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[KAIST 과학영재교육연구원] k12. 황금비와 자연수
수학동아 2019.07.01

 

문제1

\large \Phi =\frac{1+\sqrt5}{2}를 황금비라고 부른다. n이 홀수면 \large \Phi^n-\frac{1}{\Phi^n}는 자연수고, n이 짝수면 \large \Phi^n+\frac{1}{\Phi^n}은 자연수임을 증명하라.

 

 

 

문제2

\large \Phi^n-\frac{1}{\Phi^n}이나  \large \Phi^n+\frac{1}{\Phi^n}꼴인 자연수를 찾아보자. 이런 자연수의 특징은 뭘까? 서로 관련이 있을까? 

 

 

 

 

-끝-

  •  
    Undefined Lv.1 2019.07.04

    a_n=\phi^n+\left(-\frac{1}{\phi}\right)^n=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^n+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^n

    a_0=2,~a_1=1

    a_n=a_{n-1}+a_{n-2}

    (Lucas Number)

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      주니어멘토 Lv.1 2019.07.15

      안녕하세요. 주니어폴리매스 멘토입니다.

      달아주신 답글을 보니 이미 알고 계신 내용을 잘 활용하신 것 같습니다. 

      물론 이 내용만으로 완벽한 증명이지만, 배경 지식 등을 조금 더 자세히 설명해주시면 더 좋을 것 같습니다!

      감사합니다~

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    이찬욱 Lv.5 2019.07.05

    문제2.

    x^{v}-1/(x^{v})=k라고 하자 그러면 x는(이차방정식의 근:2개)

    
    
    x^{v}+1/(x^{v})=k라고 하자 그러면 x는 (이차방정식의 근:2개)
    
    

    k값에 자연수를 넣고 계산하면 자연수가 됨.

     

     

     

     

    1번 풀때 참고,x^{v}+1/(x^{v})=k에서 x에 황금비를 넣으면(이차방정식의 근:2개)

     
    그러므로 v에 모든 짝수를 넣었을 때,k가 항상 자연수임을 증명해야함,
     
     
    x^{v}-1/(x^{v})=k에서 x에 황금비를 넣으면,(이차방정식의 근:2개)

    그러므로 v에 모든 홀수를 넣었을 때,k가 항상 자연수임을 증명해야함,

     
     
     
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      주니어멘토 Lv.1 2019.07.15

      안녕하세요. 주니어폴리매스 멘토입니다.

      수학 문제를 풀 때, 주어진 문제를 동치인 다른 문제로 바꾸어 생각하는 것은 매우 중요하고 좋은 접근법입니다!

      이번 문제를 동치인 다른 문제로 잘 변형해주셨습니다!

      다만, 변형된 문제도 해결하기 쉽지 않아보인다는 문제가 있네요.

      더 간단한 문제로 잘 변형시키는 것을 노력해보면 좋을 것 같습니다.

      감사합니다!

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    이찬욱 Lv.5 2019.07.16

    문제 2번은 정답인가요?

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    MATH=? Lv.1 2019.08.10

    문제 1은 못풀었지만 문제 2는 해결하여 올려봅니다. 

    문제2

    n이 홀수일때의 자연수는 

    1,4,11,29,76...이 나오고, 

    n이 짝수일때의 자연수는(0 포함)

    2,3,7,18,47...이 나온다. 

    둘을 합치면

    2,1,3,4,7,11,18,29,47,76가 된다. (n에 넣는 수 순서대로 나열하였다.)

    n번째 수=(n-2)번째 수+(n-1)번째 수이다. 

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    피타고라수 Lv.4 2019.08.10
    확인요청중

    다시 회원가입하게되어 다시 올립니다(원래 math=?입니다)

    문제 2

    문제 1은 어려워 문제 2부터 올립니다.

    우선, n에 짝수, 홀수를 넣어 구해보면

    2,1,3,4,7,11,18,29,47,73 이 나와 피보나치수열과 동일한 규칙의 수열이 됩니다. 제일 앞의 수가 2라는 차이점밖에 없습니다.

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  •  
    아이즈원_조유리 Lv.3 2019.12.21
    확인요청중

    문제 1번

    일단 L_{n} = L_{n-1} + L_{n-2} \left\{\begin{matrix}2{\quad}{if\ n=0} \\1 \quad {if\ n =1} \end{matrix}\right. 라는 점화식의 일반항은 L_{n} = \varphi^n + \frac{1}{\varphi^n} 입니다. 이를 먼저 증명 해보겠습니다.

    수학적 귀납법

    n=1 일때, L_{1} = \varphi^1 + \frac{1}{\varphi^1} = 1, 참이다.

    n = k 일때, L_{k} = \varphi^k + \frac{1}{\varphi^k} 이 성립한다고 가정하자.

    n = k + 1 일때, L_{k + 1} = \varphi ^ {k+1} + \frac{1}{\varphi^{k+1}} 또한 성립한다고 가정하자. 또한

    n = k + 2 일때, L_{k+2} = \varphi ^ {k+2} + \frac{1}{\varphi ^ {k+2}} 도 성립한다고 가정하자, 그럼 위 점화식의 성질에 의해

    L_{k+2} = L_{k+1} + L_{k} = \varphi^{k+1} + \frac{1}{\varphi^{k+1}} + \varphi^k + \frac{1}{\varphi^k} 이므로 참이다. 즉, 위 점화식은 모든 자연수에 대해 성립한다.

    \therefore L_{n} = \varphi ^ n + \frac{1}{\varphi^n} 이다.

    또한, 위 수열은 자연수의 합이기 때문에 자연수만 존재 한다, 즉 \varphi ^ n + \frac{1}{\varphi^n}는 자연수 이다. 또한 위 논리로 \varphi ^ n - \frac{1}{\varphi^n}도 자연수 이다.

    문제 2번

    위 수열은 루카스 수열 (Lucas Sequence) 이기 때문에 2, 1, 3, 4, 7, 11, .... 의 수열이 나옵니다. 

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    김동현 Lv.1 2019.12.21

     

    L_n = L_n_-_1 + L_n_-_2 (L_0 = 2, L_1 = 1) \\ L_n = (\alpha + \beta )L_n_-_1 + \alpha\beta L_n_-_2\\ \alpha + \beta = 1, \alpha\beta = -1\\ x^2 - x - 1 = 0\\ \alpha = (1+\sqrt5)/2, \beta = (1 - \sqrt5)/2\\ L_n - \beta L_n_-_1 = \alpha(L_n_-_1 - \beta L_n_-_2)\\ .....\\ L_n - \beta L_n_-_1 = \alpha^n^-^1(L_1 - \beta L_0) = \alpha^n^-^1(1 - 2\beta)\\ L_n - \alpha L_n_-_1 = \beta^n^-^1(1 - 2\alpha)\\ (\alpha - \beta)L_n_-_1 = \alpha^n^-^1(1 - 2\beta) - \beta^n^-^1(1 - 2\alpha)\\ L_n_-_1 = ((1 + \sqrt5)/2)^n^-^1 + ((1 - \sqrt5)/2)^n^-^1\\ \therefore L_n = ((1 + \sqrt5)/2)^n + ((1 - \sqrt5)/2)^n\\ \phi = \alpha\\ 1/\phi = -\beta

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    김우현 기자 Lv.4 2019.12.31

    KAIST 과학영재교육원 문제는 현재 연재가 종료돼 출제자의 피드백을 받을 수 없습니다.

    풀이와 답을 공개 댓글로 올려 친구들과 서로 논의해 보세요!

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    씨익 Lv.3 2020.05.08 비밀댓글
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  • 폴리매스 문제는 2019년도 정부의 재원으로 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물입니다.

  • ☎문의 02-6749-3911