본문바로가기
폴리매스 문제
세상에 없던 문제에 도전하세요!
[대한수학회] 대41. 유리수점? 정수점? 곱가능집합?
수학동아 2020.05.01

좌표평면 상의 점 (p, q)에 대해 p, q가 모두 유리수이면 (p, q)유리수점이라 정의하고,

 

p, q가 모두 정수이면 (p, q)정수점이라 정의한다.

 

 

좌표평면 상의 점 (p, q), (r, s)와 임의의 실수 t에 대해

 

(p, q)+(r, s)=(p+r, q+s),       t(p, q)=(tp, tq)

 

로 각각 정의하자.

 

 

좌표평면 상의 점 (a_1, b_1), (a_2, b_2), \cdots , (a_r, b_r)에 대해

 

S_{(a_1, b_1), (a_2, b_2), \cdots , (a_r, b_r)}={x_1(a_1, b_1)+x_2(a_2, b_2)+\cdots +x_r(a_r, b_r) :은 정수}

 

라 정의하자. 또한

 

LS_{(a_1, b_1), (a_2, b_2), \cdots , (a_r, b_r)}=\left \{ \sqrt{x^2+y^2} : (x, y)\in S_{(a_1, b_1), (a_2, b_2), \cdots , (a_r, b_r)} \right \}

 

라 정의하자.

 

 

실수의 부분집합 E가, 모든 x, y \in E에 대해 xy \in E를 만족하면 곱가능집합이라고 정의한다. 예를 들어, LS_{(1, 0), (0, 1)}은 곱가능집합이고 LS_{(1, 1), (0, 3)}은 곱가능집합이 아님을 쉽게 확인할 수 있다.

 

 

 

문제1 만약 (a_1, b_1), (a_2, b_2), \cdots , (a_r, b_r)이 모두 유리수 점이면 S_{(a_1, b_1), (a_2, b_2), \cdots , (a_r, b_r)}=S_{(p, q), (r, s)}를 만족하는 유리수 점 (p, q), (r, s)가 존재함을 보여라.

 

 

문제2 임의의 정수점 (p, q)에 대해, LS_{(1, 0), (p, q)}는 곱가능집합임을 보여라. 

 

 

문제3 정수 m3m^2-1을 나누는 소수 p에 대해, LS_{(1, m), (0, p)}는 곱가능집합임을 보여라.

 

 

문제4 집합 LS_{(p, q), (r, s)}가 곱가능집합이 되는 정수 p, q, r, s를 모두 구하라.

  •  
    구머 Lv.4 2020.05.01 비밀댓글
    확인요청중
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수5
    •  
      구머 Lv.4 2020.05.01

      2번풀이입니다. 비교적 난이도가 쉬운 애라 많이 도전해보시길!

      좋아요0
    •  
      MathlabJ Lv.8 2020.05.01

      구머님 어떻게 푸셨나요.. 문제가 오늘 올라왔는데 어떻게 이렇게 빨리 푸셨지.....ㄷㄷㄷㄷ

      좋아요0
    •  
      여백 패르마 Lv.2 2020.05.01

      혹시 라그랑주 항등식 사용하셨나요? 

      좋아요0
    •  
      구머 Lv.4 2020.05.01

      좋아요0
    •  
      여백 패르마 Lv.2 2020.05.01

      어떻게 푸셨는지 감이 오네요

      좋아요0
  •  
    21세기오일러 Lv.11 2020.05.01

    이번문제는 몇 안되는 제가 이해한 대한수학회문제네요. (요새 약간 난이도 하향된 느낌?)

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
    •  
      21세기오일러 Lv.11 2020.05.01

      (내가 이해를 못하는 문제= 다른 분들은 이해가능, 내가 이해를 하는 문제= 다른 분들은 바로 풀어버림 ㅋㅋ)

      좋아요0
  •  
    여백 패르마 Lv.2 2020.05.01

    3번에서 소수 p가 1이기 때문에 모순 아닌가요? m과 3m^2-1은 반드시 서로소이잖아요

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수3
    •  
      구머 Lv.4 2020.05.02

      그러게요 확인 부탁드립니다 출제자님

      좋아요0
    •  
      여백 패르마 Lv.2 2020.05.02

      꼭 확인해주세욧!!!

      좋아요0
    •  
      최기자 Lv.4 2020.05.06

      안녕하세요.^^ 답이 늦어서 미안합니다~!

       

      문제를 해석하는 데 약간의 오류가 있는 것 같아요.

       

      m과 소수 p를 뜻합니다. 이 소수가 3m^2-1을 나눈다는 뜻입니다. m은 나누든 말든 아무 상관없구요.

       

      정수 m이 주어져 있고, 3m^2-1을 나누는 소수 p를 잡아... 이런 뜻입니다.^^

      좋아요0
  •  
    무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.05.01

    위치벡터로 풀면되겠네요 이번건 좀 쉽네요

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수3
    •  
      구머 Lv.4 2020.05.01

      좋아요0
    •  
      여백 패르마 Lv.2 2020.05.01

      저만 위치벡터로 어떻게 푸는지 모르나봅니다...

      좋아요0
    •  
      은총알 Lv.10 2020.05.21

      저만 위치벡터가 뭔지 모르나봅니다..

      좋아요0
  •  
    무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.05.01 비밀댓글
    확인요청중
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수2
  •  
    무한대의끝을본남자 Lv.6 2020.05.01 비밀댓글
    확인요청중
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수1
  •  
    파스칼 Lv.3 2020.05.01 비밀댓글
    확인요청중
    비밀 댓글이 등록 되었습니다.
    댓글 작성하기 댓글수1
    •  
      파스칼 Lv.3 2020.05.01

      1번 풀이입니다.

      좋아요0
  •  
    구머 Lv.4 2020.05.02

    1번은 힌트를 드리자면...

    딱 귀납법으로 풀기 좋은 형태로 보이죠? 먼저 r=3일 때, 즉 점이 3개인 경우를 먼저 풀어봅시다.

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.05.03

      바로 풀리네요 ㅋㅋㅋㅋ 어이없넹

      좋아요0
  •  
    구머 Lv.4 2020.05.05

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수0
  •  
    구머 Lv.4 2020.05.16

    시간이 꽤 지난것 같아 2번 풀이를 공개합니다! 3/4번을 풀 때 도움이 되었으면 합니다

     

    LS_{(1, 0), (p, q)}가 \left \{ \sqrt{x^2+qy^2} : x,y \in \mathbb{N} +\left \{ 0 \right \}\right \}가 됨은 쉽게 관찰할 수 있다. 이제 이 집합의 임의의 두 원소의 곱이 집합의 원소임을 보이면 된다.

     

    pf)

    (a^2 + b^2 q) \times (c^2+d^2 q)=(ac+bdq)^2 +(ac-bd)^2q 이므로 성립함.

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수2
    •  
      파스칼 Lv.3 2020.05.17

      상관없긴 한데, LS_{(1,0),(p,q)}=\left \{ \sqrt{x^2+q^2y^2}:x,y\in \mathbb{N}+\left \{ 0 \right \} \right \} 아닌가요?

      그 뒤에 풀이에서도 q => q^2으로 바뀌어야 할 것 같습니다.

      좋아요0
    •  
      구머 Lv.4 2020.05.18

      수식이 이미지처리가 되어버려서 수정이 원활하지가 않네요. 파스칼님 지적이 맞습니다!

      좋아요0
  •  
    삼각파이 Lv.8 2020.05.27

    ? 저만 invalid eqaution 보이나요?

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
  • 폴리매스 문제는 2019년도 정부의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물입니다.

  • ☎문의 02-6749-3911