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폴리매스 문제
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[국가수리과학연구소] 국18. 혼잡한 직사각형
수학동아 2018.06.01

이번 문제는 친구들이 서로 아이디어를 공유하면 더 잘 풀릴 거 같은 문제예요. 아이디어가 떠오르면 적극적으로 표현해 주세요!! 그럼 국가수리과학연구소의 18번째 문제 나갑니다!

 

 

가로의 길이가 2, 세로의 길이가 1인 직사각형이 있다. 이 직사각형 안에 한 변의 길이가 각각 \large x_{1}, \large x_{2}, \large x_{3}인 정사각형 3개가 서로 겹치지 않게 있다고 하자. \large x_{1}+x_{2}+x_{3}의 최댓값은 얼마일까?

 

 

댓글 116
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  •  
    J.O.S Lv.1 2018.06.01

    음 그럼 일단 전체 직사각형에서 세 정사각형의 넓이를 뺀 2-(x_1^2+x_2^2+x_3^2)가 최소가 되어야 하지 않을까요?

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    •  
      J.O.S Lv.1 2018.06.01

      그럼 이제 코시 슈바르츠 부등식을 이용하면 될 것 같은데... 한번 해 보겠습니다!

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2018.06.01

      넓이가 아니라 길이라서 좀 애매할 것 같네요. 제 추측으로는 2보다 커지지 않을 것 같습니다. 물론 정사각형을 기울이는 등 방법도 있지만 제가 해본 것 중에는 2를 넘는 것이 없었습니다.

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    •  
      Euler Lv.1 2018.06.01

      그런데 2 이하라고 하면 그림에서 나온 것처럼 최댓값이 2가 되거든요. 그래서 2 초과일 수도 있을것 같아요.

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    •  
      math Lv.2 2018.06.01

      저는 개인적으로 2를 넘지 못할 것이라고 생각하는데요, 어쩌면 증명을 할 때, "최댓값이 2이다."가 끝이 아닌 왜 최댓값이 2인지까지 증명을 해야되지 않을까요?

       

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2018.06.01

      Euler 님 그러면 언제 2를 넘을까요

      배유한님 그래서 제가 어디까지나 ‘추측’이라고 하였습니다 오해하지 말아주세요

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    •  
      math Lv.2 2018.06.01

      계속 연구를 하다보면 2를 넘는 경우를 발견할 수 있지만, 만일 정말로 수많은 사람들이 했는데도, 꽤 많은 시간이 지났음에도 불구하고, 아무도 2를 넘는 경우를 발견하지 못했다면 왜 2를 넘는 경우가 안 나오는지 추가 증명이 필요할 것이라고 말한 것입니다. 말을 좀 애매하게 했나보네요 ^^; 죄송합니다.

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    •  
      Euler Lv.1 2018.06.01

      2를 넘는 경우가 있다 하면 그것은 정사각형이 기울어져있을 수밖에 없습니다. 그렇지 않은 경우라면 무조건 2가 나오기 때문입니다.

      사각형에 어떤 변에도 평행하지 않은 선을 긋고 그 선의 일부를 정사각형의 한 변으로 하는 형태의 그림일 수도 있겠네요.

      아니면 하나의 직사각형을 여러 삼각형으로 나누어서 그 안에 내접하는 정사각형을 그려도 되고요.

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  •  
    뉴턴의 사과 Lv.1 2018.06.01

    불가능할것 같긴 한데 넓이에 관한 2변수함수를 만들어서 편미분해 최댓값을 구하진 못하겠지요? 못하면 못한다고 솔직히 말해 주세요 저 수학 못하니까요^^

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    •  
      시그마 Lv.4 2018.06.03

      그렇게 어렵게 풀지 않아도 될 것 같아요 ㅋㅋㅋ 

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  •  
    시그마 Lv.4 2018.06.01

    사각형 하나에 집중해서 그것만 아~주 크게 만들면 되지 않을까요? 눕히면 충분히 가능할 것 같은데요?

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    •  
      Poincaré12 Lv.1 2018.06.01

      그것도 생각해봤는대 계산좀 해보시면 가장큰 정사각형이 1이라는 것떔에 좀 비관적인 결과(2를 넘을 수 없다는)가 나옴니다..

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    •  
      Poincaré12 Lv.1 2018.06.01

      반례 찾음 알려주세요!! 확신이 스진 않네요

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    •  
      호롤롤로 Lv.1 2019.12.27

      음... 한 사각형이 위에, 하나가 아래에 붙어있다면 2를 넘을수 있을 듯

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  •  
    B.C.I.수학장 Lv.5 2018.06.01

    정사각형을 기울인다고 최댓값이 2를 넘을 수 있을 지는 의문이네요. 기울이면 오히려 2보다 작아지지 않을까요?

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    •  
      시그마 Lv.4 2018.06.01

      저도 의문입니다만

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2018.06.01

      일단 기울이면 정사각형의 한 변의 길이가 직사각형의 길이가 1인 선분을 내분했을 때 2a^2-2a+1이라는 결과가 나옵니다. 그런데 a가 1보다 작으므로 저 값은 1보다 작게 됩니다. 즉, 정사각형을 기울여도 그 변의 최대 길이는 1보다 커지지 않게 될 뿐더러, 공간을 더 많이 차지하게 됩니다.

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    •  
      Euler Lv.1 2018.06.01

      어떤 각도로 기울였을 때 넓이가 최대가 되게 한다면 그렇겠지만 그렇게 하지 않고 더 작게 만들어서 다른 사각형들의 사이에 들어간다면 더 효율적인 배치가 될 수도 있겠죠.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2018.06.01

      그럴까요? 잘 모르겠네요.(새로운 분들이 있어서 토론도 빨리빨리 되고 좋네요) 넓이도 그렇고 길이도 기울이지 않는게 더 효율적이지 않을까요?

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    •  
      Euler Lv.1 2018.06.01

      제가 기울어진 체로 길이를 2에 근접시킨 방법을 발견했는데요. 사진을 넣을줄 몰라서요.

      그냥 설명할게요.

      직사각형 긴변과 평행이고 넓이를 이등분하는 직선을 긋습니다. 그리고 그 변의 3등분점을 잡은 후 그 2개의 점을 지나고 짧은변과 평행하지 않은 선을 긋는데 그 선 2개는 서로 평행해야되요. 그러면 3개의 영역이 나오는데 거기에 사각형을 내접시키면 될것 같습니다. 여기서 그 2개선의 기울기를 변경시키면 어떻게 되지 않을까요? 제가 좌표평면에 올려서 해보겠습니다. 다른 좋은 방법 있으면 알려주세요.

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    •  
      Euler Lv.1 2018.06.01

      새로 생각난 방법이 있는데 일단 넓이가 1인 사각형을 한쪽끝에 배치하고 반대쪽 1*1공간에 사각형을 기울어지게 배치하는건 어떨까요?

      제가 추측하기로는 그냥 평행하게 넣는것보다는 기울여서 넣는게 더 좋을것같거든요.

      아니면 몇개는 평행하게 몇개는 기울어지게 놓는 겁니다. 위와 같은 방법이죠.

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    •  
      시그마 Lv.4 2018.06.03

      Euler님, 사진 올리는 법 알려드릴게요. 사진을 보세요이곳에서 파일선택 후카메라를 선택한 뒤, 찍으세요.

      파일명이 뜨면 서버로 이동 버튼을 누르시고요,

      이미지정보 들어가셔서 맨 아래 확인버튼 누르세요

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    •  
      Euler Lv.1 2018.06.03

      저는 컴퓨터로 하는데 이렇게 하면 되나요?

      예전에 몇번 해보려고 했는데 계속 안들어가져서...

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    •  
      시그마 Lv.4 2018.06.03

      어떻게 말이죠? 스크린샷을 해서 보여주세요

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  •  
    J.O.S Lv.1 2018.06.02

    아 딱히 좋은 방법이 떠오르지 않네요 ㅋㅋㅋ우선 기울이는게 최선일듯 한데요

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    •  
      Euler Lv.1 2018.06.02

      아무래도 그렇죠. 기울이지 않으면 최대가 무조건 2가나오거든요.

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    •  
      J.O.S Lv.1 2018.06.02

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    •  
      Euler Lv.1 2018.06.02

      기울기가 m이라 하면 가운데 영역에 들어갈 정사각형의 넓이는

      \frac{\left | m \right |}{\sqrt{m^{2}+1}}인것 같아요.

      나머지는 두가지로 나눠서 해야될것 같아요

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    •  
      J.O.S Lv.1 2018.06.02

      1번과 2번을 나뉘서 각각 계산해보아야 한다는 말씀이세요?

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    •  
      astgneio Lv.1 2018.06.02

      그런데 꼭 짧은 변의 중점을 지나는 가로선을 삼등분한 점만 지나야 할까요?

      가운데 있는 정사각형을 크게 만들고 나머지 정사각형을 작게 만들어도 될 것 같은데요...

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    •  
      Euler Lv.1 2018.06.02

      그게 최대가 될것 같아서 그렇게 했습니다. 그러면 우선 두 직선의 Y절편이 같을때와 다를때로 나눠서 풀수 있겠네요

      우선 첫번째 방법으로 해보겠습니다.그 다음에 다른 방법을 해보죠.

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    •  
      Euler Lv.1 2018.06.02

      그리고 1번 2번은 평행하거나 기울이는것 2가지가 있습니다. 한 8시정도에 구해서 올릴게요.

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    •  
      Euler Lv.1 2018.06.03

      증명은 맞는것 같네요. 저도 3번 증명 끝나가니까 나중에 올릴게요.

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  •  
    시그마 Lv.4 2018.06.02

    길이를 이용해서 넓이를 구하는 방식은 어떨까요?

    예로들어 큰 직사각형은 2×1=2인거죠

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    •  
      Euler Lv.1 2018.06.02

      그것도 좋은 방법이네요

      정사각형의 넓이와 길이의 관계로 풀 수 있겠어요

       

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  •  
    MATHEMATIC Lv.1 2018.06.02

    제 생각으로는 정답이 2입니다.

    조건을 나누어서 풀어보도록 하겠습니다.

    i)위 그림과 같이 세 직사각형이 연결되어 있는 경우

    이 경우에는 x1+x2+x3가 2 아니면 1이므로 이 경우에서의 최댓값은 2

    ii)정사각형 하나의 변의 길이가 1인 경우

    만약 정사각형 하나의 변의 길이가 1이라면 나머지 세로 1, 가로 1이 남는데 이 상태에서 최댓값은 2

    iii)정사각형이 기울어져 있는 경우

    정사각형이 기울어져 있는 경우 정사각형 하나의 크기는 크기가 1인 정사각형을 넘지 못하고, 최댓값이 루트 2 나누기 2, 그리고 하나를 더 만든다고 판단했을 때 루트2 나누기 2, 그리고 남은 하나의 변 길이의 최댓값은 1 나누기 4. 그러므로 이 경우에서는 2를 넘지 못합니다.

    iv)한 변의 길이가 1 미만인 경우

    한 변의 길이가 1 미만일 때 변 길이의 합이 최대가 되려면 i)와 같은 경우로 이어지거나 그 1미만인 숫자를 사용하여 작은 정사각형 하나를 끼워 넣는 방법인데 이 또한 자명하게도 2를 넘지 못한다.

    이 4가지 조건을 통합해보면 최댓값은 2라는 것을 확인할 수 있다.

     

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    •  
      티민thymine Lv.1 2018.06.02

      정사각형기 기울어져 있는 경우, 한 변의 길이의 최댓값이 \frac{\sqrt{2}}{2}가 되지는 않습니다.

      한 변의 길이를 다르게 하면 2보다 큰 값이 나올 수도 있지 않을까요?

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    •  
      MATHEMATIC Lv.1 2018.06.02

      그러면 기울여져 있는 정사각형에 초점을 두고 보지 않았을 때는 2가 맞는데, 기울여져 있는 정사각형에 고려를 해보아야 한다는 말씀이시군요

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    •  
      MATHEMATIC Lv.1 2018.06.02

      생각을 한번 해 보겠습니다!smiley

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    •  
      Euler Lv.1 2018.06.03

      iii에서 몇개의 정사각형은 기울이고 나머지는 기울이지 않는 방법도 쓸 수 있겠네요.

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    •  
      MATHEMATIC Lv.1 2018.06.03

      iii)의 경우에서 제가 해보았을 때는 2를 넘는 것이 없었습니다...

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    •  
      Euler Lv.1 2018.06.03

      그렇다면 iii에서 조금 더 추가적인 증명이 필요할듯 하네요. 제가 위에 썻던 방법으로 하면 되겠어요. 구역을 3개로 나누고 각각 구하는 방법이요.

      그리고 이 네가지에도 들어가지 않는 특정한 경우는 없을까요?

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    •  
      MATHEMATIC Lv.1 2018.06.03

      Euler 님, 저도 그것이 의문입니다.

      새로운 경우를 찾으려고 노력중인 상태에 있습니다!

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  •  
    시그마 Lv.4 2018.06.03

    증명해봤어요.x_{1}=1이면 최댓값이 2더군요.참고로 h는 최댓값을 말하는 것입니다.

     

     

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    •  
      시그마 Lv.4 2018.06.03

      제가 MATHEMATIC님의 의견에 뒷받침하는 셈입니다 yes

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    •  
      Euler Lv.1 2018.06.04

      사진 확대하니까 화질이 깨지는데 leopark1228@naver.com 으로 보내주세요.

      검토해드릴게요.

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  •  
    시그마 Lv.4 2018.06.03

    문제에서 오타가 있습니다. 16번째가 아니라 18번째 아닙니까?

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2018.06.03

      앗, 수정했습니다. 시그마 친구 눈썰미 쵝오!!surprise 

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  •  
    시그마 Lv.4 2018.06.04

    증명:  h_1=1이고, x_2이 기울어져 있다면  h_1+h_2+h_3 의 최댓값은?

    정사각형 x_1,x_2,x_3의 한 변의 길이를  h_1,h_2,h_3이라고 가정하자.

    -증명 1:x_1의  크기변화-

    x_2와 외접하는 정사각형을 그린다고 하자 (이것은 남은 사각형 x_3의 크기가 x_2가 기울어져지지 않을때보다 확장될 수 있음을 알리기 위한 용도입니다.)

     

    만약 \varepsilon이 늘어난다면 h_2와 j이 줄어든다. 반대로 h_2가 늘어나면 \varepsilon이 줄어들기 떄문에 h_2,j,\varepsilon는 비례적이다. 이 관계는 다음과 같이 표현 가능하다.

    h_2+j+\varepsilon=1

    h_3의 최댓값이 \varepsilon이 아닌 j+\varepsilon이기 때문에 

    h_2+h_3=1

    라고 표현할 수 있다. 이를 검증하는 방법은 다음과 같다

    \varepsilon와 jh_2의 길이를 직사각형의 세로부분에 이어 표시한다. 그러면 항상 직사각형의 세로 부분이 꽉 차게 된다. 세로부분이 1이기 때문에 h_2+j+\varepsilon=1라고 할 수 있다.

    \therefore  h_1의 세변이 직사각형에 닿아있다면 최댓값은 2이다.

    Q.E.D

    -증명2:  x_1의 위치변화-

    만약 x_3이 x_2와 떨어져 있다면  j부분을 사용할 수 없어  h_2+h_3=1-j가 된다. 설령 x_2와 붙어있다고 해도 x_1이 움직이면 x_2,x_3의 크기가 작아짐으로 x_1을 움직이면 최댓값이 될 수 없다.

    Q.E.D

    -증명3:  x_2의 기울어짐 변화-

     x_2가 기울어짐의 정도를 수정해도 j가 줄어들거나 커지기때문에 이는 항상 비례적이고, 항상 h_1+h_2+h_3=2를  유지한다.

    Q.E.D

    -결론-

    h_1=1 이고, x_1가 기울어져 있다면h_1+h_2+h_3의 최댓값은 2이다.

    \huge Q.E.D{\color{Cyan} }

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    •  
      Simon Lv.2 2018.06.04

      어떤 정사각형이 외접하는 정사각형을 잡는 방법은 그 정사각형으로 인해 원래 있던 다른 정사각형과 겹칠 수 있으므로 불가하다고 생각합니다.

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    •  
      시그마 Lv.4 2018.06.05

      simon님, 그 외접하는 정사각형은 그만큼 확장 될 수 있다라는 것을 뜻하는 것이지 실제 simon님이 지적한 부분에는 아무 상관이 없음을 알려드립니다.enlightened

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    •  
      Simon Lv.2 2018.06.09

      h_1=1이면 x_1은 기울어질 수 없습니다. 직사각형의 높이가 1인 부분을 검토해 보시기 바랍니다. 가정에 오류가 있었네요

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    •  
      시그마 Lv.4 2018.06.10

      앗 오타네요.바꿨어요 

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2018.06.11

      시그마 친구의 풀이는 곧 백진언 연구원님께서 직접 의견을 달아 줄 예정!!laugh

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    •  
      출제자 Lv.1 2018.06.19

      안녕하세요 시그마 친구! 답장이 늦어서 미안해요. 이런 저런 일로 바빴네요 ㅜㅜ
      문제에 관심 가져줘서 정말 고마워요. 풀이에 대해 몇가지 코멘트할 게 있어서 댓글로 달게요.

      전체적으로 풀이를 모든 사람들이 이해할 수 있게 배려해서 쓰면 좋을 거 같아요.
      먼저 풀이가 증명 1, 2, 3으로 나눠져 있는데, 이게 경우를 나눈 것인가요? 증명에 달린 제목만 가지고는 어떤 경우를 고려했는지가 명확히 전달이 잘 되지 않네요. 증명 1, 2, 3이 각각 뭘 고려하는지를 더 명확하게 써주면 사람들이 이해할 수 있을 거 같아요.
      그리고 증명 1에서 h_2, j, \epsilon가 비례적이라고 하는 표현은 어떤 의미인가요? 비례식 이 항상 일정하다는 건지, 아니면 h_2, j, \epsilon 중 하나만 결정되면 다른 두 변수가 결정된다는 건지 등 좀 더 명확한 표현으로 서술해주면 이해가 될 거 같아요. 그리고 그림에서 \epsilon가 의미하는 게 뭔지 그림만 가지고는 파악이 잘 안 되네요 (추측하기로는 x_3을 반대쪽 구석에 가로/세로로 평행하게 넣었을 때 x_2의 외접사각형과 겹치는 길이인거 같아요)
      마지막으로, 풀이에서 항상 x_2가 왼쪽 위 구석에 위치해있다는 가정이 그림에 내포되어 있는데, 이것도 x_2가 왼쪽 위 구석에 위치해있지 않은 경우까지 모두 고려해줘야 합니다. 마찬가지로 x_3도 충분히 기울어질 수 있어요. x_2, x_3이 둘 다 기울어져 있고, 구석에 있지 않은 모든 경우까지 전부 고려할 수 있는 풀이가 완성되어야 증명으로 인정해줄 수 있을 거 같아요~

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  •  
    Simon Lv.2 2018.06.04

    함수를 구했어요!!!

    \sqrt{2x^2+\frac{1}{2}} +(1-x)(1+2x)

    이고 Demos를 이용해 풀어보면 최대가 2가 나와요!!

    오늘은 늦었으니 증명은 내일 올리도록 하겠습니다 ^^

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  •  
    김우현 기자 Lv.4 2018.06.05

    친구들! 증명이 잘 보이도록 수식이나 글은 직접 치고, 그림은 따로 찍어서 올려줄 수 있나요~?ㅜㅜsurprise 

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  •  
    연속체가설 Lv.1 2018.06.05

    일단 가장 큰 정사각형의 길이(x1)는 1로 타고 남은 1x1 정사각형 안에서 찾으면 될 거 같은데요?

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    •  
      시그마 Lv.4 2018.06.05

      그림으로 설명 부탁드릴께요~

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    •  
      연속체가설 Lv.1 2018.06.07

      네~

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    •  
      연속체가설 Lv.1 2018.06.07

      근데 사진이 안 올라가서요...ㅠㅠ

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    •  
      연속체가설 Lv.1 2018.06.07

      제가 그려 보니까 어떻게 해도 x2+x3이 1을 못 넘어서 전 최댓값이 2라고 생각합니다.

      *저 초등학교 4학년이라 수학 못합니다...

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    •  
      시그마 Lv.4 2018.06.07

      앗, 저도 초4인데~~동지를 만나 기쁘네요!laugh

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  •  
    MATHEMATIC Lv.1 2018.06.05

    이제부터는 반례를 찾는 것보다는 최댓값이 2라는 것에 초점을 두고 증명을 해야 할 것 같다는 것이 제 개인적인 소견입니다.

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    •  
      MATHEMATIC Lv.1 2018.06.05

      Simon 님, 그 함수는 어떻게 해서 나온 것이죠?

      궁금해서 물어봅니다laugh

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    •  
      Simon Lv.2 2018.06.06

      검토 중에 오류가 하나 생겨 더 확장하고 있습니다. 확실하게 검토한 후 올리겠습니다. (근데 위에 증명하신 분 있지 않았나요?? 제가 잘못 생각했었는데 그분 증명 맞나요??

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  •  
    푸른물결 Lv.1 2018.06.18

    2+\frac{\sqrt{2}}{2}

     

    이렇게 되면 겹치는 거라고 보나요?

     

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    •  
      시그마 Lv.4 2018.06.18

      겹친겁니다.

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  •  
    애플파이 Lv.1 2018.06.21

    연속으로 3개의 정사각형(ㅁㅁㅁ)의 경우에는 큰 직사각형의 한변의 길이인 2를 넘지 못하는게 확실하고, 큰 직사각형 옆에 작은 직사각형 2개를 놓는 경우에는 큰 정사각형의 한변인1 더하기 나머지 작은 두 직사각형의 한변의 길이의 합1 인 2를 넘지 못하기 때문에 2 이하인 것 같습니다.

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  •  
    구머 Lv.4 2018.06.22

    복귀

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  •  
    aqua797 Lv.1 2018.07.02

    \frac{5}{2}\sqrt{2}가 나옵니다.

    이 직사각형을 한 변의 길이가 1인 정사각형으로 나눈 후 그 정사각형의 중점을 이으면 한 변이 \sqrt{2}인 정사각형이 총 2개가 나옵니다.그리고 직사각형의 긴 변의 중점에서 빈 공간에 한 변의 길이가 \frac{1}{2}\sqrt{2}인 정사각형이 나오며, 이를 모두 합치면 \frac{5}{2}\sqrt{2}가 됩니다. 이의 대략적인 값은 약 3.182이며 이 값은 2를 넘습니다.

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    •  
      구머 Lv.4 2018.07.02

      구한 값에 2를 나눠야 하실것 같은데요 ㅜㅜ

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    •  
      aqua797 Lv.1 2018.07.02

      2로 나눠야 하는 이유가 뭔지 조금만 자세하게 설명해 주실 수 있나요?

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    •  
      구머 Lv.4 2018.07.02

      설명이 될까요?

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    •  
      aqua797 Lv.1 2018.07.02

      이해됐어요ㅠㅠ설명 감사합니다

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  •  
    약간 수학 Lv.1 2018.11.06

    정사각형이 겹치지 않는다면 정사각형안에 정사각형이 들어가 있어도 되나요?

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    •  
      김우현 기자 Lv.4 2018.11.07

      한 사각형 안에 다른 사각형이 있는 경우도 겹치는 걸로 생각합니다. smiley

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  •  
    Fermat314 Lv.2 2019.02.15

    가운데 직사각형이 기울어져있고 양옆이 대칭일 때를 잡아서 해봤는데 울프럼 알파로 계산한 결과 역시 2가 나옵니다. 여러 경우로 일반화해서 풀어야 할 것 같은데 약간 막막하네요.

     

    가장 큰 정사각형을 X1이라 잡으면 X1의 변이 직사각형의 변과 맞닿는 경우에 대해서는 할 수 있을 것 같은데 아래처럼 기울어져있는 경우에서는 따져야 할 게 많은 것 같아요. 대칭이 아닌 경우도 증명해야하고, 꼭짓점이 직사각형의 변 위에 있지 않은 경우도 따져봐야 하고..

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    •  
      아인수타인 Lv.11 2019.02.16

      딱 보면 2보다 작을 거 같은데 저게 정확히 2라고요...?

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    •  
      Fermat314 Lv.2 2019.02.16

      k=1일 때이므로 정확히 말하면 정사각형이 기울어진 게 아니라 수직일 때죠. 엄밀하게 말하면 X1이 기울어진 상태라고 가정했으므로 x1+x2+x3<2이지만 어쨌든 저런 상황을 가정하고 계산해도 결국 2가 나온다는 것을 보여준 것입니다.

       

      직관적으로 생각했을 때 x1이 기울어져있으면(좀 더 확장하면 x2, x3도 마찬가지) 최댓값이 2보다 작을 것 같은데, 이를 경우를 나눠서 증명해야 할 것 같습니다.

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    •  
      시그마 Lv.4 2019.02.18

      흠, 저는 다른 방법으로 수고하겠습니다.

      오랜만에 이 문제를 파시는 분이 생겼네요! 열심히 노력해주세요!

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  •  
    출제자(국) Lv.1 2019.02.18

    아마 답이 2인 거 같은데, 일단 더 간단한 경우로 1x1 정사각형 안에 두 개의 정사각형이 있을 때 두 변 길이의 합이 1 이하임을 보이는 건 어떨까요?

    원래 문제에서 맨 오른쪽에 정사각형을 크게 하나 넣으면 이 문제로 바뀝니다. 그러니까 이 문제가 (답이 2라면) 폴리매스 문제보다 쉬운데, 해볼만한 경우인 거 같아요

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  •  
    code Lv.4 2019.03.13

    일단 정사각형을 기울이지 않는다면 최댓값은 2가됨을 육안으로도 확인이 가능합니다(증명생략).

    기울이는 경우는 크게 3가지로 나눌수 있습니다.

    1)하나만 기울이는 경우

    2)두개의 정사각형을 기울이는 경우

    3)모두 기울이는경우

    -1.하나만기울이는 경우.

    길이가 1인 정사각형을 최대한 왼쪽으로 찔러(?)넣었다고 가정합시다.

    옆은 기울이지않은 1이 넘지않는 하나의 정사각형이고(아랫변에 붙어 있습니다.),

    그 옆의 정사각형도 값이 2를 만족하도록 있다고 가정합시다.

    이때 맨오른쪽의 것을 기울여본다고 합시다.

    만약에 하나를 기울였을때,

    값이 2가 되도록 하지 못한다면, 2를 넘는값은 없습니다.

    이 경우에는 기울이지 못하는데,

    오른쪽 모서리에서 돌리는 경우를 생각할때 기존의 정사각형이 있는위치와 겹치기때문입니다.(머릿속에는 있는데, 어떻게 증명할지를 모르겠네요..)

    (중간 정사각형이 아랫변에 붙어있는 것이 아니라면 더욱 안되겠죠?)

    (중간의 것도 똑같습니다.)

    맨 왼쪽의 것이 1이 아닌경우에는

    세로의 길이가 1이 넘지 못하기 때문에,

    다른 정사각형과 직사각형이 이루는 윗공간, 또는 아랫공간이 1인 경우보다도 더 부족합니다.

    따라서 2가 넘는 경우는 1.에서는 없습니다.(중간것을 기울인다고 해도 같은 방법으로 설명가능합니다.)

    -2.

    위와 같은 조건에서(맨 왼쪽이 1),

    오른쪽의 두 정사각형을 돌린다고 합시다.

    두 정사각형을 하나로 볼때,

    같은 기울기를 가지는 선분의 길의 합이 1이 되는 부분은 반드시 존재합니다.

    맨왼쪽이 1이 아니더라도 1번과 마찬가지로 2가 되는 경우는 없습니다.

    양사이드의 정사각형을 돌린다고 하더라도,

    1과 같은 경우가 됩니다.

    -3

    (이건 못하겠네요..)

     

    -만약 이 내용이 맞다면 우리는 3번이 2를 넘는경우가 없다는 것을 증명하거나, 3번의 경우에서 2가 넘는 경우를 찾으면 되겠네요.

    (설명이 많이 부족한점 죄송합니다.. 머릿속에는 있는데 증명을 어찌할지 모르겠네요.)

     

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    •  
      인간의 이중성 Lv.5 2019.03.16

      모두 기울이는 경우는 전체 직사각형을 기울인 도형에 덮이므로 결국 정사각형을 기울이지 않은 경우와 일치한다는 것을 증명하면 되지 않을까요?

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    •  
      code Lv.4 2019.03.17

      정사각형의 각변들의 일직선상에 있지 않은경우도 있습니다.

      기울여진 정도는 같다고 하더라도 왼쪽 아랫부분에 하나, 중간 윗부분에 하나 오른쪽 아랫부분에 하나 이렇게 있으면 고려 대상이 달라집니다.

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  •  
    출제자(국) Lv.1 2019.04.23

    힌트를 하나 올릴게요: 임의의 두 정사각형이 서로 겹치지 않게 배치되어 있으면, 어떤 직선이 있어서 두 정사각형 사이를 반으로 가를 수 있어요!

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    •  
      시그마 Lv.4 2019.05.29

      흐음.

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    •  
      구머 Lv.4 2019.12.30

      이거 진짜로 중요한 힌튼데 여러분 여기 주목해주세요!

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  •  
    시그마 Lv.4 2019.05.29

    아님 타일처럼 접근하는 건 어떨까요?

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  •  
    Riemann Lv.1 2019.05.30

    두 정사각형이 있고 두 사각형의 무게중심(두 대각선의 교점이라 할 수도 있고요)이 고정되어 있는 경우 두 정사각형의 변의 길이의 합은 두 사각형의 무게중심 사이 거리의 2배이고 이 경우 두 정사각형은 변의 일부를 공유하고 있습니다. 이걸 이용할 수도 있나요?

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  •  
    Riemann Lv.1 2019.05.30

    어, 그러고 보니까 이틀 뒤에 이 문제 나온지 딱 1년 되네요

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  •  
    Undefined Lv.1 2019.05.31

    lemma) 어떤 직각삼각형에 내접하는 사각형 중 넓이가 가장 큰 것은 빗변이 아닌 두 변에 접하는 사각형이다.

    pf) 세 변의 길이를 각각 a,b,c라고 하자. (c는 빗변)

    a,b에 접하는 정사각형의 한 변의 길이는 \frac{ab}{a+b}이다.

    c에 접하는 정사각형의 한 변의 길이는 \frac{abc}{ab+c^2}이다.

    두 식을 비교하면 앞의 식이 항상 더 큼을 알 수 있다.

     

    lemma에 따르면 구석에 기울어진 정사각형이 있는 경우는 최대가 아니다.

    따라서, 기울어진 정사각형은 최대 1개이며 가운데에 위치한다.

    i) 나머지 두 정사각형이 위쪽에 붙어 있는 경우

    ii) 나머지 두 정사각형이 서로 대각선에 위치한 경우

    수정: 비댓 품

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    •  
      시그마 Lv.4 2019.05.31

      궁금하네요. 비댓풀어주세요

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.05.31

      정사각형을 왼쪽부터 각각 A,B,C라고 하자. (B가 기울어진 것) 각각의 변의 길이를 a,b,c라고 하자.

      1) 

      case1

      B의 꼭짓점 2개가 A,B에 닿는 경우.->최대 2 자명

      2)

       

      B의 꼭짓점 하나가 C에 닿고 A의 꼭짓점 하나가 B에 닿는 경우.

      위의 분홍색 영역은 그 영역 안의 점을 중심으로 B를 회전시킬 수 있는 영역이다.

      회전시킨 후 a,c를 늘리는 시행을 반복하면 결국 수직에 도달 할 것이다.

      즉, 저 영역이 항상 존재하면 최댓값은 수직일 때, 2가 된다. 

      항상 존재하는가?

       

      3)

      A,C의 꼭짓점이 B에 닿는 경우(이런 경우는 A,C가 서로 대각선에 위치한 경우밖에 없음)

      위의 분홍색 영역은 그 영역 안의 점을 중심으로 B를 회전시킬 수 있는 영역이다.

      회전시킨 후 a,c를 늘리는 시행을 반복하면 결국 수직에 도달 할 것이다.

      즉, 저 영역이 항상 존재하면 최댓값은 수직일 때, 2가 된다. 

      항상 존재하는가?

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    •  
      출제자(국) Lv.1 2019.06.01

      좋은 접근입니다! 다음과 같이 코멘트를 드려요.

      1. 렘마 증명에서 직각삼각형에 내접하는 사각형의 넓이의 최대값을 찾으실 때 말씀하신 두 경우가 아닌 어중간하게 회전한 사각형의 경우에도 고려를 해줘야 해요. 하지만 렘마 자체는 성립하는 명제일 거고, 증명의 핵심은 렘마를 어덯게 활용하는지에 달려 있으니 이 경우를 놓친 게 풀이의 핵심을 해치지는 않는다고 생각해요.

      2. 렘마를 적용하는 부분에서 전반적인 아이디어가 이해되지만 여러가지 채워야 할 과정이 있어요. '구석에 정사각형이 있다'는 것이 어떤 경우인지, 그리고 왜 그 경우를 가정해도 되는지를 수학적으로 엄밀하게 정의하고 설명해줘야 할 것 같구요 (이를테면 최적의 경우에 모든 정사각형들이 큰 박스의 긴 변에 닿지 않게 안에 들어갈 수도 있으니까요), 구석에 기울어진 정사각형이 큰 박스의 두 변과 접하는 경우에도, 기울어진 정사각형을 바로 하는 과정에서 다른 두 정사각형들 중 하나랑 겹쳐 논리가 적용되지 않을 수 있어요.

      3. 마찬가지로 왼쪽부터 정사각형들을 A, B, C라고 하실 때도 '왼쪽부터'의 기준을 정할 필요가 있을 것 같아요. 세 정사각형들이 왼쪽부터 '차례대로' 있는 경우가 아닌 두개나 세개가 세로로 쌓여 있는 경우에도 그런 기준이 명확하게 정해져 있어야 해요.

      아이디어가 전반적으로 문제를 접근하는데 잘 맞는 것 같아요. 구체적인 가능한 상황들도 다양하게 제시되어 있구요. Undefined님이 아닌 다른 분들도 이쪽 방향으로 같이 생각해보면 좋을 것 같아요!

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    •  
      code Lv.4 2020.01.06

      개인적으로 궁금해서 물어보는데, 혹시 답변해주실수있으신지요?

      저 분홍색영역이 왜 B를 회전시킬수있는영역이 되는건가요?

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  •  
    Undefined Lv.1 2019.07.22

    위의 2번 경우 Lemma를 한번 더 적용하여 가운데 직사각형이 접할 때가 더 큼을 보일 수 있다.

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    •  
      Undefined Lv.1 2019.08.03

      lemma의 좀 더 엄밀한 풀이의 경우 다른(접하지 않는) 직사각형들은 평행이동해서 두 꼭짓점이 빗변이 아닌 변에 닿게 하고 lemma의 위의 증명한것을 이용하여 회전한것보다 접하는것이 큼을 보일 수 있다

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    모두다같이 Lv.1 2019.09.15

    앞에서 Euler 님이 말씀하신대로 적어도 정사각형 하나라도 기울이지 않고서는 각변길이총합이 2를 넘길수가 없네요. 직사각형 내에 있는 정사각형들을 왼쪽부터 A,B,C라 하면 A,B는 그대로 둔 채 C를 기울여 살펴보면 의미있을것 같아요.

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    •  
      모두다같이 Lv.1 2019.09.15

      /resources/comment/2019/09/4af689e1009b5c733af5d3eaf60e069a.jpg

      /resources/comment/2019/09/f0afc737c879a451734f5a307a27ab68.jpg

      그림처럼 기울어진 정사각형 C를 둘 때 C의 변 l은 B와 직사각형 우변 사이 길이 (1-x)보다 길어야 해요. 그래야 변길이 총합이 2보다 크지요. 그림을 보면 직사각형 윗변과 C 사이 각 세타를 설정해뒀어요. 그리고 직사각형 아랫변의 중앙을 원점으로 잡았구요. 

      B는 B의 꼭짓점이 C의 변과 닿은 채로 위치하고 있어요. 이때 B는 원점 좌측으로까지 넘어와야해요. 그러니까 B의 좌측하단 꼭짓점이 원점보다 왼쪽에 위치해야해요. 그렇지않으면 정사각형A를 변길이1인 정사각형으로 최대루 설정해도 각 변길이총합이 2를 넘지 못할수도 있으니까요. 그래서 그림에 빨간색으로 P를 그려두었어요. B의 우측하단 꼭짓점 x좌표값을 X라 할때 X는 빨간색P보다 작아야되요.

      직사각형 우측하단 꼭지점 x값은 1이에요. 그리고 x축에서 직사각형우측하단꼭지점으로부터 왼쪽으로 l만큼 뻗은 지점의 x좌표값은 1-l이네요.

      X와 1 사이의 길이가 C변 길이 l보다 크거나 같다면 의미가 없어요. 때문에 X는 1-l보다 커야해요.

      정리하면 1-l < X < 빨간색P 여야해요. 1-l < 빨간색P 여야하네요. 그림처럼 상황을 좌표계에 옮겨 빨간색P x좌표값을 찾아보니 1-l\frac{1+\sin\Theta\cos\Theta}{\sin\Theta+\cos\Theta}였어요.

      분수부분을 살펴보니 0 \leq \Theta \leq \frac{\pi}{2}에서 최소값이 1이여요.

      그러니 1-l = X = 빨간색P 인 X는 있지, ( 이때 세타값은 0, 파이/2 예요.)

      1-l < X < 빨간색P 인 X 값은 없네요. 

      정리하면 정사각형C 를 기울여봐도 각변길이합이 2보다 큰 경우는없었습니다.

       

       

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  •  
    code Lv.4 2019.12.30

    왜 기울어진거지...?

    하나의 정사각형의 변의 길이가 1이라 가정하고 1×1의 상태에서 풀어보았습니다.

    undefined님의 놀라운 아이디어를 조금 더 구체화 했습니다.

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  •  
    구머 Lv.4 2019.12.31

    개요:

    0. 정의: 

    x1+x2+x3의 값이 3보다 작은 것은 자명하다. 그러므로 x1+x2+x3의 최댓값이 존재하며, 이를 M이라고 하자. 또한, x1+x2+x3이 M인 배치의 집합을 "M-집합"이라고 정의하자.

    두 정사각형 A,B가 있을 때, A를 B와 충돌하지 않고 왼쪽으로 밀 수 있을 때, "A가 B보다 왼쪽에 있다"라고 정의하자. (두 정사각형을 가로지르는 선이 존재하기 때문에, 이런 관계는 어떤 두 정사각형이 주어져도 정의된다)

    비슷한 방법으로 "A가 B보다 위에 있다"라는 관계를 정의할 수 있다.

     

    1. (보조정리) 임의의 직각삼각형에 들어갈 수 있는 가장 큰 정사각형은 아래 그림처럼 두 직각인 변에 접하는 정사각형이다. - 증명은 code님 풀이 참조

    1.1. (보조정리)그림처럼 깍인 1X1 정사각형에 들어갈 수 있는 가장 큰 정사각형은 그림과 같다. (1번 보조정리에 의해 성립)

     

    2. M-집합의 임의의 배치에 대해, 가장 왼쪽과 오른쪽에 있는 정사각형(A,C)은 기울어지지 않았다.

    M-집합의 어떤 한 배치 X를 생각하자.

    그리고 X에서 가장 왼쪽에 있는 정사각형을 A, 중간의 정사각형을 B, 오른쪽의 정사각형을 C라고 정의하고, A와 C를 직사각형의 변에 붙을 때까지 왼쪽, 오른쪽으로 평행이동시키자. 그 후, A와 C를 위아래로 평행이동시켜 직사각형의 두 변과 맞닿도록 만들자. 이러한 변형을 통해 만든 배치 또한 M-집합의 원소임을 알 수 있다.

     

    변형 전:                                 변형 후: 

    이제 변경 후의 배치에서, B와 C를 가로지르는 직선을 생각하자. 이때, 정사각형 C는 다음과 같은 공간 안에 있음을 알 수 있다.

    그런데 1.1 보조정리에 의해, 저 공간 안에 들어갈 수 있는 가장 큰 정사각형은 C가 기울어지지 않았을 때이다. 따라서 기존의 배치 X에서 C가 기울어지지 않은 상태여야만 하며, 같은 방법으로 A또한 기울어지지 않은 상태이다. 

     

    3. 가운데에 위치한 정사각형(B) 또한 기울어지지 않은 상태이다.

    (귀류법 사용) M-집합의 어느 한 배치 X가 존재하여, X의 B가 기울어진 상태라고 가정하자. 이때, 풀이과정 2의 변형을 진행해도, A와 C의 크기가 변하지 않으므로 "변형된 X 또한 M-집합의 원소이다"라는 명제가 성립해야 하는데, 이 명제에서 모순이 발생하게 된다. -(이 부분은 undefined 님의 풀이에서 확인 가능하나, 추후 따로 증명을 올릴 생각)

     

    4. 따라서 M-집합의 원소들은 모두 A,B,C가 모두 기울어지지 않은 상태이며, 이때 최댓값은 2가 됨을 확인할 수 있다.

     

     

     

     

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    •  
      구머 Lv.4 2020.01.06

      풀이 1차 완성

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    •  
      21세기오일러 Lv.11 2020.01.06

      드디어 해결이되나요?!( 전 해결 안됬으면 좋겠어요. 제 최애 문제라 제가 수학을 더 잘하게 되면 풀고 싶어요.)

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    •  
      21세기오일러 Lv.11 2020.01.08

      2번에서 변형이 가능하나요? m-집합의 원소인 배열들은 세 정사각형이 서로 만나고 있어야 하지 않나요? 따라서 보조정리에 따라 돌리면 b와 겹치는 경우가 생길수도 있지 않나요?

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    •  
      21세기오일러 Lv.11 2020.01.08

      그리고 B와 C를 가로지르는 선이 저 파란선이 될 수도 있고 무한히 많으므로 보조정리에 따라 돌린 정사각형이 무한히 많지않나요?

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    •  
      해결
      구머 Lv.4 2020.01.09

      첫번째 질문의 답: 질문의 의도를 정확히 파악하지 못했으나, 변형이라는 것은 그저 정사각형들을 "평행이동"시키는 행위입니다. 돌려서 b와 겹친다는 말이 왜 나온건지 모르겠네요.

       

      두번째 질문의 답: 먼저 돌린 정사각형이 무한하다는 것은 팩트.(말이 좀 애매한데 돌린 정사각형이 "1X2 직사각형과 평행한(?) 정사각형"이라는 뜻이겠죠?)

       하지만 개요 2에서 따지는 것은 "A와 C가 기울어지지 않았다!": 이 부분만 따지고 있습니다. 따라서 만약 C가 기울어진 경우, 보조정리에 의해 변들의 합이 더 큰 배치가 존재하기 때문에 기울어진 경우는 M-집합 원소의 후보로 들어갈 수 없음을 말하고 있습니다.

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      code Lv.4 2020.02.12

      undefined 님이 답이 없으신데, 구머님께 물어봐도 되나요?

      3번 과정에서의 증명이 undefined 님의 증명에서 확인이 가능하다고 하셨는데, 잘 이해가 가지않네요.

      저 영역이 무엇을 의미하고 증명에서 어떤 역할을 하는건가요?

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    구머 Lv.4 2020.01.06 비밀댓글
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      수학동아 2020.01.13

      늦어서 죄송합니다! 정답 맞는 것으로 확인 됐습니다. 주정훈 멘토는 이 문제가 폴리매스의 취지에 맞게 구머 친구뿐 아니라 여러 학생들이 머리를 맞대 풀어낸 문제인 것 같다고 하네요. 모두 축하합니다~!^^

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      21세기오일러 Lv.11 2020.01.13

      저도 풀이 좀 알려주실 수 있나요? (ㅠㅠ 제가 가장 풀고 싶은 문제였는데...)

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      구머 Lv.4 2020.01.14

      비밀댓글은 그냥 위에 댓글 답 확인해달라 한거고, 진짜 풀이는 위에 저거에요!

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