이 생략했네요 ㅜㅜ 설명 듣고 저도 헷갈렸습니다.. 식에 중간 과정을 이용해 추가 설명을 하자면 

 이 식을 정리할 때,

다음과 같은 과정을 통해 정리를 했습니다. 이 식에 을 대입하여 계산한 풀이입니다.

혹시 질문 있으시면 계속 질문해주세요! 틀린 점이 있을 수도 있으니까요

맞는 것 같네요. ㄷㄷ 별다른 오류는 없는 것 같습니다.

4번 답을 예상하기 위해서 여러 가지 초월수를 계산해보고 있는데 범위 안에 있는 건 아직 못 찾았어요ㅠㅠ

아마도 답은 1/(e-2) 일 가능성이 제일 높은 것 같네요. 좀 더 계산해보면 답을 확실하게 알 수 있을 것 같습니다.

이해 안 되는 부분이 있다면 질문해주세요

참고로 위키백과와는 다른 풀이입니다.

와우 대단하십니다 ㄷㄷ

감사합니다 sicma님이 arctan 전개식 안 알려주셨으면 못 풀었을 수도....

이번 문제는 정말 서로가 도움을 굉장히 많이 주고받았던 것 같네요...

모든 댓글이 다 얽혀있어요

오타가 있네요. 에서 a(아래첨자 없는 거) 가 아니라 1입니다.

 가 되는 거 아닌가요?

보조정리 증명해주신 수학장 님도 수고하셨습니다~! 

ㄲㅂ.. 똑같이 풀고 있었는데 ㅋㅋㅋ 수고하셨습니다. 제가 보조정리 증명과 함께 2번 풀었으니 이것도 다 풀린 것 같네요

ㄷㄷ 4번까지 다 풀렸네요 기하학님이랑 수학장님 파스칼님 모두 대단하십니다... (이번 문제는 제가 한 게 없네요 ㅠ 7월 문제는 반드시 제가 풀겠습니다 ㅋㅋㅋㅋㅋ)

4번 풀이에서 무한번 약분(?)하는 과정을 "이런 식으로 계속(?) 계산할 수 있고"라고 설명하고 넘어가는데, 좀 더 엄밀하게 증명되어야 하는 부분이 있습니다. 마치 위의 글타래의 보조정리에서 수학적 귀납법을 사용하여 증명하듯이 말이죠.

다음에 적는 식은 잘못된 풀이입니다만, 이해를 위해서 예를 들어보는 겁니다.

다들 알다시피 이건 답이 2가 아니죠?

비단 기하학님의 푼 4번 뿐만 아니라, 나머지 문제의 풀이도 이런 엄밀성에서 의문을 가질 수 있지 않을까 생각이 됩니다. 무한을 다룰 때 어디까지 생각을 해서 기술해야 완벽한 증명인지에 대해서 생각해 보면 좋을 것 같습니다.

호오... 그 부분에서 엄밀성이 떨어지는군요 오늘 해보고 되면 풀이를 다시 올려보도록 하겠습니다

아하.. 그런 부분에서 문제가 생길 수 있네요. 2번 풀이도 수정해서 올릴게요

제 생각에 약분하는 과정은 n번째 분모와 분자에 어떤 값을 곱하는지를 n에 대한 식으로 표현해서 보이면 충분할 것 같네요.

교수님께서 말씀하신 것처럼 보완을 부탁합니다~!^^

제가 사용한 

기하학님이 사용한 는

각각 arctan(x)와 e^x의 테일러 급수를 사용한 것입니다.

글고 이번 문제는 '수렴과 발산', '연속함수의 근사' 문제처럼 여러 명이 의견을 공유해서 다 같이 해결한 것 같네요 ㅋㅋ

역시 도전적이시군요...

저는 엄마가 끄라고 난리여서 다음에 보죠..

제가 만든 문제다 보니 당연히 저는 답을 알고 있습니다. 문제를 푸시면 맞는지 알려드리겠습니다.

저의 엄청난(?) 직관에 의하면 5번은 바젤식에 의해 pi^2이 되고 6번은 1/e일 것 같네요

5번은 맞네요 좀 이따 풀이 올립니다

6번은 1/e는 아닐 것 같네요 ㅇㅅㅇ 적당히 a_n 을 정의해보려 하는데 어렵네요 ㅋㅋ

시험기간이라 해보고 싶은데 나중에 하도록 해보겠숩니다 

수학장님 혹시 6번 문제 답이  인가요? 암산이라 맞는지는 잘 모르겠네요 ㅇㅅㅇ 맞으면 시험 끝나고 풀이 올리도록 하겠숩니다.

아니 저게 암산으로 된다고요;; 답 찾기 어려울 줄 알았는데

아마도 기하학님은 이런 방식으로 답을 구한게 아닐까 추측해봅니다.

1. 뭔가 파이랑은 관련 없을 것 같음

2. 그래서 답을 e^x 형태로 추정함

3. 위에서 증명한 e^x 연분수 전개식을 이용

4. x=1/2 넣으면 상수 부분이 전부 홀수/2가 돼서 뭔가 답이랑 비슷해보임

5. x=1/2 넣고 대충 계산해보니까 맞는 것 같음 근데 역수 취해야 해서 답은 아마도 e^(-1/2)

(사실 제가 답 구한 방식)

5번 풀이

임을 이용하자.

인 수열 a_n을 정의하면 오일러의 연분수 공식에 의해

이 되어 문제의 식은 pi^2이 됨을 알 수 있다.

6번 풀이

기하학님이 증명하셨던 e^x의 연분수 전개식을 이용하겠습니다.

가 되어 문제의 식은 e^(1/2)의 역수, 즉 e^(-1/2)임을 알 수 있다.

아 문제보고  찾다가 대충  의 형태로 생긴거 같아서  전개식 이용하면 될 것 같았습니다  리프님 수고하셨습니당

답이 sinh(1) 인가요.. 이것도 암산이라 잘은 모르겠네여

그런게 암산이 되나요...?!

ㄷㄷ

sinh 는 아니고 다른 함수에 1 대입한거에요

sin(1)인 것 같네요

sin 1 맞습니다 ㅇㅅㅇ 글고 sinh1은 아마도 5 19 41... 이 7 21 43 ... 으로 바뀌고 모든 +가 -로 바뀌면 될 것 같네요 (저도 암산이라 확실하진 않습니다)

앗 형태가 비슷해서 헷갈렸네요 

대한수학회 소속 교수님들께서 내주신답니다~!

참고로 슬기로운 수학 생활은 미시간대학교 수학과 박사과정에 재학 중인 백진언 학생이 출제하고 있어요!

4번 풀이의 증명을 해 봤습니다

엄밀성이 약간 떨어지는 것 같기도 하네요...

파스칼님 수식...

검토가 늦어서 미안합니다. 김다인 멘토의 피드백은 다음과 같아요.

식=x라고 놓을 수 있다는 것부터가 사실은 자명하지 않아요~ 예를 들면 1+1+1+1+…=x라고 놓았을 때, x=1+(1+1+1+…)=1+x라고 계산한다면 어딘가 잘못된거겠죠?

안녕하세요! 김다인 멘토가 검토한 결과 다음과 같은 피드백을 보냈습니다.

오일러 공식을 어떻게 이용하신 것인지 명확하지가 않습니다ㅠㅠ
 

안녕하세요. 김다인 멘토의 답변 전해드려요!

수학동아읽자 친구의 풀이에 달린 코멘트를 참고해주세요! 식=x라고 놓을 수 있는 부분이 자명하지 않아요~
 

1번 문제의 답안입니다.

저 점화식은 이라 놓으면 선형점화식(Linear recurrence)의 이론을 이용하여 쉽게 일반항을 구할 수 있습니다.

안녕하세요. 김다인 멘토의 피드백입니다~.

선형점화식 이론을 어떻게 적용했는지 좀 더 서술해주세요!
 

안녕하세요!^^

김다인 멘토가 추가로 피드백을 보내와서 댓글을 남깁니다.

김다인 멘토 : 사실 거의 완성된 풀이라서 이 점화식을 어떻게 구했는지 서술하기 어렵다면 점화식에 대입해서 이 점화식이 맞다는 사실만이라도 서술해주면 좋겠어요! 이 문제에서 올라온 답안 중 제일 풀이에 근접한 답안이어서 다시 피드백 드립니다!

 

이라 두면 이고 임을 확인할 수 있다. 이때 을 정의하는 선형점화식의 특성방정식(characteristic equation)이 이고 그 근이 이므로 은  꼴임을 알 수 있다. 이제  에서부터 를 얻으므로 , 즉 을 얻는다.

김다인 멘토가 검토한 결과 4번 소문제를 잘 풀었다고 합니다~!^^

김다인 멘토님께 정답 확인 요청드렸습니다!

조금만 기다려주세요!

파스칼 학생!

2, 3번 모두 정답입니다~.

수고했어요!

1.를 X라 놓습니다, 1/(x+1)는: 가 됩니다. 여기서 수학동아읽자님의 댓글에 달린 대댓글의 1+(1+1+1+1+1+1+...)과 다른것은 그것은 발산하고 이것은 수렴한다는 점 입니다. 여기서 사실상 1/(원래의 식+1)으로 바꿔서 달라진 것은 식의 맨~끝에 2와 1이 하나가 더 생겼다는 점입니다. 여기에 있는 새로 생긴 식은 오일러 공식으로 보면 0.0000000000000000...0000000005가 늘게 되는 것인데, 무한번째 자리에 있으므로 결국엔 느는 값은 0이 됩니다. 그러면 식을 정리하면 1/(X+1)=X-1이 되고, 1=X^2-1, 2=X^2, X=루트2가 됩니다.

? 식 완전 다른데요

@scubed

그러게요. 제가 쓰고 나서 알았는데 정답요청때매 삭제도 못해요.