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[KPP의 퍼즐라이프] 채우는 재미가 쏠쏠! 카지노 퍼즐
수학동아 2020.04.22 15:22

 

 

KPP와 함께하는

퍼즐라이프

 퍼즐러가 사는 법 

 

 

 

퍼즐을 좋아하는 사람들이 모인 단체 KPP_Korean Puzzle Party 멤버들이

매달 재밌고 유익한 퍼즐 이야기를 들려드립니다. 

KPP와 함께 신기한 퍼즐을 살펴보고 그 속에 숨은 수학도 즐겨보세요!

 

 

*사진 출처: cubicdissection.com

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2월호에 메달리온 퍼즐을 소개했던 KPP 멤버 ‘Eucleides’입니다.

요즘 밖에 나갈 수 없어 심심했을 여러분을 위해

2018년 올해의 퍼즐상을 받은 ‘카지노 퍼즐’을 소개합니다!

 

 

 

 

 

 

1

2018년 올해의 퍼즐의 주인공!

 

 

독일의 퍼즐 디자이너 폴커 라투세크_Volker Latussek가 만든 카지노 퍼즐은

2018년 국제 퍼즐 파티(IPP) 때 열린 '국제 퍼즐 디자인 대회'에서

심사 위원단과 파티 참가자 모두에게 높은 평가를 받아 올해의 퍼즐로 선정된

‘패킹 퍼즐’입니다.

 

 

국제 퍼즐 파티(IPP) 

전세계 퍼즐 수집가, 퍼즐 작가, 퍼즐 판매 업체 등이 매년 한자리에 모여 퍼즐 정보를 공유하고 새로 만든 퍼즐을 홍보하며 교환하는 퍼즐 축제.

 

 

패킹 퍼즐은 우리말로 하면 ‘채워 넣기 퍼즐’이라고 하는데

가방에 짐을 차곡차곡 싸는 것처럼 어떤 물건을 특정한 공간에 집어넣는 퍼즐입니다.

카지노 퍼즐은 납작한 원기둥 모양의 나무 칩 6개를 정육면체 상자 안에 넣는 패킹 퍼즐이죠.

 

언뜻 쉽게 채울 수 있을 것 같지만,

상자 입구가 좁아 나무 칩을 ‘어떤 구조로 채울까’와

‘어떤 순서와 방향으로 넣을까’를 모두 고민해야 합니다.

오늘은 카지노 퍼즐을 단순화해 나무 칩을 어떤 구조로 채워야 할지

‘단편적’으로 살펴볼게요!

 

 

 

 

2

카지노 퍼즐 단순화하기

 

카지노 퍼즐을 단순화하는 방법은 상자와 나무 칩이 가로, 세로, 높이의 길이가 모두 1인

정육면체 모양의 단위 블록으로 이뤄졌다고 생각하는 겁니다.

그러면 상자는 단위 블록이 가로, 세로, 높이에 각각 3개씩 들어갈 수 있는 3×3×3 공간,

나무 칩은 단위 블록 4개가 정사각형 모양으로 배열된 1×2×2 크기의 블록으로

생각할 수 있습니다.

 

나무 칩을 쌓고 남은 빈 공간은 크기가 1×1×1인 단위 블록으로

채운다고 생각할 수 있으니 카지노 퍼즐은

1×2×2 블록 6개와 단위 블록 3개로 3×3×3 공간을 완전히 채우는 문제

로 볼 수 있습니다.

 

 

 

3

'홀짝성'으로 카지노 퍼즐 분석하기

 

카지노 퍼즐을 풀기 위해 수학에서 많이 쓰는 기술 중 하나인 ‘홀짝성’을 이용하겠습니다.

먼저 3×3×3 공간을 가로로 3개의 층으로 나눠 3×3×1 공간 3개로 쪼갠 뒤

각 층에는 검은색 또는 흰색 블록이 번갈아가며 있다고 상상합니다.

 

그러면 각 층은 가상의 9개의 단위 블록으로 이뤄져 있는데

1×2×2 블록들로 이 공간을 채울 때 늘 같은 수의 검은색 블록과 흰색 블록이

자리하고 있다는 걸 알 수 있습니다.

 

1×2×2 블록 1개는 어떻게 놓아도 1×2 또는 2×2 영역을 채우고

이 영역은 검은색 블록과 흰색 블록이 각각 1개 또는 2개씩 있는 모양이기 때문이지요.

결국 6개의 1×2×2 블록을 이용해 3×3×3 공간을 채우려면

각 층마다 채우지 못한 단위  블록이 1개씩 생깁니다.

 

하나의 층만 따로 뗴어 보면 1x2x2 블록들을 어떻게 놓아도 단위 블록 1개가 남고,

이는 정중앙 또는 꼭짓점에 위치한다.

 

 

또 그 위치에 주목하면 채우지 못한 단위 블록은

각 층의 정중앙 또는 꼭짓점에 놓인다는 사실도 알 수 있습니다.

 

예를 들어 한 층에 검은색 블록이 5개, 흰색 블록이 4개면

검은색 블록은 정중앙 혹은 꼭짓점에 위치합니다.

1×2×2 블록은 단위 블록 1개를 제외한 모든 공간을 채워야 하는데,

검은색 블록과 흰색 블록을 같은 개수만큼 채워야 하니

하나 남은 단위 블록은 검은색이어야 하죠.

층을 세로로 나눠 분석해도 마찬가지입니다.

 

3x3x3 공간의 층을 세로로 나눠도 가로로 나눠 분석할 떄와 똑같은 방법으로 분석할 수 있다.

 

 

이렇게 알아낸 사실을 모두 고려하면 

단위 블록 3개는 상자의 대각선에 놓인다

는 걸 알 수 있습니다.

 

단위 블록의 위치가 고정됐다는 사실을 알고 있으면

나머지 칩은 쉽게 채울 수 있습니다.

수학으로 분석해보니 의외로 쉽죠?

어떤 구조로 채우는지 알아냈으니 원래의 칩과 상자 모양을 고려해서 

어떤 순서와 방향으로 채워야 할지도 생각해보세요!

 

 

단위 블록 3개는 왼쪽 그림과 같이 상자의 대각선에 놓이고

나머지 1x2x2 블록 6개는 중앙을 감싸듯 놓인다.

 

 

 

 

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함 께 풀 어 보 세 요

 

1.

영국 수학자 존 콘웨이가 만든 난이도가 더 높은 퍼즐을 소개합니다.

1×2×4 블록 13개, 1×1×3 블록 3개, 1×2×2 블록 1개

그리고 2×2×2 블록 1개로 5×5×5블록과 모양이 같은 상자를 완전히 채워보세요.

 

2.

상자와 물건을 이루는 블록의 수가 같다고 항상 채워 넣기가 가능한 건 아닙니다.

1×2×4 블록 27개로 6×6×6 블록과 모양이 같은 상자를 완전히 채울 수 있을까요?

불가능하다면 그 이유는 무엇일까요?

 

-끝-

 

 

 

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    해리 Lv.5 2020.12.19 09:45 비밀댓글
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      해리 Lv.5 2020.12.19 09:46

      잘 모르겠습니다.

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      해리 Lv.5 2020.12.19 09:46

      잘 모르겠습니다.

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      해리 Lv.5 2020.12.19 09:46

      잘 모르겠습니다.

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      해리 Lv.5 2020.12.19 09:47

      잘 모르겠습니다.

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      KPP Lv.2 2021.01.13 18:53 비밀댓글
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