다음 무한 연분수의 값을 구하고 증명하여라.
문제 1
문제 2
문제 3
문제 4
제가 어려운 것 못해서..흠흠...
문제 1번
이 됩니다.
이때, 루트2+1의 정수부분은 2, 소수부분은 루트2-1이 됩니다.
그래서 루트 2의 무한연분수는
로 루트2인 듯 합니다
문제 1번
주어진 식을 x라고 하면
x=1+1/(1+x) 로 표현할 수 있습니다.
이때 x가 양수인것은 자명하므로 1+x의 값이 0이 아니죠. 그러니 양변에 1+x를 곱해보면
x2+x=x+1+1, 정리하면 x2=2가 됩니다.
x는 양수이므로 x는 루트2가 됩니다.
저도 1번은 위 두 분이랑 똑같이 나왔습니다. (MathlabJ님의 풀이와 같습니다)
나머지는 좀 이따 도전해볼께요.
근데 문제3번 분자들이 1, 1, 2, 3 ... 이면 피보나치 수열인가요? 아니면 1 1 2 3 4 5 ... 가 되나요?
문제형식은 간단했지만.. 이게 이렇게 어려울줄은 몰랐어요.. 제 능력으론 1번이 한계....((퍽
tmi) 이 문제의 썸네일은 외국 유명 수학 유튜브 채널인 blackpenredpen의 연분수 관련 영상 썸네일이다. (유튭에 bprp continued fraction 이라고 검색하면 나옵니다.)
수식편집기가 잘 작동하지 않아서 스크린샷을 이용하여 올렸습니다.
글씨가 잘 보이지 않을 수 있습니다.. 죄송합니다.
실제로 마지막 식의 값을 계산해보면 대략 1.3455766569...<a_1<1.346153846153...이 나와서 이미 범위의 크기가 0.0005 정도뿐임을 알 수 있습니다. n을 조금씩만 늘려 계산해도 몇 자리가 더 정확해질 것입니다.
문제 학살 좀 멈춰주세요... 이러면 저희가 할 게 없어지잖아요 ㅋㅋㅋㅋ
중2인데 묻힌 문제들이랑 최근 문제까지 혼자 다 해결하시다니 진짜 대단합니다 ㄷㄷ (ㄹㅇ 수돌이님급)
아..
잠깐만요.. 4번 문제를 으로 봤네요
이렇게 되면 처음부터 틀린 게 되네요..
다시 해봐야겠어요
(리프님 보시다시피 저 그렇게 잘하지 못해요ㅠㅠ )
거짓말하지 마세욧! 잘하시잖아요 ㅋㅋㅋ 진짜 잘하신다
수열 을 생각하여
,
,
,...으로 정의하겠습니다.
이제 함수수열 를 생각하고,
인 양수근 c를
으로 정의하겠습니다. 이때
이고,
은 n이 양의 정수일 때 단조감소수열이 됩니다. 또한
입니다.
어떤 양수 에 대해서도 충분히 큰 n이 존재하여 n<g인 모든 g에 대해
이므로,
입니다.
모든 1보다 큰 양수 b에 대해 이므로,
일 때
입니다.
그러므로 귀납적으로, 모든 에 대해
입니다.
이제 이것을 이용하여 의 값의 범위를 구해보겠습니다.
에서 n에 2를 대입하면
이며,
n에 3,4를 대입하여 을 거치면
을 얻을 수 있습니다.
n에 큰 수를 대입할수록 더 강한 조건을 얻을 수 있으므로 이것을 이용하여 의 값을 구해볼 수도 있을 것 같습니다.
4번 문제의 해가 존재할 수 있는 범위입니다(솔직히 이 방법으로 정확한 답을 구하기는 힘들 것 같습니다)
상당수를 앞의 논리에서 복사해 왔습니다.
이번경우에는 마지막 부등식이 대략 으로 범위의 크기는 이번에도 약 0.0005입니다.
한번 틀리고 나니 자신감이 떨어지네요.. 틀린점 있으면 말씀해주세요
아직 풀이를 제대로 읽진 않았지만 일단 단순 계산으로 확인해본 결과 파스칼님이 구한 범위가 맞는 것 같네요.
(연분수에서 분자에 3 있는 부분까지 계산해본 결과 32/23(=1.3913)이상, 53/38(=1.3948) 미만이 나오네요)
3번 풀이입니다 맞는지는 모르겠네여(비밀글 설정 전에 보신 분도 계실지는 모르겠지만..)
비밀글 풀어주실 수 있나요.. 다른 분들이 풀이 검토해주실 수 있어요. 풀이에 오류가 있는 걸 발견한다면 고칠 수도 있죠.
비밀글 어떻게 푸는지 모르겠네요 ㅋㅋㅋㅋ 비밀글은 못 풀거 같아서 풀어놓은 풀이는 캡쳐본으로 올려놓겠습니다. 풀이 위쪽에 있는 링크는 위에 댓글에 있는 위키 링크입니다!
감사합니다. 소문제들로 나눠진 문제는 '모든 문제를 비정상적으로 빨리 풀었다!'라는 경우를 제외하고는 비밀댓글로 하지 않으셔도 괜찮습니다.
를 구해주신 것 같습니다! 그런데 저희가 구해야 할 값은 이게 아니고
입니다.
글씨가 작아서 잘 안 보이셨던 것 같네요ㅠㅠ
아 풀이를 작성하는 과정에서 귀차니즘이 발생해서 조금 많이 생략했네요 ㅜㅜ 설명 듣고 저도 헷갈렸습니다.. 식에 중간 과정을 이용해 추가 설명을 하자면
이 식을 정리할 때,
다음과 같은 과정을 통해 정리를 했습니다. 이 식에 을 대입하여 계산한 풀이입니다.
혹시 질문 있으시면 계속 질문해주세요! 틀린 점이 있을 수도 있으니까요
맞는 것 같네요. ㄷㄷ 별다른 오류는 없는 것 같습니다.
지금까지 답 정리
1.
2. (위키백과)
3. (기하학)
4. (파스칼)
다른 분들 기하학님 풀이 검토 부탁드립니다. 저는 기하학님 풀이 맞는 것 같습니다.
2번입니다.
라는 급수로 나타낼 수 있는데, x=1을 대입하면
이다
즉 이므로
인 a_n을 찾으면 됩니다.
이 나오고, 이 수열을
에 대입하면 됩니다.
가 나오고, 정리해주면
가 되기 때문에
가 됩니다.
나무위키에서 파이 계산법 찾아보다가 이걸 발견해서 적용해봤더니 바로 되더라구요ㅋㅋㅋ 기하학님 풀이에서 영감을 받았습니다.
저랑 님이 사용한 보조정리 증명입니다.
수학적 귀납법으로 증명할 수 있습니다.
여기서 동그라미 친 부분을 정리하면
가 되어서, 모든 자연수 n에 대해서 저 식이 성립하게 됩니다. 이걸 n을 무한대로 보내주면 저희가 사용한 식이 되는 겁니다.
리프님 수고하셨습니다 4번 풀이 작성하겠습니다 답은 윗 댓글에 리프님이 예측하셨던 답인 로 나왔습니다
위에서 제가 작성한 3번 풀이를 참고하여 식을 이용하도록 하겠습니다. 이 식에
을 대입하여 식을 정리하면
다음과 같이 식이 정리가 됩니다.
따라서 입니다. 이 식을 통해 계산을 하면
이런 식으로 계산할 수 있고, 계속해서 계산하면
으로 바뀌게 되어 4번 문제의 답은
가 됩니다.
보조정리 증명해주신 수학장 님도 수고하셨습니다~!
ㄲㅂ.. 똑같이 풀고 있었는데 ㅋㅋㅋ 수고하셨습니다. 제가 보조정리 증명과 함께 2번 풀었으니 이것도 다 풀린 것 같네요
ㄷㄷ 4번까지 다 풀렸네요 기하학님이랑 수학장님 파스칼님 모두 대단하십니다... (이번 문제는 제가 한 게 없네요 ㅠ 7월 문제는 반드시 제가 풀겠습니다 ㅋㅋㅋㅋㅋ)
4번 풀이에서 무한번 약분(?)하는 과정을 "이런 식으로 계속(?) 계산할 수 있고"라고 설명하고 넘어가는데, 좀 더 엄밀하게 증명되어야 하는 부분이 있습니다. 마치 위의 글타래의 보조정리에서 수학적 귀납법을 사용하여 증명하듯이 말이죠.
다음에 적는 식은 잘못된 풀이입니다만, 이해를 위해서 예를 들어보는 겁니다.
다들 알다시피 이건 답이 2가 아니죠?
비단 기하학님의 푼 4번 뿐만 아니라, 나머지 문제의 풀이도 이런 엄밀성에서 의문을 가질 수 있지 않을까 생각이 됩니다. 무한을 다룰 때 어디까지 생각을 해서 기술해야 완벽한 증명인지에 대해서 생각해 보면 좋을 것 같습니다.
호오... 그 부분에서 엄밀성이 떨어지는군요 오늘 해보고 되면 풀이를 다시 올려보도록 하겠습니다
아하.. 그런 부분에서 문제가 생길 수 있네요. 2번 풀이도 수정해서 올릴게요
제 생각에 약분하는 과정은 n번째 분모와 분자에 어떤 값을 곱하는지를 n에 대한 식으로 표현해서 보이면 충분할 것 같네요.
교수님께서 말씀하신 것처럼 보완을 부탁합니다~!^^
자 마지막으로 정리합니다
1. (GUN.007)
2. (수학장)
3. (기하학)
4. (기하학)
파스칼님이 근삿값을 구해주지 않으셨다면 4번은 풀리지 않았을 거라고 생각합니다. 모두가 노력해주셔서 다 풀린 것 같습니다. 지금까지 풀이 중에 논리의 비약이나 오류가 있을 수 있으니 다들 검토 바랍니다.
와 1주일만에 대한수학회랑 슬수(사실 3번은 미해결이지만) 다 풀렸네요 ㄷㄷ 지금까지 이런 경우가 있었나요 ㅋㅋ
역시 도전적이시군요...
저는 엄마가 끄라고 난리여서 다음에 보죠..
제가 만든 문제다 보니 당연히 저는 답을 알고 있습니다. 문제를 푸시면 맞는지 알려드리겠습니다.
저의 엄청난(?) 직관에 의하면 5번은 바젤식에 의해 pi^2이 되고 6번은 1/e일 것 같네요
5번은 맞네요 좀 이따 풀이 올립니다
6번은 1/e는 아닐 것 같네요 ㅇㅅㅇ 적당히 a_n 을 정의해보려 하는데 어렵네요 ㅋㅋ
시험기간이라 해보고 싶은데 나중에 하도록 해보겠숩니다
수학장님 혹시 6번 문제 답이 인가요? 암산이라 맞는지는 잘 모르겠네요 ㅇㅅㅇ 맞으면 시험 끝나고 풀이 올리도록 하겠숩니다.
아니 저게 암산으로 된다고요;; 답 찾기 어려울 줄 알았는데
아마도 기하학님은 이런 방식으로 답을 구한게 아닐까 추측해봅니다.
1. 뭔가 파이랑은 관련 없을 것 같음
2. 그래서 답을 e^x 형태로 추정함
3. 위에서 증명한 e^x 연분수 전개식을 이용
4. x=1/2 넣으면 상수 부분이 전부 홀수/2가 돼서 뭔가 답이랑 비슷해보임
5. x=1/2 넣고 대충 계산해보니까 맞는 것 같음 근데 역수 취해야 해서 답은 아마도 e^(-1/2)
(사실 제가 답 구한 방식)
5번 풀이
임을 이용하자.
인 수열 a_n을 정의하면 오일러의 연분수 공식에 의해
이 되어 문제의 식은 pi^2이 됨을 알 수 있다.
6번 풀이
기하학님이 증명하셨던 e^x의 연분수 전개식을 이용하겠습니다.
가 되어 문제의 식은 e^(1/2)의 역수, 즉 e^(-1/2)임을 알 수 있다.
아 문제보고 찾다가 대충
의 형태로 생긴거 같아서
전개식 이용하면 될 것 같았습니다
리프님 수고하셨습니당
lemma) 이 a에 수렴하고,
이 b에 수렴할 때,
은 ab에 수렴한다.
1)은 n-1에 수렴한다.
2),
라고 했을 때,
이 1에 수렴하므로
도 1에 수렴한다. 그런데
이고
임에서,
이므로
도 1에 수렴한다.
위의 1), 2)에서 lemma를 적용하면, n이 무한히 커질 때 , 즉
은
, 즉
에 수렴합니다.
그런데 이므로,
입니다.
루트 2.
오일러 공식 (Euler's formula) -->
오일러 공식을 이용하게 되면 루트2 +1의 정수부분: 2
소수 부분: 루트2-1이 되어 루트 2의 무한 연분수는 루트2=1+1/루트2+1=1+1/2+1/2+(루트2-1)=1+1/2+/2+1/루트2+1=1+1/2+1/2+1/2+... 이 되어 정답은 루트 2이다.
이렇게 치환을 하였습니다. 이때 값이 또 한 번 치환이 가능해집니다.
이렇게 방정식이 나왔으니 값을 구해 보면
이렇게 나옵니다. 값을 다시 처음 식에 대입하면
이런 결과값이 나옵니다. (값의 범위가 없어서 두 종류로 나왔는데 괜찮은지 모르겠네요.)
이고
이라 하자. 그러면
임을 수학적 귀납법으로 확인할 수 있다. 그러므로,
임을 알 수 있다.
1번 문제의 답안입니다.
저 점화식은 이라 놓으면 선형점화식(Linear recurrence)의 이론을 이용하여 쉽게 일반항을 구할 수 있습니다.
안녕하세요. 김다인 멘토의 피드백입니다~.
선형점화식 이론을 어떻게 적용했는지 좀 더 서술해주세요!
안녕하세요!^^
김다인 멘토가 추가로 피드백을 보내와서 댓글을 남깁니다.
김다인 멘토 : 사실 거의 완성된 풀이라서 이 점화식을 어떻게 구했는지 서술하기 어렵다면 점화식에 대입해서 이 점화식이 맞다는 사실만이라도 서술해주면 좋겠어요! 이 문제에서 올라온 답안 중 제일 풀이에 근접한 답안이어서 다시 피드백 드립니다!
4번 풀이입니다. (앞쪽 부분은 기하학님의 풀이를 가져왔습니다) 에서 a_k=x/k, a_0=1을 대입하면
식이 나오고, 이 식에 x=-1을 대입하여 정리하면
이므로
입니다.
...로 정의하겠습니다.
또한 로 정의하겠습니다.
임의의 유한한 자연수 n에 대해, b_n을 ...으로 식의 형태를 변형하는 과정을 유한번 거치면 b_n=a_n임을 알 수 있습니다. 즉 모든 n에 대해 b_n=a_n입니다.
이때 맨 앞 공식에서 우변의 연분수의 수렴성이 증명되었으므로 이 공식으로 만들어진 연분수를 이끌어내는 수열 b_n은 수렴하는 수열이며, 연분수의 정의와 위 공식에 의해
에 수렴합니다. 여기서 b_n=a_n이므로 a_n 또한 수렴하는 수열이고, 연분수의 정의에 의해 a_n은 n이 무한히 커질 때
에 수렴합니다.
모든 자연수 n에서 a_n=b_n이므로 a_n과 b_n은 수렴값이 같습니다. 즉 입니다.
<3번 풀이 보충> 기하학님의 3번 풀이를 읽어보았더니, 식만 증명되면 나머지는 문제가 없는 것 같습니다. 제가 보충한 4번 풀이에서도 이 식을 이용했기에 겸사겸사 이 식을 증명하도록 하겠습니다. Benedict님께서 이미 증명하신
에서 a_k=x/k, a_0=1을 대입하면
식이 나옵니다.
...로 정의하겠습니다.
또한 로 정의하겠습니다.
임의의 유한한 자연수 n에 대해, b_n을 ,
와 같이 식의 형태를 변형하는 과정을 유한번 거치면 b_n=a_n임을 알 수 있습니다. 즉 모든 n에 대해 b_n=a_n입니다.
이때 맨 앞 공식에서 우변의 연분수의 수렴성이 증명되었으므로 이 공식으로 만들어진 연분수를 이끌어내는 수열 b_n은 수렴하는 수열이며, 연분수의 정의와 위 공식에 의해
에 수렴합니다. 여기서 b_n=a_n이므로 a_n 또한 수렴하는 수열이고, 연분수의 정의에 의해 a_n은 n이 무한히 커질 때
에 수렴합니다.
모든 자연수 n에서 a_n=b_n이므로 a_n과 b_n은 수렴값이 같습니다. 즉 입니다.
그러므로 기하학님의 풀이에 의해 이 식에 x=1을 대입하면 1/(3번의 식)=e의 꼴이 나오는데, 이때 양변 모두 수렴성과 0이 아님이 증명되었으므로 양변의 역수를 취하는 것이 가능하고, 결과적으로 3번 문제의 답은 1/e가 됩니다.
<2번 풀이 보충>Benedict님의 풀이에 같은 방법을 적용해 보았습니다
의 급수에 x=1을 대입하면
가 나오며, Benedict님께서 이미 증명하신
에
를 대입하면
가 나옵니다.
로 정의하고,
로 정의하겠습니다.
임의의 유한한 자연수 n에 대해, a_n을 와 같이 식의 형태를 변형하는 과정을 유한번 거치면 a_n=b_n임을 알 수 있습니다. 즉 모든 n에 대해 a_n=b_n입니다.
이때 맨 앞 공식에서 우변의 연분수의 수렴성이 증명되었으므로 이 공식으로 만들어진 연분수를 이끌어내는 수열 a_n은 수렴하는 수열이며, 연분수의 정의와 위 공식에 의해
에 수렴합니다. 여기서 a_n=b_n이므로 b_n 또한 수렴하는 수열이고, 연분수의 정의에 의해 b_n은 n이 무한히 커질 때
에 수렴합니다.
모든 자연수 n에서 a_n=b_n이므로 a_n과 b_n은 수렴값이 같습니다. 즉 이며, 양변 모두 수렴하므로
입니다.