★폴리매스의 새로운 코너 '슬기로운 수학 생활'을 소개합니다!★
'국가수리과학연구소' 문제를 출제해 주었던 백진언 연구원께서 연구소 생활을 마치고 나오시면서 더 이상 연구소 이름을 달고 문제를 출제할 수 없어 새로운 코너를 만들게 됐습니다.^^
현재 박사과정에 재학 중인 새내기 수학자인 백 연구원께서 여러분 모두가 수학자의 꿈을 키워나갈 수 있도록 앞으로 흥미진진한 수학 문제를 출제해 주실 예정입니다.
날마다 수학과 함께 하는 '슬기로운 수학 생활(슬수생)' 하기를 바라요!★
자, 그럼 문제 나갑니다~!
변의 길이가 1보다 큰 정육각형을
변의 길이가 1인 정삼각형 7개로 덮을 수 있을까?
단, 정삼각형들끼리는 겹쳐도 되고, 정육각형의 변의 길이는 1보다 크기만 하면 어떤 길이도 상관없다(예: 1.000001)
여러분이 혼동하는 부분이 있는 것 같아 다음과 같은 문장을 추가합니다. 또한 정삼각형이 정육각형을 빠져나와도 된다. 즉, 정삼각형들이 모두 정육각형 안에 있을 필요는 없다.
당연한 거긴 하지만 정육각형을 빈틈없이 채워야 하겠죠? (와아 백진언 (전)연구원님 문제 돌아오셨다)
와! 드디어 백진원 출제자님께서 다시 문제를 출제해주시네요! (역시 존버는 승리한다 ★☆★)
다시 돌아와주셔서 정말 감사합니다!
어.... 설마 설마 이렇게 쉬운문제는 아니겠죠 설마요 에이
변의 길이가 1보다 크면상관없으니까
변의 길이가 2만넘어도 삼각형이 넓이가 모자라 못채웁니다
설마 에이.....
제가 생각하고 있는 풀이입니다. (아이디어만 있습니다. 자세한 계산이나 논리는 없기 때문에 틀릴 가능성이 매우 높으니 오류가 보인다면 지적해주세요)
일단 문제를 보면 불가능하다가 답일 것으로 추측되기 때문에 불가능함을 보이는 것에 초점을 맞추겠습니다.
정육각형의 둘레, 꼭짓점, 중심을 모두 7개의 정삼각형으로 덮을 수 없다면 이 문제의 증명은 끝납니다.
그러므로 이 3개를 동시에 다 덮을 수 없음을 보이는게 제 아이디어입니다.
일단 둘레의 길이는 6을 넘기 때문에 모든 정삼각형이 둘레를 약간이라도 덮고 있어야 합니다.
또한, 중심과 꼭짓점 사이의 거리는 1이 넘기 때문에 중심을 덮는 정삼각형은 반드시 변의 중간 부분을 덮게 됩니다.
그러면 양쪽에 꼭짓점 부분이 2군데 생기는데, 그 부분을 덮기 위해서는 정삼각형을 밖에 놔서 꼭짓점이 정삼각형의 한 변 위에 있도록 하는 것이 최선일 듯 합니다. (확실하지 않음)
이 상태에서, 둘레의 남은 부분을 살펴보면 5개의 변이 남아 있는데, 4개의 정삼각형으로 이를 덮어야 합니다.
근데 그림을 좀 그려보면 이는 불가능할 것으로 추측됩니다.
이러한 논리로 접근해서 중간 과정에서 덮을 수 있는 최대 길이를 계산하고, 불가능다는 것을 길이를 통해 계산하면 될 것 같습니다.
꼭짓점, 모서리, 중심을 모두 덮는건 존재하네요...
제 '직관'적으로도 불가능일 거 같긴 합니다.
저도 반례를 찾았네요 ㅠ 넓이까지 고려해야할듯
글고 휠릭시스님처럼 하면 6개로도 둘레는 충분히 덮을 수 있네요
넓이 차이도 극소로 수렴시킬 수 있을 것으로 보입니다.
위의 그림과 같이 배열하면 일곱 정삼각형이 정육각형의 둘레, 꼭짓점, 중심을 모두 덮는 동시에 남는 부분의 넓이를 0에 매우 근접하게 만들 수 있습니다.
만약 넓이가 언제나 어떤 양수 이상으로 차이날 것이라고 추측되면 충분히 빼곡한 격자점을 그려 해결하면 될 것 같습니다. 하지만 저는 넓이차를 0에 수렴시킬 수 있다고 생각합니다. 물론 0에 수렴시킬 수 있다는 것은 0이 될 수 있음을 의미하는 것이 아니므로 넓이차를 이용할 수 없다는 말은 아닙니다.
(참고로 잘 보이지 않지만 육각형의 한 변의 길이는 1보다 조금 큽니다)
일단 한 변의 길이가 1보다 큰 정육각현의 한 변의 길이를 a로 하죠. 그러면 정육각형의 넓이는 루트3/4 x6 =3루트3/2* a2가 됩니다. 여기서 a>1이 되야하므로 3루트3/2보다 큽니다. 또 넓이는 삼각형 7개보다작거나 같아야하므로 3루트3/2 <3루트3/2* a2<=(작거나 같다입니다.) 7루트3/4 입니다. 이를 정리하면 1<a2<7/6이 됩니다. 더 자세히는 1<a<루트42/6 이죠.. 근데 증명은 못하겠니요 ㅠㅠ 혹시 틀린 점있으면 피드백좀 주세요
만약 이 답이 불가능이라면, 정삼각형이 최소 몇 개 있어야 가능할까요? 충분히 많으면 가능하다는 건 자명한데(정육각형은 1보다 크기만 하면 되니 
으로 잡아도 되므로)
정삼각형 6개만으로 둘레를 무조건 다 덮어야하고 이 6개로 덮을때 겹치는 부분과 정육각형 밖으로 삐져나가는 부분의 합이 
이하여야합니다. 이게 불가능하다는 것을 보이려하는데 쉽지가 않네요...
*문제 아이디어
(정육각형의 6개의 꼭짓점 + 정육각형 중심) 이렇게 7개의 점을 생각해봅시다. 이때 저 7개의 점들 중 2개 이상을 포함하는 정삼각형은 없다는 걸 쉽게 관찰할 수 있습니다. 즉, 육각형을 완전히 덮으려면 각 정삼각형이 7개의 점들을 하나씩 포함해야 한다는 거죠. 이제 정육각형의 꼭짓점을 포함한 정삼각형들을 삼각형 1,2,3,4,5,6 이라고 두고, 중심을 포함한 삼각형을 삼각형 7이라고 둘 수 있습니다.
또, 문제를 풀면서 다음과 같은 성질을 발견했습니다.
(만약 이것을 다 덮을 수 있다고 가정했을 때)
정육각형의 각 변을 3등분하는 점들을 생각해봅시다(이러면 정육각형 가장자리에 18개의 점들이 생기겠죠).
이때 삼각형 7이 중심 부근에 있다고 가정하면(즉 정육각형의 변들과 접촉하지 않음)
삼각형 1,2, ...6들은 꼭짓점+ 꼭짓점과 인접한 점 2개를 무조건 포함해야 한다는 성질이 있습니다.
(수정) 잘못생각했어요ㅜ
일단 이 문제는 개인이 풀기는 힘들어 보입니다. 집단지성을 활용합시다.
저는 일단 상한을 줄여 보겠습니다.
1. 넓이로 접근
쉽습니다. 과정은 생략합니다. 상한은 
2. 둘레로 접근
둘레 접근법을 사용해 봅시다. 위에 리프님이 자세히 써놓으신 것 같으니 자세한 건 생략할게요.
하나의 정삼각형으로는 정육각형 둘레 길이의 최대 
를 채울 수 있습니다. 또 가운데를 덮는 정삼각형은 둘레에 닿을 수 없습니다.
따라서 상한은 임을 짐작할 수 있지만, 이는 오히려 넓이로 접근한 상한보다 큽니다. 어떻게 줄여 볼까요?
3. 복합적 접근
완성된 풀이는 아니고, 추측입니다.
f(x) = (하나의 정삼각형으로 둘레 x를 cover할 때, 정육각형 바깥으로 빠져나가는 최소 면적)으로 정의합시다. 단 x의 정의역은 1 이상 이하의 실수입니다.
(짐작하셨다시피 이 범위 밖에서는 둘레로 접근하는 의미 또는 넓이로 접근하는 의미가 상실됩니다.)
이때 f(x)의 그래프를 잘 그리면, 어떻게 삼각형 6개로 둘레를 잘 덮어도 남은 면적이 삼각형 1개의 면적보다 크다는 결론을 이끌어낼 수도 있지 않을까요?
정정합니다. 가운데 점과 둘레에 모두 닿는 삼각형이 존재합니다.
아아...영원히 풀리지 않는 슬수생(?) 추측으로 끝나는건가요 ㅠㅠ
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이렇게 하면 중심에서 한 변에 내린 수선이 길이가 2분의 루트3 초과인데 한 변의 길이가 1을 초과만 하면 된다고 하였으니 수선의 길이가 2분의 루트3 초과이면서 1보다 작거나 같으면 중심을 덮는 정삼각형도 둘레에 닿을 수 있지 않을까요?
결국 이 문제도 대한수학회 '끝없는 직사각형' 문제처럼
'넓이가 더 커서 이론상으로 모두 맞출 순 있으나, 배열을 찾지 못하는 문제'가 되는건가요?
저는 불가능이 답일 것 같아요. 지금 해보고 있는데, 계속 조금씩 공간이 남네요.
혹시 정삼각형을 자를 수도 있나요?
쓸데없는 아이디어
1. 정삼각형 4개로 한변의 길이가 x(>1)인 정삼각형 채울 수 있음을 증명 or 반증
2. 정삼각형 k개로 정k-1각형 채울 수 있다/없다고 가정
3. 정삼각형 k+1개로 정k각형 채울 수 있다/없다는것을 증명
..네...귀납법 한번 생각해봤습니다..
도움이 되지는 않을것 같지만요
글씨 해석
[] 안에 쓰인 글씨는 증명했지만 증명과정을 적지 않은 내용이고, <> 안에 쓰인 글씨는 아직 증명 못한 내용입니다.
2. 한 변의 길이가 1인 정삼각형 7개로 한 변의 길이가 1보다 큰 정육각형을 빈틈없이 채울 수 있을까?
[정삼각형이 포함할 수 있는 가장 긴 선분의 길이는 1이다.]
정삼각형 6개를 어떻게 채워도 남은 공간의 어떤 두 점은 거리가 1보다 큼을 보이자.
어떠 삼각형도 두 개 이상의 꼭짓점을 동시에 포함할 수 없고, (a>1)
꼭짓점을 포함한 정삼각형은 정육각형의 중심을 포함할 수 없다(a>1)
따라서 각각의 꼭짓점들은 오직 하나의 정삼각형에 의해 채워진다.
꼭짓점을 포함하는 6개의 삼각형을 먼저 채운 후, 남은 공간에 거리가 1보다 큰 두 점이 있음을 보이자.
각각의 삼각형은 다음과 같이 정육각형을 포함할 수 있다.
(I) 꼭짓점이 변에 존재 (ii) 꼭짓점이 내부에 존재(a+b>1)
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(공책에는 없는 내용입니다.)
(iii) 꼭짓점이 내부에 존재 (a+b<1) (iv) 꼭짓점이 변에 존재(정육각형과 정삼각형의 변은 일치하지 않음)
<iii와 iv는 사용할 수 없다>
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(다음 페이지)
ㄱ. i를 6개 사용하는 경우 ([변을 메울 수 없다])
그림과 같은 모양이 되고, 빨간색 선분이 파란색 선분보다 길다.
따라서 거리가 1보다 큰 두 점이 존재한다.
ㄴ. ii를 사용하는 경우 (변을 모두 메운다)
(iI)를 두 개 이상 사용할 경우 [최대 넓이는 정육각형 6개 넓이]이므로 불가능하다.
(ii)는 하나 이하로 쓰이고, 나머지 꼭짓점은 i로 채워야 한다.
그림처럼 놓으면 (ii)를 어떻게 놓더라도 <빨간 길이와 파란 길이 중 하나는 1보다 길다>
엄밀한 증명을 위해 해야 할 것
1. iii, iv를 쓰면 안 된다는 것을 보여야 한다
-포함하고 있는 변의 길이가 일정 값보다 작아지면 불가능하다는 걸 보이면 될 것 같습니다. 그런데 만약 깔끔하게 증명이 안 된다면, 아예 다른 방법을 찾아야 할 수도 있습니다.
2. 'ㄴ'에서 길이가 1보다 길다는 것을 증명
-계산이 복잡할 것 같아서 보류했는데, 틀리지는 않은 것 같고 넓이 고려해서 적절히 식 세우면 될 것 같아요. 제 생각에는 문제가 되는 부분은 아닙니다.
(ii)를 두 개 이상 사용하면 최대 넓이가 정삼각형 6개 넓이라고 하셨는데 왜 그런 건가요?
a+b>1이어도 정육각형 내부에 들어가는 넓이는 1에 수렴할 수 있습니다.
정말요??? 제가 잘못 생각한 것 같네요... 혹시 실례를 보여주실 수 있나요?
위에 파스칼님 댓글중 넓이 차이도 극소로 수렴시킬 수 있다는 내용의 댓글이 있어요!
음... 그건 (i)의 경우 아닌가요? 그 때 a+b=1이 됩니다. a+b>1일 때 넓이가 정삼각형 1개에 가까운 경우는 못 찾았어요
다시 생각해보니 내부에 들어가는 넓이가 1에 수렴한다는 생각은 잘못된 것 같습니다.
하지만 아래 예처럼 a+b>1이면서도 육각형 내부에 들어가는 넓이가 삼각형 1/2개 이상인 방법은 존재합니다.
이 방법을 이용하면 a+b>1일 때 육각형 내부에 들어가는 정삼각형 넓이의 비율을 3/4까지 수렴시킬 수 있습니다.
그렇네요.. .. 생각을 더 해봐야겠어요
이거 직접 지오지브라로 해보니 안되는거 맞습니다. 직접 해보세요. 처음엔 어?이거 될거 같은데? 뭐야...ㅋ 이거 내가 맟추는건가 ㅋㅋㅋ하는데 ㅏ...안맞습니다...ㅠ 그래서 변의 길이를 줄일까 생각 해봤는데 생각해보니 줄여도 빈칸의 구멍만 작아질뿐 답이 없는 것 같아요. 그러니까 반례 찾지 마시고 불가능한 이유에 대해서 초점을 맟추셔야 할것 같아요..이게 말이 쉽긴 하지만 아직 채울수 있는 아이디어를 공유하고 계시길래 써봤습니다... 이건 제 생각이니 반례 진짜 진짜 구하실 분들은 굳이 말리지 않겠습니다... 전 추천드리지 않아용...ㅎㅎㅎ
뭔가 비집일듯
제가 낸 아이디어만 올려보도록 하죠.. 일단 7개로 최대한 공간을 덮었을 때, 남는 공간 중 거리가 1 초과인 두 점이 있을까.. 이렇게 해보았는데요.
현재 계산 중이긴 하지만 복잡한 미적분이 필요할 것 같습니다 ㅠㅠ 반례 있으시면 남겨주세요
(+)일반적인 비둘기집 원리가 아닌 여러 요소들의 포배 관계가 필요할 거 같네요
몇 가지 오류가 있습니다. (저도 같은 방법으로 접근했었기 때문에 오류에 대해 잘 압니다)
우선 S_j를 T_j가 덮어야 함은(0<j<7, jㅌN) 잘 보이셨습니다.
1. '일반적으로 S_4를 덮을 수 있는 방법은 다음과 같다' 에서 증명이나 논증이 필요할 뿐만 아니라, 다음 경우들도 유력한 가능성이 됩니다.
변 위로 점이 올라간 경우들까지 포함한다면 더 많아집니다. 이 경우들 중 몇 가지, 예를 들어 1번 경우를 비효율적인 방법이라고 하고 무시하기 위해서는, 다른 어떤 경우, 예를 들어 3번 경우를 선택하여 '임의의 삼각형이 1번 경우처럼 배치되었을 때 육각형을 일곱 삼각형으로 덮는 것이 가능하다면, 3번 경우로 그 삼각형을 바꾸어도(돌려도) 여전히 육각형을 일곱 삼각형으로 덮을 수 있다'를 증명해야 합니다. 그 뒤 3번 경우를 해결함으로써 1번 경우도 함께 증명한 것으로 간주하는 거죠. 2번 경우와 같은 경우는 쉽게 임의의 2번 경우처럼 놓인 삼각형은 3번 경우처럼 바꾸며 원래 덮고 있던 모든 부분을 그대로 덮는 것이 가능하다는 것을 보여 무시할 수 있을 것입니다. 그러나 1번 경우에서는 이것이 쉽지 않으며, 엄밀한 증명이 필요합니다.
2. 'T_4는 3이나 4 중에서 하나를 포함할 수 있다. 일반성을 잃지 않고 영역 4를 포함한다고 하자.' 여기에 반례가 있습니다.
이런 경우를 생각해 보겠습니다. 물론 이 경우에서는 가운데가 매우 크게 비므로 삼각형들로 육각형을 채우는 것은 불가능합니다. 그러나 이 경우는 모든 삼각형이 위 논증의 3번 경우처럼 배열되었음에도, 꼭 T_4가 3번이나 4번 중에 하나만을 포함할 필요는 없다는, 또는 3번이나 4번 같은 공간들이 아예 생기지 않을 수도 있다는 것을 의미합니다. 또한 위 논증의 1번 경우를 가져와서 적절히 섞으며 배치하면, 변 쪽에 남는 공간을 없애면서도 가운데에 비는 공간을 상당히 크게 줄일 수 있습니다. 그러므로 이런 경우가 의미가 없는 것은 아니며, 모든 삼각형이 3번과 같은 경우라고 가정하더라도 삼각형으로 육각형을 덮는 것이 불가능함이 증명되었다고 볼 수는 없습니다.
3. 한 가지 추가하자면 마지막에 '효율적으로 덮으려면 다음과 같이 덮어야 한다는 것을 알 수 있다' 부분에서도 엄밀한 증명이 필요합니다. 1번 논증에서 쓴 것과 같이 '다른 방법으로 덮는 것이 가능하다면 이 방법으로도 가능해야 한다' 를 증명해야 이 방법이 더 효율적이라는 것을 보일 수 있습니다.
늦어서 미안합니다.
김다인 멘토의 코멘트입니다!
파스칼님이 제가 하고싶은 말을 다 적어주셨네요! 아이디어가 좋았다고 생각합니다. 좀 더 다듬어진 풀이로 돌아와주세요!
음.. 하나 아이디어만 공유해보자면 길이가 1인 선분을 덮는 방법은 2가지 방법 밖에 없다.
쓸모 있을지는 모르겠네요
저는 안될 것 같습니다.왜냐하면 삼각형을 계속 붙이다 보면 결국
뜬 공간이 2공간 이상 남기 때문입니다.
폴리매스 문제는 2019년도 정부의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물입니다.
☎문의 02-6749-3911
정기구독 인증방법 안내
제가 제일 먼저 시도한 방법입니다. 쉽게 그리기 위해 과정을 했습니다. 실제로는 a가 0.0000....1이라 보셔도됩니다. 위 그림을 보면 8개로는 가능하다는 것이 증명이되죠 (저 그림을 응용해서 몇 개 해봤는데 7개러는 다 조금씩 남더라고요)
