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[개념 기사] 물통 퍼즐의 열쇠는 방정식?!
집돌이 페렐만 2020.05.07 19:47

"3L 통과 5L 통만을 이용해 한쪽에 있는 4L 통에 물을 채워라. 제한시간은 2분."

어느 공원의 분수대에서 폭탄을 발견한 형사는 범인으로부터 위와 같은 전화를 받는다.

동료와 순식간에 4L의 물을 만들어낸 주인공은 결국 폭탄이 터지는 것을 막는다.

(실제 영화에서는 갤런 단위를 쓰지만 편의를 위해 L단위로 바꿨습니다!)

 

<다이하드 3>라는 영화의 한 부분입니다. 긴장감 넘치는 상황과 함께 물통을 채우는 문제는 이 영화에서 가장 유명한 수수께끼로 남았습니다.

여러분은 이 문제의 답을 아시나요? 제가 '스포일러'를 해드리자면, 답은 다음과 같습니다.

 

1. 5L 들이 물통에 물을 가득 채운다.

2. 5L 들이의 물을 3L 들이에 옮겨 부으면 5L 들이에는 2L가 남고, 3L 들이 물통은 가득 찬다.

3. 3L 들이 물통의 물을 비운다. 그러면 5L 들이에만 2L가 남는다.

4. 5L 들이에 남아있는 2L의 물을 3L 들이에 옮겨 붓는다. 그러면 5L 들이 물통은 비고, 3L 들이 물통에만 2L가 차있게 된다.

5. 5L 들이에 물을 가득 채운 뒤, 3L 들이 물통에 옮겨 붓는다.

6. 그러면 3L 들이 물통에는 1L만 옮겨질 수 있으므로 결국 5L 들이 물통에는 4L만 남게 된다.

 

그런데 이렇게 복잡하게 풀어야만 할까요? 여러 가지 경우를 생각하는 것은 어려운 일입니다. 물론, 그것이 퍼즐의 묘미라고 생각하며 즐기고 싶으신 분들도 계시겠지만, 만약 풀 수 없는 퍼즐이었다면 어떨까요? 물통 퍼즐을 쉽게 푸는 방법과 함께, 풀 수 있는 퍼즐인지 아는 방법도 함께 배워봅시다!

(대표이미지와 좌측의 사진 출처 : PIXABAY)

[일차 방정식은 알고 있었어!]

등식은 등호(=)를 사용해서 나타낸 식입니다. 예를 들어 1=1, 2+1 = 4가 있지요. 여기서 등호를 기준으로 왼쪽의 식을 좌변, 오른쪽의 식을 우변이라고 하며 양쪽의 식을 양변이라고 합니다.

잠깐! 2 + 1 = 4는 등식이 아니지 않냐고요? 그렇지 않습니다. 좌변 3과 우변 4는 다르지만, 등호를 사용했으므로 등식은 맞습니다. 단, 이 때는 등식 중에서도 '거짓인 등식'이라고 합니다.  1=1과 같은 등식은 '참인 등식'이라고 합니다.

그렇다면 x=1과 같은 식은 어떨까요? 여기서 x와 같은 문자를 '미지수'라고 합니다. x=1에서는 미지수 x의 값이 1이겠죠? x=1일 때, x + 1 = 3인 식도 참일까요? 1 + 1 = 2 ≠3이므로 거짓입니다. 이와 같이 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 '방정식'이라고 합니다.

 

방정식 중에서도 최고차항의 차수, 즉 어떤 항의 제곱된 횟수에 따라 방정식을 나눌 수 있습니다.

x + 1 = 2와 같이 가장 큰 차수가 1인 식을 일차 방정식, x^{2} + 1 = 2와 같이 가장 큰 차수가 2인 식을 이차 방정식이라고 합니다.

오늘은 일차방정식을 사용하겠습니다.

 

아까 4L의 물을 만들기 위해서 어떻게 했었나요? 짧게 보면 5L들이 물통으로 2번 가득 떴고 3L 들이 물통이 꽉 차도록 2번 부었습니다.

이걸 식으로 표현하기 위해서 물을 가득 뜨는 것은 양수, 다른 물통이 가득 차도록 붓는 것을 음수라고 표현하면 5 x 2 - 3 x 2 = 4로 표현됩니다.

이때 5L들이 물통으로 물을 x번 가득 뜨고, 이를 3L들이 물통에 y번 꽉 차도록 부어서 4L의 물을 만드는 과정을 식으로 쓰면 어떻게 될까요?

5x - 3y = 4가 될 것입니다. 이때 5x에서 3y를 빼면 4가 되므로 5x는 3y보다 4 큰 것입니다.

그러면 x와 y값을 찾아서 대입하면 되겠죠? 자, 다시 아까의 상황으로 되돌아가 봅시다.

5x가 3y보다 4 크고 x, y가 정수인 경우(단, x와 y는 양의 정수 또는 0)를 모두 찾으려면 어떻게 해야 할까요? 다른 조건이 없는 이상 표를 그려서 찾아보는 게 가장 효율적입니다.

일단 y의 최솟값은 0이므로 5x ≥ 3y + 4 = 4일 것입니다. 따라서 x와 y값을 대입하며 맞는 순서쌍을 찾아보면

x값 2 ...
y값 2 ...

아까 찾았던 답인 x = 2, y = 2 밖에 찾을 수 없습니다. 그렇다면 정말 이 방법밖에 없었을까요?

아까 우리는 5L들이 물통으로 물을 뜨고, 3L들이 물통에 물을 붓는 경우를 생각하며 식을 세웠습니다.

그러면 이번에는 3L들이 물통으로 물을 가득 뜨는 것을 양수, 5L들이 물통이 가득 차도록 붓는 것을 음수라고 표현해봅시다.

그러면 3L들이 물통으로 물을 x번 가득 뜨고, 이를 5L들이 물통에 y번 꽉 차게 부어서 4L의 물을 만드는 과정을 식으로 쓰면 어떻게 될까요?

바로 3x - 5y = 4가 될 것입니다.

아까와 마찬가지의 방법으로 표를 그려서 x, y 값을 찾아보면

x값 3 ...
y값 1 ...

한 번 직접 해볼까요?

3L들이 물통으로 3번 뜨고, 5L들이 물통으로 1번 가득 부었으므로 3 x 3 - 5 x 1 = 4입니다.

자세하게 풀어서 써 볼까요?

 

1. 3L 들이 물통에 물을 한 번 가득 받는다.

2. 3L 들이 물통에 들어 있는 물을 5L 들이 물통으로 옮긴다.

3. 그러면 5L들이 물통에는 3L가 들어 있게 된다.

4. 3L 들이 물통에 다시 물을 받는다.

5. 5L 들이 물통에 3L 들이 물통에 들어 있는 물을 붓는다. 그러면 5L 들이 물통에는 5L가 꽉 차게 되고, 3L 들이 물통에는 1L가 남는다.

6. 5L 들이 물통의 물을 버린다.

7. 3L 들이 물통에 있는 1L의 물을 5L 들이 물통으로 옮긴다.

8. 3L 들이 물통에 마지막으로 물을 받아서 5L 들이 물통으로 옮기면 1L + 3L = 4L가 되므로 4L를 만들 수 있다!

 

자, 보셨나요? 이처럼 일차 방정식을 이용하면 더 쉽게 문제를 풀 수 있고 여러 가지 방법으로 풀 수도 있습니다.

그렇다면 풀 수 없는 퍼즐은 어떻게 알까요?

 

예를 들어 2L 물통과 4L 물통으로 3L를 만든다고 가정해봅시다. 2L 물통으로 물을 가득 뜨는 횟수를 x, 4L 물통에 물을 옮겨 붓는 횟수를 y라고 해봅시다. 그러면 2x - 4y = 3이라는 식을 아까와 같은 방법으로 세울 수 있습니다. 그런데 x, y는 음이 아닌 정수입니다. 즉, 0 또는 자연수라는 말인데 2와 4가 둘 다 짝수이므로 x, y의 값이 무엇이든 항상 그 값이 짝수 또는 0이 나옵니다. 예를 들어 x = 3, y = 1이라고 하면 2 x 3 - 4 x 1 = 2이므로 짝수가 나오죠? 이와 같이 어떤 퍼즐을 풀 수 있고, 어떤 퍼즐을 풀 수 없는지 쉽게 판단할 수 있습니다.

 

지금까지 물통 퍼즐을 쉽게 푸는 방법과 풀 수 있는 퍼즐인지 판단하는 방법을 알아봤습니다.

아래 퀴즈를 풀며 기사의 내용을 복습해 보는 건 어떨까요? 코로나 바이러스로 인해 집에서 머무는 지금, 재밌는 물통 퍼즐을 풀며 시간을 보내보세요!

(이미지 출처 : PIXABAY)

[오늘의 퀴즈!]

1. 3L 들이 물통과 7L 들이 물통으로 6L를 만들어보세요!

2. 10L 들이 물통과 12L 들이 물통으로 11L를 만들 수 있을까요?(단, 다른 도구는 사용할 수 없으며 물은 충분히 받거나 버릴 수 있습니다.)

수학동아 기자의 한마디
수학동아 기자 2020.05.11
영화 '다이하드 3'의 제작진은 알고 있을까요? 지구 어딘가에서 관객 한 사람이 물통 퍼즐을 분석해 기사를 썼다는 사실을요!
물통 퀴즈 자체도 흥미로웠지만 이 퀴즈를 방정식으로 바꿔서 답을 구하는 과정, 풀 수 있는 퀴즈인지 아닌지를 아는 방법 모두 재미있어요.
재미있는 콘텐츠를 만들기 위해서 꼭 어려운 수학을 알아야 하는 건 아니라는 점을 다시금 일깨워 줘 고마워요, 집돌이 페렐만 기자!

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    사람입니까휴먼 Lv.1 2020.05.08 17:06

    저도 다이하드 봤어요!

    댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
  •  
    GUN.007 Lv.11 2020.05.08 17:27

    2L, 4L의 경우에도 만약 기둥형태이라면(보통 대부분 실제로 그렇고)

    2L을 옆으로 기울이고, 4L도 옆으로 기울이면 각각1L, 2L이 나옵니다.

    따라서 만약 기둥형태라면은 만들 수는 있습니다.

    기둥 형태의 물통이 아닌 경우라는 그런 조건이 약간 있어야 할 것 같네요~

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    •  
      GUN.007 Lv.11 2020.05.08 17:29

      정확히는 좌우 대칭형이요

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    •  
      집돌이 페렐만 Lv.9 2020.05.08 21:23

      맞습니다! 정확하게 알려주셨네요. 제가 미쳐 살피지 못한 부분이었습니다. 다이하드 영화에서는(영화 내용을 바탕으로 하므로) 원통형 통인데, 저작권으로 인해 따로 사진을 가져오지는 못했네요. ㅎㅎ

      조건을 추가하지 못한 것은 제 불찰입니다 ㅜㅜ 알려주셔서 감사합니다!

      (+ 이 기사를 응용한 매스펀 문제에서는 GUN 님께서 말씀한 성질을 이용해 푸는 문항도 있답니다 찡긋)

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  •  
    ---------- Lv.7 2020.05.08 21:01

    페렐만님, x와 y에 대한 식을 세워서 부정방정식의 정수해를 찾는 형식인건가요?

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    •  
      집돌이 페렐만 Lv.9 2020.05.08 21:21

      맞습니다! 해가 자연수 또는 0인 부정방정식을 찾는 형식입니다. 그러나 기사에서는 모두 이해할 수 있도록 '방정식'이라는 쉬운 개념으로 설명하기 위해 부정 방정식이라는 용어를 사용하지 않았습니다.

      정확하게 읽고 알려주셔서 감사합니다!

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  •  
    아인수타인 Lv.12 2020.05.08 21:30

    저 방법도 좋긴 하지만 이렇게 도표로 나타내면 훨씬 눈에 잘 들어옵니다!

    여기서 가로는 3L에 든 물 양, 세로는 5L에 든 물 양이고, 빨강색은 물을 넣고, 빼고, 옮기는 것을 의미합니다.

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    •  
      집돌이 페렐만 Lv.9 2020.05.08 21:34

      이런 방법이 있었군요! 감사합니다~!

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    •  
      가우스9 Lv.4 2020.05.16 16:57

      저도 이것을 배운적 있습니다.

       

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