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폴리매스 문제
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[대한수학회] 대40. 연속함수의 근사
수학동아 2020.04.01 17:11 조회 3872

구간 \left [ a, b \right ]에 정의된 연속함수 f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}가 있을 때, 다음과 같이 함숫값의 가장 큰 값을 정의할 수 있다.

 

\left \| f(x) \right \|=max\left \{ \left | f(x) \right | :a\leq x\leq b\right \}

 

위 개념을 어디에 사용할 수 있는지 간단한 예와 함께 생각해 보자. \left [ -1, 1 \right ]에서 함수 f(x)와 '가장 가까운' 0차 함수(상수함수)를 찾으려면 어떻게 할까? f와 상수함수 g(x)=c의 차이인 \left \| f(x)-c \right \|의 값이 가장 작아지도록 실수 c를 찾으면 된다. 예를 들어, f(x)=x^{2}이면 c=\frac{1}{2}임을 쉽게 알 수 있다.

 

 

f(x)와 '가장 가까운' 0차 혹은 1차 함수를 찾으려면 어떻게 할까?  f와 함수 g(x)=ax+b의 차이인 \left \| f(x)-ax-b \right \|의 값이 가장 작아지도록 실수 a, b를 찾으면 된다. 역시 f(x)=x^{2}이면, a=0, b=\frac{1}{2}일 때 이 값이 가장 작아짐을 확인할 수 있다.

 

 

위의 예제를 일반화해 보자. 구간 \left [ a, b \right ]에서 정의된 연속함수 f(x)를 다른 두 함수 g(x), h(x)로 근사하려면 \left \| f-cg-dh \right \|의 값이 가장 작아지는 상수 c, d를 찾으면 된다. 이때 이러한 함수 cg(x)+dh(x)를 함수 f(x)의 g, h를 사용한 근사라고 부른다. 따라서, 위의 첫 예제에서는 상수함수 y=\frac{1}{2}이 f(x)=x^2의 g(x)=1을 사용한 근사이고, 두 번째 예제에서도 함수 y=\frac{1}{2}이 f(x)=x^2의 g(x)=1, h(x)=x를 사용한 근사가 된다.

 

 

1. 구간 \left [ -1, 1 \right ]에서 f(x)=x^4와 가장 가까운 0차 혹은 1차 함수를 찾아라. (즉, g(x)=1, h(x)=x일 때, f의 g, h를 사용한 근사를 찾아라.)

 

 

2. 구간 \left [ 0, \frac{\pi }{2} \right ]에서 f(x)=sinx와 가장 가까운 0차 혹은 1차 함수를 찾아라.

 

 

3. 구간 \left [ -1, 1 \right ]에서 g(x)=1, h(x)=x라 하자. 주어진 연속함수 f에 대해 f의 g, h를 사용한 근사가 항상 하나 뿐일까? 아니면 둘인 경우도 있을까?

 

 

4. 구간 \left [ 0, 1 \right ]에서 연속함수 f(x)를 두 함수 g(x)=1, h(x)=x^2로 근사하려고 한다. 고정된 상수 c, d에 대해 함수 j(x)=f(x)-c-dx^2를 생각하자. 구간 \left [ -1, 1 \right ]에서 j(x)의 함숫값의 크기가 최대인 점이 두 개라고 하자. 그러면 j(x)는 f(x)의 g, h를 사용한 근사가 될 수 없다. 이를 증명하라.

※문제의 조건에 오류가 있었습니다. 학생들의 의견처럼 구간이 [-1, 1]이 아닌 [0, 1]이 맞습니다. 교수님께서 확인해 주셨습니다.

 

 

5. 꼭 두 함수가 아닌, 여러 함수를 사용한 근사 역시 생각할 수 있다. \left [ 0, 1 \right ]에서 네 함수 1, x^2, x^4, x^6​​​​​를 사용한 근사를 생각해 보자. 주어진 연속함수 f에 대해 f의 1, x^2, x^4, x^6을 사용한 근사가 항상 하나 뿐일까?

 

※현재 잠정적으로 문제 1, 2번은 맞은 상태입니다(멘토 검토 완료, 교수님 확인 요청 중). 나머지 문제도 열심히 도전해 주세요!

댓글 116
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    파스칼 Lv.7 2020.04.01 19:09 비밀댓글
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      리프 Lv.6 2020.04.01 19:12

      몇 번 풀이인가요?

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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.04.01 19:20 비밀댓글
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      파스칼 Lv.7 2020.04.01 19:21

      1번 풀이입니다.

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.06.17 19:58

      김다인 멘토가 검토한 결과 잘 푼 것 같다고 합니다. 다른 소문제와 함께 교수님께 최종 검토를 요청드릴게요~!

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  •  
    유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.04.01 19:21
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    최댓값은 결합법칙이 성립합니다

    다익스트라알고리즘을 참고하면

    "최댓값은 여러 최댓값으로 이루어져있다" 라는 의미로 만든 최댓값경로 알고리즘입니다

    즉, c \in\mathbb{R}, ||f(x)+g(x)+c|| = ||f(x)||+||g(x)||+c 이라는 것입니다

     

    위의정리(다익스트라)를 쓰면 재미가없어집니다

    따라서 다른 방법으로 풀어봅니다

    일단 제가정의한 정리를 보시죠

    근삿값함수를 a(x) 라고하죠 (Approximation의 준말)

    그러면 \frac{d}{dx}f(k) = 0을 만족하는 k에대해 \frac{d}{dx}a(j) = 0가존재한다

     

    그이유는 최댓값이 가장 근접한 함수이므로

    다음그림과같이 근사값함수도 최댓값의 '위치(기울기)' 는 있습니다

    기울기 0인 극값은 그냥 예로 들은 것입니다

     

    그러면 소문제 1번을 풀어봅시다

     

    f(x)의  최댓값은 폐구간 [-1,1]에서  x = -1 OR 1일때 1이 최댓값입니다

    이함수를 미분하면 f ' (x) = 4x^3이므로 이것이 1이되려면 x = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} 입니다 

    일차함수자체에 상수함수가 포함되므로 g(x) = b(x-n)+m 으로 합니다

    이제 이것을 f(x)에 빼줍니다 

    어딘가의 기울기가1인곳이있고 그것은 \frac{1}{\sqrt[3]{4}}인 x좌표값에 상당히 근접해야합니다

    (x^4-bx+bn-m) ' = 4x^3-b

    \therefore 4x^3-b = 1, 4x^3-b-1 = 0, x = \frac{\sqrt[3]{b+1}}{\sqrt[3]{4}} 하나의 해밖에 존재하지않습니다

    여기에서 가장 \frac{1}{\sqrt[3]{4}}에 근접하려면  b = 0인 방법밖에없습니다 

     

    따라서 이는 상수함수 0일때 빼고는 불가능합니다

     

     

    다른 소문제 2,3,4,5등은 시간관계로 다음에 풀게요
     

     

     

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    유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.04.01 19:26

    2번은 힘들어서 다익스트라쓸게요

    sin x의 이구간에서 최댓값은 1입니다

    1-c 의경우 1이 가장 좋습니다

     

    \therefore 1

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.06.17 20:01

      검토가 늦어져서 미안합니다.

       

      김다인 멘토가 다음과 같은 피드백을 줬습니다.

       

      다익스트라알고리즘은 그래프에서 최단 경로를 구하는 알고리즘입니다. 이 문제에서 다익스트라알고리즘을 사용할 수 있다고 말하려면, 알고리즘을 이 문제에 어떻게 적용시킬 수 있는지에 대한 수학적인 논의를 충분히 해주셔야합니다.
       

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    리프 Lv.6 2020.04.01 19:39 비밀댓글
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    •  
      최기자 Lv.4 2020.06.17 19:59

      검토가 늦어서 미안해요~! 김다인 멘토가 검토한 결과 다음과 같은 피드백을 줬어요~!

       

       "위에서 말한 변형을 시행할 경우, 닮음에 의해 y좌표 값의 차이는 동일한 비율로 감소함을 알 수 있다." 이 부분에서 동일한 비율로 감소하는 것은 근사시킨 일차함수의 기울기가 고정되어있을 때 뿐입니다. 기울기가 고정되어 있지 않을 때는 감소하는 비율이 달라지기 때문에 추가적인 논의가 필요합니다! 요약하면, 변형시킨 그래프에서의 근사 함수가 원래 그래프에서의 근사 함수가 되는지에 대한 좀 더 엄밀한 논의가 필요하다는 이야기입니다^^

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  •  
    유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.04.01 19:53

    설마 바이어 슈트라트 함수가 나오진않겠지..

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  •  
    delta Lv.7 2020.04.01 19:55 비밀댓글
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    •  
      delta Lv.7 2020.04.01 19:55

      아 문제를 잘 이해하지 못했네요 근사 공식은 위에 나온 것 같네요

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  •  
    구머 Lv.5 2020.04.01 20:09

    문제의 근사 형태가 일반적인 근사형태가 아니네요. 보통 ||f(x)||=\int_a^b |f(x)|dx로 정의하는 경우가 많은데, 이 문제에선 특이하게 |f(x)|의 최댓값으로 정의하네요.

    문제의 접근을 약간 기하적인 방식(?)으로 해야겠다는 생각이 듭니다. 1번2번3번은 난이도가 할 만하기 때문에 폴리매스회원 여러분께 맡기고, 저는 4번 5번에 도전해보겠습니다!

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    •  
      유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.04.01 20:17

      ||f(x)||=\int_a^b |f(x)|dx형태가 아닐텐데요??

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.04.01 23:46

      아마 난이도를 낮추기 위한 것 같습니다...

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    •  
      구머 Lv.5 2020.04.01 23:57

      ㄴㄴ 적분 오차 근사식은 일반화된 공식이 있어서 더 쉽습니다

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  •  
    파스칼 Lv.7 2020.04.01 20:23 비밀댓글
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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.04.01 20:28

      2번 풀이입니다.

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.06.17 20:00

      피드백이 늦어서 미안해요^^

       

      김다인 멘토의 검토 결과 2번 문제도 잘 푼 것 같다고 합니다. 1, 2번 문제를 교수님께 검토 요청드릴게요!

       

      다만 마지막에 a(cos^{-1}(2/π))에 대한 논의에서 부등식의 방향이 바뀐 것 같다고 하네요!

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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.06.17 22:02

      네 확실히 부등식의 방향이 바뀌었네요

      확인요청되어 바꾸기가 힘드네요ㅠㅠ

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.17 22:18

      파스칼님 2번 맞추신 것 같은데 시간 되시면 근사함수가 제가 그린 함수와 동일하게 나왔는지 확인해주실 수 있을까요? 제 수정된 풀이는 댓글창 맨 밑에 있습니다.

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  •  
    유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.04.01 20:30

    원래 최댓값이 2개이상이면 안되는거아닌가요?

    이건 주기함수나 바이어슈트라스 함수에만 성립하잖아요

    하지만 연속함수이므로 바이어슈트라스 함수는 뺍시다

     

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    •  
      구머 Lv.5 2020.04.01 20:41

      허접한 제가 알기로는 바이어슈트라스 함수는 연속함수입니다ㅜ

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    •  
      유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.04.01 20:48

      바이어슈트라스는 전구간미분불가능하므로 불연속일텐데요

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    •  
      구머 Lv.5 2020.04.01 20:52

      헉..무식한 구머ㅜㅜ. 근데 바이어슈트라스함수가 모든점에서 연속한데 모든점에서 미분불가능해서 의미가 있던게 아닌가요..?

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    •  
      유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.04.01 20:53

      그런가요? 제가 바이어 슈트라스에대해는 정확히 몰라서

      그냥 전구간 미분불가능함수라는것밖에모릅니다

       

      (무식함 22)

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.04.01 23:47

      구머님이 맞아요... 미분불가능하다고 연속함수가 아닌 것은 아니랍니다! 예를 들어 절댓값 x는 x=0에서 미분 불가능하지만 x=0에서 연속이죠

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  •  
    유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.04.01 20:47 비밀댓글
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    파스칼 Lv.7 2020.04.01 21:00 비밀댓글
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      파스칼 Lv.7 2020.04.01 21:06

      오류로 같은 댓글이 4개 올라갔습니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.04.01 21:08

      정확히는 5개네요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 등록 연타하시면 안 됩니다ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ (3번 풀이인가요?)

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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.04.01 23:35

      네 3번 풀이입니다

      지울수가 없네요 죄송합니다ㅠㅠ

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.06.17 20:02

      답변이 늦어 미안합니다.^^

       

      김다인 멘토가 다음과 같은 의견을 줬어요.

       

      "이때 |f(x)-a(x)|의 최댓값이 2개 이하만 존재한다면 평행이동이나 회전이동을 통해 최댓값을 더 줄일 수 있으므로" 부분을 엄밀하게 서술해주세요! 또한, a로 근사시켰을 때의 s와 b로 근사시켰을 때의 s가 같다고 쉽게 말할 수 없어요. 마지막으로, 절댓값을 무시할 때에는 부호에 대한 논의를 해주어야한다는 것을 기억해주세요!

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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.06.17 22:44

      총 3개의 논점이네요. 수정하며 원본 풀이도 공개하도록 하겠습니다

      <원본 풀이> 어느 연속함수 f(x)에 대해, 두 일차함수 a(x)와 b(x)가 존재하여 두 함수가 모두 f(x)에 근사한다고 가정하겠습니다. 이때 |f(x)-a(x)|의 최댓값이 2개 이하만 존재한다면 평행이동이나 회전이동을 통해 최댓값을 더 줄일 수 있으므로 |f(x)-a(x)|는 최소 3개의 최댓값을 갖습니다. b(x)도 마찬가지입니다. 이때 |f(x)-a(x)|이 최댓값을 갖는 x값 s에 대해, |f(s)-b(s)|>|f(s)-a(s)|일 수 없습니다. b(x)에 대해서도 마찬가지입니다. 이런 모든 s에 대해 f(s)-a(s)=f(s)-b(s)라면 a(x)=b(x)이고, 그렇지 않다면 c(x)={a(x)+b(s)}/2가 두 일차함수 a(x)와 b(x) 사이에 존재하며 f(s)-a(s)≠f(s)-b(s)인 모든 s에 대해 |f(s)-a(s)|>|f(s)-c(s)|이므로 적어도 하나의 최댓값이 이런 s이므로 처음 a(x)가 f(x)에 근사함에 모순입니다. 즉 a(x)=b(x)입니다.

      1.|f(x)-a(x)|가 최댓값을 갖는 x값이 2개 이하만 존재한다고 가정하겠습니다. x값이 0개 존재할 수는 없으므로 생략하겠습니다. 이런 모든 x들에 대한 순서쌍(x,f(x))가 1개 존재하거나 일차함수의 그래프를 기준으로 같은 쪽에 2개 존재한다면, 일반성을 잃지 않고 |f(x)-a(x)|가 최댓값을 가질 때 f(x)-a(x)>0이라고 하겠습니다. 그렇다면 -{f(x)-a(x)}의 최댓값 m은 f(x)-a(x)의 최댓값 n보다 작아야 합니다. 그러므로 n-m>0이고, 일차함수 a(x)를 y축 양의 방향으로 (n-m)/2만큼 평행이동시키면 |f(x)-a(x)|의 최댓값이 (n+m)/2가 되므로 a(x)가 f(x)에 근사함에 모순입니다. (x,f(x))가 서로 다른 쪽에 2개 존재한다면, 더 작은 쪽을 x1, 큰 쪽을 x2라 했을 때 일반성을 잃지 않고 f(x1)>a(x1), f(x2)<a(x2)라고 가정하겠습니다. 그 두 x값의 산술평균을 p라고 했을 때 x>p일 때 f(x)-a(x), x<p일 때 -{f(x)-a(x)}의 최댓값을 m이라 놓고 전체에서 |f(x)-a(x)|의 최댓값을 n이라 놓으면 m<n입니다. 즉, 점 p를 기준으로 충분히 작은 각도만큼 a(x)를 시계방향으로 회전시키면 m은 증가하나 여전히 n보다 작고 n은 감소하므로 최댓값이 작아져 a(x)가 f(x)에 근사함에 모순입니다.

      2.s가 같다는 뜻은 아니었는데 다시 읽어 보니 마치 같다고 한 것처럼 되었네요. 구분해서 다시 써보겠습니다.

      |f(x)-a(x)|이 최댓값을 갖는 x값 s1에 대해, |f(s1)-b(s1)|>|f(s1)-a(s1)|일 수 없습니다. 마찬가지로 |f(x)-b(x)|이 최댓값을 갖는 x값 s2에 대해, |f(s2)-b(s2)|>|f(s2)-a(s2)|일 수 없습니다. 이런 s_n(이후 모든 s_n, s, s_k등은 |f(x)-a(x)| 또는 |f(x)-b(x)|가 최댓값을 가지는 x좌표 중 하나)중 세 개 이상의 s_n에 대해 |f(s_n)-a(s_n)|=|f(s_n)-b(s_n)|라면, f(s_n)-b(s_n)=f(s_n)-a(s_n)인 점에 대해서는 a(x)와 b(x)의 그래프가 만나고 f(s_n)-b(s_n)=-{f(s_n)-a(s_n)}인 점에 대해서는 a(x)와 b(x)의 그래프에서 해당하는 점이 y축 방향으로 |f(s_n)-a(s_n)|의 정확히 두 배만큼 떨어져 있게 됩니다. a(x)와 b(x)가 일차함수이며 f(x)에 근사하여 모든 s_n에 대해 f(s_n)-b(s_n)=-{f(s_n)-a(s_n)}일 수는 없다는 점을 감안하면 a(x)=b(x)입니다. 또한 이런 s_n이 2개 이하만 존재한다면 c(x)={a(x)+b(x)}/2가 두 일차함수 a(x)와 b(x) 사이에 존재하며 |f(s)-a(s|)>|f(s)-b(s)|인 모든 s에 대해 |f(s)-a(s)|>|f(s)-c(s)|이고, |f(s)-a(s)|<|f(s)-b(s)|인 모든 s에 대해 |f(s)-a(s)|>|f(s)-c(s)|입니다. f(s_k)-a(s_k)=f(s_k)-b(s_k)인 s_k는 2개 이하이므로 |f(x)-c(x)|의 최댓값이 |f(x)-a(x)|의 최댓값과 같다면 c(x)의 최댓값은 2개 이하가 됩니다. 그런데 앞에서 |f(x)-a(x)|가 최댓값을 갖는다면 3개 이상 가져야 한다고 했으므로 모순이 됩니다.

      3.절댓값에 관한 부분은 1,2번을 검토하며 함께 수정했습니다.

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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.06.17 23:57

      위 세 가지를 모두 고려하여 수정한 최종 풀이는 다음과 같습니다:

      어느 연속함수 f(x)에 대해, 두 일차함수 a(x)와 b(x)가 존재하여 두 함수가 모두 f(x)에 근사한다고 가정하겠습니다. |f(x)-a(x)|가 최댓값을 갖는 x값이 2개 이하만 존재한다고 가정하겠습니다. x값이 0개 존재할 수는 없으므로 생략하겠습니다. 이런 모든 x들에 대한 순서쌍(x,f(x))가 1개 존재하거나 일차함수의 그래프를 기준으로 같은 쪽에 2개 존재한다면, 일반성을 잃지 않고 |f(x)-a(x)|가 최댓값을 가질 때 f(x)-a(x)>0이라고 하겠습니다. 그렇다면 -{f(x)-a(x)}의 최댓값 m은 f(x)-a(x)의 최댓값 n보다 작아야 합니다. 그러므로 n-m>0이고, 일차함수 a(x)를 y축 양의 방향으로 (n-m)/2만큼 평행이동시키면 |f(x)-a(x)|의 최댓값이 (n+m)/2가 되므로 a(x)가 f(x)에 근사함에 모순입니다. (x,f(x))가 서로 다른 쪽에 2개 존재한다면, 더 작은 쪽을 x1, 큰 쪽을 x2라 했을 때 일반성을 잃지 않고 f(x1)>a(x1), f(x2)<a(x2)라고 가정하겠습니다. 그 두 x값의 산술평균을 p라고 했을 때 x>p일 때 f(x)-a(x), x<p일 때 -{f(x)-a(x)}의 최댓값을 m이라 놓고 전체에서 |f(x)-a(x)|의 최댓값을 n이라 놓으면 m<n입니다. 즉, 점 p를 기준으로 충분히 작은 각도만큼 a(x)를 시계방향으로 회전시키면 m은 증가하나 여전히 n보다 작고 n은 감소하므로 최댓값이 작아져 a(x)가 f(x)에 근사함에 모순입니다. |f(x)-a(x)|이 최댓값을 갖는 x값 s1에 대해, |f(s1)-b(s1)|>|f(s1)-a(s1)|일 수 없습니다. 마찬가지로 |f(x)-b(x)|이 최댓값을 갖는 x값 s2에 대해, |f(s2)-b(s2)|>|f(s2)-a(s2)|일 수 없습니다. 이런 s_n(이후 모든 s_n, s, s_k등은 |f(x)-a(x)| 또는 |f(x)-b(x)|가 최댓값을 가지는 x좌표 중 하나)중 세 개 이상의 s_n에 대해 |f(s_n)-a(s_n)|=|f(s_n)-b(s_n)|라면, f(s_n)-b(s_n)=f(s_n)-a(s_n)인 점에 대해서는 a(x)와 b(x)의 그래프가 만나고 f(s_n)-b(s_n)=-{f(s_n)-a(s_n)}인 점에 대해서는 a(x)와 b(x)의 그래프에서 해당하는 점이 y축 방향으로 |f(s_n)-a(s_n)|의 정확히 두 배만큼 떨어져 있게 됩니다. a(x)와 b(x)가 일차함수이며 f(x)에 근사하여 모든 s_n에 대해 f(s_n)-b(s_n)=-{f(s_n)-a(s_n)}일 수는 없다는 점을 감안하면 a(x)=b(x)입니다. 또한 이런 s_n이 2개 이하만 존재한다면 c(x)={a(x)+b(x)}/2가 두 일차함수 a(x)와 b(x) 사이에 존재하며 |f(s)-a(s|)>|f(s)-b(s)|인 모든 s에 대해 |f(s)-a(s)|>|f(s)-c(s)|이고, |f(s)-a(s)|<|f(s)-b(s)|인 모든 s에 대해 |f(s)-a(s)|>|f(s)-c(s)|입니다. f(s_k)-a(s_k)=f(s_k)-b(s_k)인 s_k는 2개 이하이므로 |f(x)-c(x)|의 최댓값이 |f(x)-a(x)|의 최댓값과 같다면 c(x)의 최댓값은 2개 이하가 됩니다. 그런데 앞에서 |f(x)-a(x)|가 최댓값을 갖는다면 3개 이상 가져야 한다고 했으므로 모순이 됩니다. 즉 a(x)=b(x)입니다.

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    •  
      김다인(멘토) Lv.5 2021.11.22 07:21 비밀댓글
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  •  
    B.C.I.수학장 Lv.5 2020.04.02 00:39
    확인요청중

    이렇게 푸는 문제가 아닐까요? f-dh가 [-1, 1]에서 최댓값이 M, 최솟값이 m이면 c=\frac{M+m}{2}일 때 f-cg-dh의 최댓값과 최솟값의 절댓값이 같습니다.

    최댓값이나 최솟값 중 절댓값이 큰 게 생겨버리면 최댓값과 최솟값의 차는 일정하니까 이것보다 큰 값이 됩니다.

     

    그러면 c는 신경쓰지 않고 f-dh에서 최댓값과 최솟값의 차가 가장 작아지게 d를 설정하면 됩니다.

     

    1번에서, \frac{d}{dx}(f-dh)=4x^3-d이고, x는 하나의 실근을 가지므로 x=\sqrt[3]{\frac{d}{4}}일 때 f-dh가 최소입니다. f-dh가 최대일 때는 x=1 또는 x=-1이고, 최댓값과 최솟값의 차는 1\pm d(1\pm \sqrt[3]{\frac{d}{4}})입니다.(복부호동순) d가 양수이면 최댓값은 1+d이므로 \pm의 부호는 +가 되어 1보다 커집니다. d가 음수이면 최댓값은 1-d이므로 \pm의 부호는 -가 되어 1보다 커집니다. 따라서 최댓값과 최솟값의 차의 최솟값은 1이고, 이 때 d=0입니다.

     

    M=f(1)=1, m=f(0)=0이므로 c=\frac{1}{2}입니다.

     

    따라서, x^4와 가장 가까운 0차 또는 1차 함수는 cg+dh=\frac{1}{2}x입니다.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.04.02 00:44

      확인요청을 했더니 댓글수정이 안 되네요. 맨 마지막 줄에 \frac{1}{2}x가 아니라 \frac{1}{2}입니다.

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    •  
      유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.04.02 08:38

      저랑비슷하게푸셨네요 ㅎㅎ

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.04.02 09:52

      그런데 결과가 조금 달라요

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    •  
      김미래_기자 Lv.6 2020.04.02 10:09 비밀댓글
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    •  
      code Lv.5 2020.04.02 14:00

      저도 증명 해봤는데, 수학장님이 맞는 것같아요. 1/2 나오더라고요.

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.04.02 14:30 비밀댓글
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    •  
      김미래_기자 Lv.6 2020.04.02 19:11

      코로나 때문에 서면으로 취재하고 있어서 이메일 알려주면 질문 보내줄게요~

       

       

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.04.02 22:51 비밀댓글
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  •  
    리프 Lv.6 2020.04.02 19:07

    그냥 참고로 말하는건데 1,2,3번은 미적분 없이 풀 수 있는 문제입니다. 4,5번은 아직 풀지 못해서 잘 몰라요 ㅋㅋ

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    •  
      유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.04.02 19:41

      예 하지만 저는 사서고생하는타입이라 미적분을 썼지요

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    •  
      B.C.I.수학장 Lv.5 2020.04.02 22:51

      ㅎㅎ... 리프님 저랑 동갑이신 것 같은데, 혹시 어느 고등학교 준비하시는지 알 수 있을까요><

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    •  
      리프 Lv.6 2020.04.03 01:29

      오 수학장님 중3이신가요? 저는 서울과고 준비하고 있습니다 ㅋㅋ

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    •  
      유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.04.03 08:56

      저는 한국과학영재고등학교요

       

      저는 예비중1이욬 ㅋㅋ

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  •  
    파스칼 Lv.7 2020.04.02 23:26

    4번 문제에 j(x)=f(x)-c-dx^2이 아니라 j(x)=|f(x)-c-dx^2| 아닌가요?

    만약 원래 정의가 맞다면

    위 그래프에서 c=0,d=0이라면 j(x)의 최댓값이 2개지만, j(x)는 f(x)에 근사합니다. 오류가 있다면 지적해주세요.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.04.03 01:30

      절댓값이 있는 것이 맞는 것 같네요 ㅇㅅㅇ

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    •  
      리프 Lv.6 2020.04.03 11:22

      4번 문제를 다시 읽어보니 j(x)의 함숫값의 '크기'가 최대인 점이 2개라고 적혀있네요. 아마도 크기라는 단어 자체에 절댓값의 의미가 포함되어 있는듯 합니다. (맨 윗줄에도 그렇게 표현되어 있네요)

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  •  
    code Lv.5 2020.04.02 23:48

    저는 이런 궁금증이 들었습니다.

    '반드시 끝 지점의 차이가 동일 해야 근사를 이룰까([-1,1]의 범위에서, 1과 -1을 넣었을 때 차이가 같아야하는가)?'

    이게 맞다면 2, 3번은 상당히 쉬워집니다.

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수5
    •  
      리프 Lv.6 2020.04.03 01:35

      어떤 아이디어인지 궁금하네요. 혹시 설명해 주실 수 있나요?

      참고로 저는 2번은 1번에서 푼 방식을 응용하여 풀었지만 3번은 많이 다른 방식으로 접근하여 풀어서 더 궁금하네요.

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    •  
      유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.04.03 08:55

      code님 저는 그래서 극대, 극소로 접근했습니다

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    •  
      code Lv.5 2020.04.03 11:58

      최댓값이 될 수 있는 건 범위 맨 끝,  두 함수의 차의 극대(절댓값을 씌우지 않는다면 극소까지도) 이 두가지가 있다는 것을 이용하였습니다.

      3번에서, 근사를 만족하는 a, b가 있다고 하자(단 f-ax-b 으로 차를 정의하였다.).

      이 a, b 에 새로운 값을 부여하여 근사를 만족할 수 있는지를 보자.

      이때 범위 맨 끝 쪽의 차가 근사에서는 항상 같아야 한다고 하면,  a의 값은 정해지게 된다(f(1)-(a+b), f(-1)-(-a+b) 가 서로 같아야 하므로).

      근사가 되는 b값이 2개이상이 될 수 있는가?

      -(어제 밤에 여기까지 생각을 했던 것으로 기억이 나네요.)-

      (2번은 이것이 맞다면 1번과 같은 접근으로도 쉽게 풀립니다)   

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    •  
      리프 Lv.6 2020.04.03 13:42

      저도 했던 생각이랑 꽤 비슷하네요. 저는 처음에 이런 방식으로 접근했습니다.

      일단 제가 처음에 생각했던 아이디어는 다음과 같습니다.

      idea: 좌표축을 적절히 회전시켜 주어진 함수의 범위의 양 끝점이 x축 상에 존재하도록 한 후, 근사함수를 구하면 좌표축을 다시 원래대로 돌렸을 때, 여전히 주어진 함수의 근사함수가 된다. (함숫값의 차이가 닮음에 의해 일정한 비율로 감소 혹은 증가하기 때문입니다.)

      이 아이디어를 사용하면 범위의 양 끝점을 x축에 고정시킨 후, 근사함수를 계산할 수 있습니다.

      이때, 이 새로운 함수의 근사함수가 항상 상수함수라면, code님의 아이디어는 맞게 되겠죠.

      그리고 상수함수임이 증명된다면, 함수의 최댓값과 최솟값의 평균이 상수함수로 결정되기 때문에 근사함수의 유일성이 바로 증명됩니다.

      하지만 저는 양 끝점이 x축 상에 존재하는 함수의 근사함수가 항상 상수함수인지 확실하지 않고 이를 증명하는 것도 상당히 까다로울 것으로 저는 생각해서 이 풀이는 일단 실패했습니다. (그러나 이 방식을 이용하면 2번은 간단하게 해결할 수 있습니다.)

       

      그래서 제 생각은 일단 3번은 직접적으로 근사함수의 유일성을 보이는 것보단 귀류법으로 2개 이상 있을 때 모순이 발생함을 보이는 것이 더 나을듯 합니다. (실제로 제가 이렇게 해결했습니다.)

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    •  
      유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.04.03 19:27

      근사값이 2개가 있으면 적분 근사 형태에선 불연속이므로 모순됩니다

       

       

      근데.. 이게 적분근사가 아니니... 산넘어 산이네요

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  •  
    cube120 Lv.5 2020.04.04 00:01

    3번은 해결이 된건가요? 예시를 찾는건 꽤 쉬울거같다는 생각이 듭니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.04.04 07:23

      3번은 문제가 올라온 날에 파스칼 님께서 푸셨고, 저도 풀었습니다. 지금 보니 code님도 풀이를 올리셨네요.

      제가 푼 걸로는 근사함수는 유일하다는 결론이 나오네요.

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  •  
    code Lv.5 2020.04.04 00:17
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    3번

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    •  
      code Lv.5 2020.04.04 00:19

      잘 안보이는 것은 말씀해주세요.

      근사함수가 1차함수 일때 4개의 맥스 지점을 갖는다고 가정하였습니다.

      추론이지만, n차함수를 근사로 가지는 함수는, n+3개의 맥스를 가질 듯합니다. 

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    •  
      code Lv.5 2020.04.04 00:20

      공댓으로 한 것은 완전한 풀이가 아니고, 새로운 아이디어가 나왔을 수도 있기 때문입니다.

      (좌표축을 기울이는 것은 리프님 아이디어임을 밝힙니다.)

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    •  
      code Lv.5 2020.04.04 00:24

      짤린 게 있어서 재업합니다.

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  •  
    리프 Lv.6 2020.04.04 07:55 비밀댓글
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    •  
      리프 Lv.6 2020.04.04 08:20

      3번 풀이입니다.

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  •  
    code Lv.5 2020.04.04 09:22

    4번 문제가 제 추론과 맞아 떨어지네요.

    제가 3번에서 가정한 것은 다음 2개 입니다.

    1. 범위 양 끝은 차가 최대가 되는 지점이다.

    4번에서 범위 양 끝 점까지 서술한 것인지는 모르겠으나, 그것이 아니라면 최대가 되는 지점은 총 4개입니다.(가설이 맞다는 전제하에)

    2. n차함수가 근사인 것과 최대 지점의 갯수가 n+3인 것은 필요충분조건이다.

    위에서의 이해가 잘못되었다고 해도, 이것이 맞다면 바로 증명됩니다.(2개일 때 근사 없음, 4개일 때 근사가 1차이므로)

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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.04.04 11:56

      1번 문제의 경우에서  최대 지점의 개수가 3개로 2번 가정에 모순되지 않나요?

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    •  
      code Lv.5 2020.04.04 14:28

      1번 0차함수 나오지 않나요?

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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.04.04 18:07

      1번의 x^4 그래프의 -1~1 부분을 적당히 회전해서 그대로 함수가 되도록 만듭니다. 그러면 일차함수는 직선이라 그 함수에 내린 수선의 길이와 x값의 차이가 비례하기 때문에 원래 0차함수를 기울인 그래프가 근사하는데, 최대 지점의 개수는 여전히 3개입니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.04.04 18:58

      1번 이외에도 범위의 양 끝점의 함숫값이 0인 함수 중 U자 형태의 함수나 U를 거꾸로 한 형태의 함수의 1차 근사는 상수함수가 나오기 때문에 최댓값인 곳이 3군데 나오게 됩니다. (sinx도 동일한 이유로 3개입니다)

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    •  
      code Lv.5 2020.04.04 23:12

      앗.. 제가 설명이 부족했네요. 저건 죄표축을 기울이는 아이디어를 썼을 때의 이야기입니다.

      근데 밑에 리프님 댓글 보니 4번에는 영향을 주지 못할 것 같네요

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  •  
    리프 Lv.6 2020.04.04 11:50

    폴리매스 오픈채팅방입니다. 들어와서 아이디어 공유하면 편할 것 같네요. (현재 18명 있음)

    링크: https://open.kakao.com/o/gUQEicQb

    비번: enma5121

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  •  
    유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.04.04 14:28

    4번이 풀리면 5번도풀릴겁니다

    저는 4번을 유일성으로 접근했기때문에

     

    유일성문제인 5번도 풀릴겁니다

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수0
  •  
    유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.04.04 14:36

    5번은 하나 뿐인 것이 많습니다 6차이상의 함수 f(x)를 정의했을때

    ax^6+bx^5+cx^4+....+fx+g = a(x)

     

    제풀이에서 정의했듯이 a(x)는 근사함수입니다

     

    여기서 유일하다는 의미는 근사를 만족시키는 

    a,b,c,d,e,f,g의 순서쌍이 1개 뿐이라는 것입니다

     

    그러면

    어떠한 n개의 항의 값을 바꾸면

    나머지 7-n개의 항중에 적어도 1개는 값이 바뀌게됩니다

    만일 값이 바뀌지않는다면 미분의 관계로인해 기울기의 관계가 틀어집니다

     

    ("이건아이디어입니다")

     

     

    아이디어를 또주자면, 도수를 이용하는겁니다

    x좌표부터 y좌표의 차이를 집합으로 정리한뒤

     

    근사값함수 특성근 a_0(x)에대해

    도수가 같은지를 판정하면될것같습니다

     

    도수란 차이가 최저인 점의 개수를 말합니다

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  •  
    리프 Lv.6 2020.04.04 22:53

    일단 4번에서 알 수 있는 특징은 다음과 같습니다.

    1. 함숫값의 크기가 최대인 점에서 함숫값의 부호가 동일하다면, f(x)는 근사함수가 아니다. (y좌표만 바뀌도록 근사함수를 평행이동 시키면 자명합니다.)

    2. 함수가 정의되어 있는 구간이 [-1,1]이고, 일차항이 없는 이차함수는 우함수이므로, 어떤 두 점을 지난다는 정보를 얻으면, 이차함수는 자동으로 결정된다.

     

    첫 번째 특징을 통해, 함숫값의 크기의 최댓값을 M이라 할 때, 함숫값이 M이랑 -M이 되는 점이 1개씩 존재함을 알 수 있습니다. 이 상태에서, 특징 2를 이용하면 f(x)의 더 가까운 근사함수를 얻을 수 있을 거라고 생각했는데 생각보다 잘 안 되네요...

    참고로 이 문제는 제가 말한 좌표축 기울이기 아이디어는 사용 불가능합니다. 직선을 회전시키면 그대로 직선이 되지만 이차함수를 회전시키면 특정 경우를 제외하고 이차함수가 되지 않기 때문입니다.

    그리고 아마도 우함수라는 것이 문제 풀이에 꽤 핵심적인 역할을 할 것 같다는 느낌이 드네요. 문제 4번의 경우 범위가 [-1,1]로 주어져 있어서 우함수라는 특징이 중요할 것 같은데 5번은 범위가 [0,1]로 주어져 있어서 잘 모르겠네요...

     

    만약 다른 아이디어나 질문 있으시면 답글 달아주세요.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.04.04 23:01

      또한, 5번에서 다음과 같은 특징들을 알 수 있습니다.

       

      1. 근사함수가 2개 이상이면 근사함수는 무한히 많이 존재하게 된다.

      이에 대한 증명으로는 2개의 서로 다른 근사함수를 정한 후, 가중치의 합이 1이 되도록 계수를 붙여주면 됩니다. (예를 들어 근사함수가 f(x)와 g(x)이면, f(x)/3+2g(x)/3도 근사함수가 됩니다.)

       

      2. 근사함수가 2개 이상이면 서로 다른 두 근사함수에 대해, 근사함수와 원래 함수의 차이(절댓값 없음)가 최대가 되는 지점과 최소가 되는 지점 중 겹치는 지점의 개수는 1개 이상, 6개 이하이다.

      증명) 겹치는 지점이 0개일 경우, 1에서 사용한 방식으로 새로운 근사함수를 잡으면 더 가까운 근사함수가 되므로 모순입니다.

      겹치는 지점이 7개 이상일 경우, 그 7개의 점을 지나는 6차함수는 유일하기 때문에 모순입니다. (일반적으로 x좌표가 다른 n+1개의 점을 지나는 n차함수는 유일하다고 하네요. 이에 대한 증명은 찾아보시면 있을 겁니다.)

       

      소문제 3번은 이 두 가지 특징을 이용하여 모순이 쉽게 유도되어 해결이 되지만 5번은 3번과 같은 방식으로는 해결이 안되네요...

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    •  
      리프 Lv.6 2020.04.05 11:45

      5번의 특징으로 적어놓은 것을 일차항이 없는 이차함수로 근사할 때에 적용시켜보면, 겹치는 지점의 개수는 1개 이상, 2개 이하이어야 하는데 1개일 때는 3번과 동일한 방식으로 모순을 유도할 수 있습니다. 그래서 2개일 때 모순이 발생함을 유도하면 되는데, 이는 함숫값의 차이가 최대인 점이 정확히 2개인 함수는 근사함수가 될 수 없음을 보이는 것과 동치입니다.

      따라서, 문제 4번이 해결되면 [-1,1]에서 일차항이 없는 이차함수로 근사할 때, 근사함수가 유일함이 증명됩니다.

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    code Lv.5 2020.04.05 10:07
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      code Lv.5 2020.04.05 10:09

      마지막 괄호에 x1 x2에 절댓값 씌우는 걸 깜박했네요;;

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      리프 Lv.6 2020.04.05 12:03

      문제 4번의 반례가 있네요... code님 말대로 문제의 조건을 추가해야할듯 합니다. 아니면 문제 5번처럼 범위를 [0,1]로 주면 반례가 안 생길 것 같기도 하네요.

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      파스칼 Lv.7 2020.04.05 13:00

      저도 어제 이 반례를 찾고, 이상해서 더 생각해 보고 있었습니다. 대표적으로 y=x는 x=1,-1에서 1,-1을 함수값으로 가지는데, 일차항이 없는 이차함수가 우함수라는 점으로부터 여기에 근사하는 c,d에 대해서도 함수값의 차이의 최댓값이 1 이상입니다. 즉 c=d=0은 y=x에 근사하는 함수 중 하나입니다. 리프님께서 [0,1]에서는 주어진 명제가 맞을지도 모른다고 하셨는데, 그 추측은 맞는 것 같습니다. 그 부분에 대한 증명을 거의 했어요. 우선 위의 반례로부터 주어진 구간이 어떤 양수와 어떤 음수를 모두 포함하는 구간이라면, 주어진 명제가 성립하지 않을 것이라는 점을 알 수 있습니다.

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    리프 Lv.6 2020.04.05 21:22

    3번 풀이입니다. 4,5번 문제 푸는데 도움이 될 수도 있어서 공댓으로 올립니다. (비댓으로 확인요청한 풀이와 동일합니다.)

     

    주어진 연속함수 f(x)의 근사함수가 f_1(x)와 f_2(x) 2가지가 존재한다고 가정하자.

    또, \left \| f(x)-f_1(x) \right \|=M이라 하고, f(x)-f_1(x)=M인 x의 집합을 S_1f(x)-f_1(x)=-M인 x의 집합을 S_2f(x)-f_2(x)=M인 x의 집합을 S_1'f(x)-f_2(x)=-M인 x의 집합을 S_2'이라 하자.

     

    i) \left (S_1\cap S_1' \right )\cup \left ( S_2\cap S_2' \right )의 원소가 2개 이상일 때

    f_1(x)와 f_2(x)가 2개의 동일한 점을 지난다는 뜻이므로, 같은 직선이 되어 모순이다.

     

    ii) \left (S_1\cap S_1' \right )\cup \left ( S_2\cap S_2' \right )의 원소가 1개 이하일 때

    다음과 같은 함수 f_3(x)를 정의하자.

    f_3(x)=\frac{f_1(x)+f_2(x)}{2}

    정의에 의해 f_3(x)도 f(x)의 근사함수임은 자명하다.

    만약, \left (S_1\cap S_1' \right )\cup \left ( S_2\cap S_2' \right )의 원소가 없을 경우, f_3(x)와 f(x)의 차의 최대는 M미만이 되므로 모순이 발생한다.

    따라서, \left (S_1\cap S_1' \right )\cup \left ( S_2\cap S_2' \right )의 원소는 1개이고, \left | f(x)-f_3(x) \right |=M을 만족하는 x는 1개이다. 이 x의 값을 t라고 하자.

    일반성을 잃지 말고 f(t)-f_3(t)=M이라 하자.

    이때, f(x)-f_3(x)의 최솟값(음수 가능)을 m이라 하면 f(x)-f_3(x)의 치역은 \left [ m,M \right ]의 부분집합이 된다. (단, \left | m \right |<\left | M \right |)

    다음과 같은 함수 f_4(x)를 정의하자.

    f_4(x)=f_3(x)+\frac{M+m}{2}

    정의에 의해, f(x)-f_4(x)의 치역은 \left [ \frac{m-M}{2},\frac{M-m}{2} \right ]의 부분집합이 되므로, \left \|f(x)-f_4(x) \right \|=\frac{M-m}{2}<M이 되어 모순이다.

     

    따라서, f(x)의 근사함수는 유일하다.

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      cube120 Lv.5 2020.04.06 23:16

      이해가 안되는 부분이 있어서 질문합니다. (틀렸다는건 아니에요)

      f_3(x)가 근사 함수라는 것이 자명하다고 하셨는데, 그 이유를 좀만 자세히 설명 가능하실까요?

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    •  
      리프 Lv.6 2020.04.07 12:22

      f_3(x)는 f_1(x)와 f_2(x)의 평균이기 때문에 f(x)와의 차이가 기껏해야 M이 되기 때문입니다.

      식을 적어보면 f(x)-f_3(x)={(f(x)-f_1(x))+(f(x)-f_2(x))}/2 이므로 절댓값이 M을 넘을 수 없음을 알 수 있습니다.

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    파스칼 Lv.7 2020.04.05 23:32
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    이전에 어떤 분이 4번만 풀리면 5번도 풀 수 있다고 하신 것 같아서 4번 풀이 올려보겠습니다.

    우선 위에서 반례가 나왔으므로 문제에서 [1,-1][0,1]로 바꾸어 풀겠습니다.

    <용어설명> c+dx^2=i(x)라 하고, |j(x)|를 최대로 만드는 x값을 각각 a, b(a<b), 이때 |j(x)|의 최댓값을 m이라 하겠습니다.

    (1) j(a)=j(b)일 때

    일반성을 잃지 않고, j(a)=m, j(b)=m이라 하겠습니다. 이때 문제의 가정에 의해, m>s인 어느 양의 실수 s가 존재하여 모든 0r1에 대해 sj(r)를 만족합니다. 그러므로 모든 0r1에 대해 i(r)-sf(r)i(r)+m이며, i(x)+(m-s)/2=k(x)라 하면 k(r)-(m+s)/2f(r)k(r)+(m+s)/2입니다. 이때 k(r)은 일차항이 없는 이차함수이고 (m+s)/22<m이므로 문제의 가정에 모순됩니다.

    (2) j(a)=-j(b)일 때

    일반성을 잃지 않고, j(a)=m, j(b)=-m이라 하겠습니다. 문제의 가정에 의해 모든 0r1에 대해 i(r)[f(r)-m, f(r)+m]의 원소입니다. 즉 문제를 이렇게 바꿀 수 있습니다.

    모든 0r1에 대해 c+dr^2[f(r)-m, f(r)+m]의 원소이도록 하는 c,d가 존재할 때, 모든 0r1에 대해 c’+d‘r^2(f(r)-m, f(r)+m)의 원소이도록 하는 c’,d‘이 존재하는가?’

    i’(x)=c’+d’x^2i’(x)는 일차항이 없는 이차식이므로, 어떤 0<r1r에 대해 i’(r)c’값이 정해지면 i’(x)도 하나로 결정됩니다. 0보다 큰 실수 s에 대해 i’((a+b)/2)=i((a+b)/2), c’=c+s를 만족하는 i’(x)i_s(x)라 하겠습니다. 이때 j(a)=m, j(b)=-m에서 i(a)=f(a)+m, i(b)=f(a)-m인데, 그래프의 이차항의 계수가 d’<d((a+b)/2에서의 값은 같지만 상수항이 c’>c+s이기 때문에)이며 a<(a+b)/2<b이므로 모든 s에 대해 i_s(a)<f(a)+m, i_s(b)<f(a)-m입니다. 즉 충분히 작은 양수 s에 대해, i_s(a), i_s(b)가 모두 (f(r)-m, f(r)+m)의 원소입니다. 또한 문제의 가정에 의해 j(x)가 최댓값을 갖는 x값은 [0,1]에서 둘뿐이므로, s=t일 때 {f(x)-i_s(x)의 최댓값}m인 최소의 양수 m이 존재합니다. 이때 모든 0<s<t0x1 (x)-i_s(x)<m을 만족하므로 모든 0r1에 대해 c+dr^2[f(r)-m, f(r)+m]의 원소이도록 하는 c,d가 존재할 때 c’+d‘r^2(f(r)-m, f(r)+m)의 원소이도록 하는 c’,d‘이 존재하고, 이것은 j(x)f(x)g,h를 사용한 근사임에 모순입니다.

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    파스칼 Lv.7 2020.04.07 22:24 비밀댓글
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    파스칼 Lv.7 2020.04.07 22:40 비밀댓글
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      파스칼 Lv.7 2020.05.09 18:31

      5번 풀이 공개하겠습니다.

      Lemma)서로 다른 n개의 점을 지나는 함수가 언제나 하나 있는 함수 형태(예:c+dx^2는 2개의 점을 지나는 함수가 하나 있다)가 있을 때, 이런 함수 형태 중 f(x)에 근사하는 함수a(x)의 |f(x)-a(x)|가 최댓값이 되는 x의 개수는 n+1개 이상이다.

      proof)|f(x)-a(x)|가 최댓값이 되는 x의 개수가 n개뿐이라고 하자. (n개 미만이라도 아래 논리는 같다) 가정에 의해, |f(x)-a(x)|가 최댓값이 되는 모든 n개의 x에서 f(x)와 만나는 a(x)와 같은 형태의 함수가 존재한다. 이 함수를 b(x)라 하자. 이제a_k(x)=\frac{ka(x)+b(x)}{k+1}인 a_k(x)를 생각하자. 모든 양의 정수 k에 대해, a_k(x)는 a(x)와 같은 형태의 함수이며 |f(x)-a(x)|가 최댓값이 되는 x에 대해서 |f(x)-a_k(x)|<|f(x)-a(x)|다. 또 이외의 x에 대해서는 |f(x)-a(x)|가 최댓값보다 작았으므로, 충분히 큰 k에 대해 |f(x)-a_k(x)|도 최댓값보다 작다. 즉 a_k(x)는 a(x)보다 더 f(x)에 근사하므로 a(x)가 근사하는 함수임에 모순이다.

       

      1, x^2, x^4, x^6을 사용한 함수는 [0,1]의 4개 점을 지나면 하나 존재하며, 하나로 결정됩니다. Lemma에 의해, 이런 형태의 함수 a(x)가 f(x)에 근사한다면 |f(x)-a(x)|가 5개 이상의 x에서 최댓값을 갖습니다. 이제 a(x)와 b(x)가 이런 형태의 함수인데, 둘 모두 f(x)에 근사한다고 가정하겠습니다. 그렇다면 \frac{a(x)+b(x)}{2}도 f(x)에 근사하며, a(x)와 b(x)의 교점의 x값 외에서는 모두 max(|f(x)-a(x)|, |f(x)-b(x)|)보다 |f(x)-\frac{a(x)+b(x)}{2}|가 더 작아야 한다는 점으로부터, a(x)와 b(x)는 서로 다른 5개의 점에서 만나야 합니다. 그런데 1, x^2, x^4, x^6을 사용한 함수는 [0,1]의 서로 다른 4개 이상의 점을 지나면 하나로 결정되므로 a(x)=b(x)입니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.05.22 10:36

      최근 영재고 준비 때문에 바빠서 파스칼님의 4,5번 풀이를 최근에 읽었네요 ㅠㅠ

       

      제가 3번 푼 방식이랑 4,5번 관련 아이디어와 비슷한 방식으로 푼 것 같은데 제 생각에는 lemma의 증명에 논리적 비약이 있는 것 같네요.

      lemma에서 a(x)랑 b(x)가 존재할 때 더 가까운 근사함수 a_k(x)를 잡는 과정에서 만약 f(x)-a(x)=f(x)-b(x)=M(최댓값)이면 a_k(x)도 최댓값이 M이 되어 더 가까운 근사라고 할 수 없을 것 같습니다. 이 부분만 해결하면 증명은 완벽해지기 때문에 따로 처리해줘야 할 것 같네요.

       

      제가 해본 결과로는 만약 최댓값이 겹치는 지점이 모두 같은 부호(예를 들면 차이가 모두 -M)이면 상수항을 적절히 조절해서 더 가까운 근사를 만들 수 있는데 최댓값이 겹치는 지점에서 부호가 다르면 처리가 잘 안 되네요... (자세한 과정은 제 3번 풀이와 4,5번 풀이 아이디어에 서술되어 있습니다)

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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.05.22 22:25

      풀이의 표현에 오해의 소지가 있었던 듯하네요

      a(x)=M을 만족하는 모든 x에 대해, b(x)=f(x)입니다.

      그러므로 이런 x에 대해서는 b(x)-f(x)=0이며 모든 자연수 k에 대해\left | f(x)-a_k(x) \right |도 M보다 작습니다.

      이외의 x에 대해서는 \left | f(x)-a(x) \right | <M이므로 충분히 큰 k에 대해 \left | f(x)-a_k(x) \right |<M이 성립합니다.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.05.23 12:25

      ㅇㅎ 그렇군요 제가 접근했던 방식이 계속 머릿속에 남아서 파스칼님의 풀이를 잘못 이해했네요 ㅠ

       

      근데 lemma에서 a(x)와 b(x)은 n개의 점이 주어지면 그 n개의 점을 지나는 함수가 유일하게 결정되는 함수인데 n군데에서 함숫값이 일치하면 a(x)=b(x)가 되는 것 아닌가요?

      제 생각에는 (n-1)개로 하면 논리가 맞는 것 같은데 혹시 제가 잘못 이해한 부분이 있나요?

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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.05.23 14:59

      말씀하신 함숫값이 일치하는 n군데가 어느곳인지는 잘 모르겠으나

      만약 \left | f(x)-a(x) \right |=M인 n개의 x값을 말씀하신 것이라면 \left | f(x)-a(x) \right |=M인 n개의 x값에 대해 b(x)=f(x)이므로 이런 x값들에서 a(x)\neq b(x)입니다.

      혹시 이 n군데가 아닌 다른 n개의 x좌표를 말씀하신 건가요?

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    •  
      리프 Lv.6 2020.05.23 18:39

      제가 b(x)=a(x)로 잘못 봤네요 ㅋㅋㅋㅋ 파스칼님의 풀이가 맞는 것 같습니다

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    황금 열쇠 Lv.7 2020.04.17 08:46

    나는 문제도 이해 못하면서 여기서 대체 뭘 하고 있는걸까...

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    •  
      최기자 Lv.4 2020.04.17 09:38

      그렇게 생각하지 마세요.^^ 자기가 모자라서 그런 게 아니라 배경지식이 적어서 그런 거예요. 킹앤카 문제, 주니어폴리매스문제부터 차근차근 도전하다 보면 폴리매스 문제를 풀 만큼의 지식이 쌓이게 될 거예요! 한걸음씩 도전해 보세요!!

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  •  
    리프 Lv.6 2020.05.23 12:32
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    수정된 2번 풀이입니다.

    일단 기본적인 아이디어는 좌표축을 회전시켜, x=0과 x=pi/2일 때의 점을 x절편이 되도록 한 후, 근사함수를 구하는 것입니다. (즉, x축이 y=(2/pi)x가 되도록 좌표축을 회전시킬 것입니다.)

    이러한 방법을 사용하면 1번과 매우 유사해지기 때문에 사용한 아이디어입니다.

     

    풀이)

    위와 같은 변형(좌표축을 회전)을 통해 생긴 sinx의 함수를 f(x)라고 하자.

    함수 f(x)의 그래프는 양 끝의 y좌표가 0이고, 위로 볼록한 함수일 것이다.

    또, 함수 f(x)는 함수의 정의범위([0,a]라고 하자.) 양 끝점에서 최솟값 0을 가지고, x=k에서 최댓값 f(k)를 가진다고 하자.

     

    이제, y=f(x)의 근사함수가 y=f(k)/2임을 보이자.

    귀류법으로, y=f(k)/2보다 더 가까운 근사가 되는 함수 g(x)가 존재한다고 가정하자.

    이때, g(0)의 절댓값은 f(k)/2 미만일 것이고, g(k)의 값은 f(k)/2 초과이므로, g(x)의 기울기는 양수임을 알 수 있다.

    한편, g(a)의 절댓값도 f(k)/2 미만이므로, g(x)의 기울기는 음수가 된다. 따라서, 모순이 발생한다.

    이를 통해 f(x)와 이의 근사함수는 y=f(k)/2이고,  x=0, k, a일 때 차이가 최대임을 알 수 있다.

     

    또한, 원래 좌표계로 다시 회전할 경우, 임의의 점 P에 대해 P와 동일한 x좌표를 가진 직선 위의 점 Q의 거리는 점 P와 직선 사이의 거리와 일정한 비율을 가짐을 알 수 있다.

    즉, 회전을 통해 얻은 직선과 sinx의 값의 차이는 다음 사진과 같이 3군데에서 최댓값을 갖게 된다. (그림 상에서 점 A, C, B, 회전변환 후 x=0, k, a 였던 지점과 동일)

     

    이제, 위 직선(y=h(x)라 하자.)이 sinx의 근사함수임을 보이자.

    일단, \left \| sinx-h(x) \right \|=d라고 정의하면, 위에서 말했던 것 처럼 점 A, B, C에서만 \left | sinx-h(x) \right |=d를 만족하게 된다.

    귀류법으로 \left \| sinx-i(x) \right \|\leq d를 만족하는 함수 i(x)가 존재한다고 가정하자. (단, i(x)\neq h(x))

    또한, 점 A, B, C에 대해, y좌표의 차이가 d이하이고 x좌표가 동일한 점의 집합을 각각 S_1, S_2, S_3라고 정의하자. (x좌표가 작은 순으로 번호가 1, 2, 3이다.)

    그러면 S_i는 다음 그림과 같이 나타나게 된다. (파란색 선분)

    조건에 의해 함수 i(x)는 집합 S_1, S_2, S_3 위에 있는 점을 한 개씩 지나야 한다.

    S_1의 점 중 y좌표가 최대인 점을 A_1, S_2의 점 중 y좌표가 최소인 점을 P_2, S_3의 점 중 y좌표가 최대인 점을 B_1 (그림 참고) 라고 하면,

    직선 y=i(x)의 기울기는 직선 A_1P_2의 기울기보다 크거나 같고, 직선 P_2B_1의 기울기보다 작거나 같아야 한다.

    이때, 직선 A_1P_2와 P_2B_1의 기울기는 동일하므로, 직선 y=i(x)는 A_1, P_2, B_1을 모두 지나는 직선이 된다.

    그런데 이는 직선 y=h(x)와 동일하므로, i(x)\neq h(x)라는 가정에 모순이다.

     

    따라서, sinx의 근사함수는 h(x)로 유일하다.

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.17 22:15

      풀이의 문제점을 고치다보니 풀이가 너무 길어졌네요... 이번엔 맞았으면...

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    •  
      파스칼 Lv.7 2020.06.17 22:52

      저는 a(x)=\frac{2x}{\pi}+\frac{\sqrt{\pi^2-4}-2cos^{-1}(\frac{2}{\pi})}{2\pi}로 구했습니다.

      원본 풀이는 다음과 같습니다 :

      2. a(x)=cg(x)+dg(x)라 하면a(x)=\frac{2x}{\pi}+\frac{\sqrt{\pi^2-4}-2cos^{-1}(\frac{2}{\pi})}{2\pi}일 때, |f(x)-a(x)|는 x=0, 1, cos^{-1}(\frac{2}\pi)에서 최댓값 \frac{\sqrt{\pi^2-4}-2cos^{-1}(\frac{2}{\pi})}{2\pi}을 가집니다. 1번과 같은 방식으로 a(cos^{-1}(\frac{2}\pi))<\frac{\sqrt{\pi^2-4}-2cos^{-1}(\frac{2}{\pi})}{2\pi}인 동시에 a(0)<\frac{\sqrt{\pi^2-4}-2cos^{-1}(\frac{2}{\pi})}{2\pi}이고 a(1)<\frac{\sqrt{\pi^2-4}-2cos^{-1}(\frac{2}{\pi})}{2\pi}일 수 없으므로 조건을 만족하는a(x)=\frac{2x}{\pi}+\frac{\sqrt{\pi^2-4}-2cos^{-1}(\frac{2}{\pi})}{2\pi}임을 알 수 있습니다.

      지오지브라 사진에서 수식 h가 가려서 제대로 확인하지는 못했습니다

      하지만 풀이에서 일차함수를 구한 방식이 저와 같은 것 같습니다.

      (솔직히 저보다는 리프님이 풀이를 더 알아보기 쉽게 잘 서술해주신 것 같네요)

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.17 23:30

      확인해주셔서 감사합니다 ㅇㅅㅇ

      글고 제가 식 정리를 해봤는데 파스칼님이랑 식이 좀 다르게 나온 것 같네요... 급하게 계산한거라 실수한 걸 수도 있어서 내일 다시 계산해보도록 하겠습니다.

      (그리고 사진에서 직선 h는 그냥 작도하기 위해 따로 입력한 직선이라 문제의 답과는 관련이 없습니다)

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    •  
      리프 Lv.6 2020.06.18 14:11

      다시 계산해보니 파스칼님과 동일하게 나오네요. 그리고 지오지브라로 파스칼님의 식을 입력하고 제 풀이대로 직선을 따로 작도했더니 정확하게 일치하는 것을 확인했습니다.

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  •  
    다시 도전
    매스파이 Lv.8 2020.05.29 13:17 비밀댓글
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    •  
      최기자 Lv.4 2020.06.25 17:21

      풀이 과정도 달아주셔야 해요~!^^

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  •  
    유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.06.07 15:27

    하하하ㅏ하하하하

    테일러급수로 풀면 너무쉽다는 것을 깨달은 1ㅅ

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  •  
    yh36 Lv.2 2020.10.11 00:07

    이거 어디까지 풀려 있는 건지 알기가 힘드네요ㅠㅠ

    어디부터 미해결인가요?

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