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자유 기사 기사 작성법
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[자유 기사] ‘셀 수 있는 무한’... 들어보셨나요??
못난명서 2020.05.07 04:31

여러분들은 무한이라는 단어를 들으시면 어떤 것이 떠오르시나요?? 아마 대부분 많이 까마득한, 우리가 상상하기 힘든 그런 거대한 크기의 무언가가 떠오르실 것 같아요. 무한이라하면 우리가 모르는, 혹은 알 수 없는 어떤 비밀스러운 것을 품고있는 것 같아 아주 오래전부터 우리 인류의 호기심 대상이었습니다. 실제로 학자들 사이에서 무한을 수학과 과학의 언어로 설명하려는 것은 많은 분란을 일으켰고, 그런 점에서 무한은 오히려 종교나 철학에서 초월적 세계의 경계를 설정하는 척도가 되었습니다. 무한을 이해하려는 것은 곧 신에 대적하는 것이였죠.

 

이런 분위기 속에서도 무한에 도전장을 내민 수학자가 있었습니다! 바로 수학의 본질은 그 자유로움에 있다.’라고 말씀하신 칸토어입니다. 칸토어는 일대일 대응을 할 수 있으면 두 집합의 크기는 같다.’라는 갈릴레오의 아이디어에서 힌트를 받아 무한의 세계를 탐험하게 됩니다.

칸토어의 무한이야기를 들어보기 전에, 오늘은 갈릴레오의 아이디어를 살펴보겠습니다!

여러분은 자연수와 짝수 중에 어떤 수가 더 많을 것 같다고 생각하시나요??

(잠시 혼자 상상해보세요!)

.

.

상상이 되셨나요??

아니 모든 짝수는 자연수에 포함되니까 당연히 자연수가 더 많은거 아니야!?’ 라고 생각하시는 분들도 계실 테고 ... 그래도 무한으로 가면 좀 모르겠는데..?’라고 생각하시는 분들도 계실 것 같아요!

이 문제를 이해하려면, 먼저 유한한 상황에서 이해해야합니다. (무한을 이해하기 위해선 먼저 유한을 이해해야 해요!)

먼저 자연수를 차례대로 5개씩 뽑은 다음 X집합에 넣고 짝수도 5개를 뽑아 Y집합에 넣었습니다. <그림 1>을 보면 X집합의 원소(1,2,3,4,5)Y집합의 원소(2,4,6,8,10)에 차례대로 각각 하니씩 대응하는 것을 볼 수 있을거에요. 이렇게 두 집합이 서로 일대일 대응을 할 경우 두 집합의 크기는 같다고 할 수 있습니다.

아니 근데.. 짝수 집합(Y)은 최대숫자를 10까지 해놓고 자연수 집합(X)5까지 해놓은 다음 두 집합의 크기 같다고 하는 것은 불공평한거 아니냐구요??? 그럼 공평하게 두 집합 모두 서로 최대숫자를 10까지 해놓고 원소를 가져와 볼게요!

똑같이 두 집합 모두 최대 숫자를 10까지 한 다음 표현해봤습니다. 어떤가요?? 최대숫자의 기준을 동일하게 설정하니까 X집합이 Y집합보다 원소의 개수가 2배나 많네요! 그리고 자세히 보시면 Y집합 원소가 모두 X집합의 원소에 포함되어 있는 것을 볼 수 있습니다. 짝수는 자연수의 부분이니까요! 이렇게 최대숫자를 10으로 하든 1000으로 하든 999999999로 하든, 혹은 우리가 상상할 수 없는 어마어마한 크기의 숫자로 하든 같은 기준 내에서는 항상 자연수의 개수가 짝수의 개수보다 많습니다.

 

하지만.. 누군가 그 기준을 무너뜨린다면 어떻게 될까요?? 자연수와 짝수를 아주 많이, 그냥 많이도 아니고 아~~~~주 많이, 우리가 상상할 수 없는 어마어마한 크기의 숫자 그 너머인 무한대만큼 가져온 다음에 각각 XY에 마구마구 집어넣는거에요!

아이고.. 집합 XY 모두 원소의 개수가 너~ ~무 많다보니 전부 표현을 못했어요..ㅠㅠ (그래도 괜찮아요! 우리에겐 ‘...’ 이란 엄청난 도구가 있으니!!) 이제 집합XY중 어떤 집합이 더 큰지 비교해보고 싶은데... 저 많은 원소들은 서로 11 대응이 될 수 있을까요??? 아니면... 아직도 자연수의 개수가 짝수 개수보다 많을까요??

(마지막으로 혼자 한번 생각해보세요!-!)

.

.

살짝 감이 오셨나요??? 한번 숫자들을 차근차근 나열해서 대응을 시켜볼게요.

 

자연수(X집합)에서 어떤 수 n을 뽑아도 그 수는 항상 짝수(Y집합)2n에 대응이 될 것입니다. 다시 말해 자연수집합에서 어떤 원소를 뽑아도 짝수의 집합과 11 대응이 가능합니다! 물론 짝수의 집합에 있는 숫자 어떤 것을 뽑아도 그 숫자는 모두 자연수 집합에 포함되겠죠. 하지만 숫자의 개수가 무한히 많다 보니 계속해서 새로운 짝수 2n을 뽑을 수 있고 그 수는 자연수 n과 대응될 것입니다. 즉 자연수 집합과 짝수 집합은 서로 11 대응이며 그 크기가 같다는 얘기가 되고 이는 곧 자연수의 개수와 짝수의 개수가 같다는 얘기가 됩니다. 이처럼 무한의 세계에서는 부분도 전체처럼 풍요롭고 그 크기 또한 전체와 같을 수 있게 됩니다.

 

같은 방식으로 홀수의 개수도 의 개수도 모두 자연수의 개수와 같습니다. 그리고 자연수의 개수와 같은 이런 집합을 셀 수 있는 무한 집합이라고 부를 수 있죠.

 

셀 수 있는 무한이란 말이 아직 감이 잘 안오시나요?? 더 쉽게 설명하자면...

제가 별을 참 좋아해서 밤하늘의 별을 찍어봤는데요!! 별이 무수히 많죠?? 이 별들의 개수는 무한이라고 할 수 있죠. 그리고 우리는 이 별들의 개수를 하나, , ...’이렇게 셀 수 있습니다. 그러면 이 별들 하나하나는 자연수에 대응이 될 수 있을 것입니다. 즉 별들의 집합은 자연수 집합과 그 크기가 같으며 셀 수 있는 무한 집합이라고 부를 수 있게되죠!

이번에는 친구들과 바닷가를 놀러갔습니다! 여기서 우리는 보통 ~~ 모래가 정말 많다!!’라고 표현할 거에요. 하지만 무한을 배운 우리는 이제 당당히 수학적으로 말할 수 있습니다!

우와~~ 모래가 셀 수 있는 무한대만큼 있네!!! ^ㅁ^ ’

 

(다음에 칸토어 이야기로 돌아오겠습니다.)

퀴즈

우리는 오늘 정수집합, 짝수집합, 2의제곱 수 집합들이 셀 수 있는 무한 집합인 것을 배웠습니다.

그러면 (1)유리수 집합은 셀 수 있는 무한집합일까요??? 아닐까요??? 이유와 함께 설명해주세요!

(2) 1번 문제를 푸셨다면 실수집합에 대해서도 고민해보세요! 

 

 

Ps. 무한에 관련된 기사쓰는데 특수문자에 무한대 기호가 없어서 당황했습니다.. ㅠㅠ 그리고 수학동아 기자분들 존경합니다.. 아무리 좋아하는 분야의 글이라도 기사쓰는게 이렇게 오래걸리고 어려운 일인지 몰랐네요... 

 

수학동아 기자의 한마디
수학동아 기자 2020.05.11
'무한'은 정의하기도 쉽지 않았던 개념이었어요. 기사에서 말했듯 학자들 사이에 엄청난 분란을 일으켰지요.
그래서일까요? 무한이 무엇인지 분명하게 설명하는 지금도 무한은 여전히 신비롭고 재미있습니다.

무한이 무엇인지, 어째서 자연수 집합과 짝수 집합의 크기가 같다고 할 수 있는지를 차근차근 알려주는 기사예요. 이보다 더 잘 해낼 수 있을까요?
아마 이 기사를 읽은 모두가 자신의 수학적 사고가 한 단계 더 발전했음을 느낄 수 있을 거라 생각해요.

P.S. 수학동아 기자들에게 남긴 인사말도 감사합니다:)
매스포터는 수학동아 기자 생활을 간접체험하게 하려는 큰 그림이었...
이 기사 어떠셨나요?

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  •  
    아인수타인 Lv.12 2020.05.08 11:14

    와... 기사 정말 잘 쓰셨네요...

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    •  
      못난명서 Lv.2 2020.05.10 18:18

      감사합니다!!! :)

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  •  
    수킹 Lv.6 2020.05.09 13:21

    잘보고 갑니당^^

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    •  
      못난명서 Lv.2 2020.05.10 18:19

      감사합니다 !!!! :)

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  •  
    GUN.007 Lv.11 2020.05.11 17:59

    하긴 무한이란 개념이 약간 처음에는 어색하죠

    잘  쓰신 것 같네요!!

    좋아요 누르고 갑니다!!

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    •  
      못난명서 Lv.2 2020.05.13 00:35

      좋게 봐주셔서 감사합니다~~!!

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  •  
    Yunite Lv.6 2020.05.11 18:10

    셀수있는 무한이라니... 신기하군요.

     

    예시도 유익했어요! 

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    •  
      못난명서 Lv.2 2020.05.13 00:37

      ㅎㅎㅎ 감사합니다!! 많은 분들이 별이랑 모래알갱이들 보면서 무한에 대해 생각했음 좋겠어어요~~!

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  •  
    유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.05.11 18:10

    저요?<ㅍㅍ

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    •  
      Yunite Lv.6 2020.05.12 14:19

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    •  
      못난명서 Lv.2 2020.05.13 00:38

      헉.. 정말 무한대의 끝을 보셨나요..ㅠㅠ

      거기엔 뭐가있나요????????????!!!!!!

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    •  
      mumam Lv.5 2021.04.24 10:51

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  •  
    0에수렴하는자 Lv.1 2020.05.13 17:05

    와...지식 설명력 논리력

    무대를 뒤집어놓으셨다!

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  •  
    유한의끝도못본남자 Lv.7 2020.05.30 13:52

    제가 쓴글 봐보세요

    http://www.polymath.co.kr/article/view/119

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    •  
      못난명서 Lv.2 2020.08.31 01:39

      아~~ 이제와서야 확인했네요 ㅠㅠ 감사합니다!!

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  •  
    Sagan Lv.6 2020.09.23 09:00

    잘 읽고 갑니다. 앞으로도 좋은 글 기대할게요~

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  •  
    피타고라수 Lv.4 2020.11.05 17:57

    유리수 집합은 자연수 집합과 일대일대응을 할 수 없습니다.

    그러니 셀 수 없는 무한집합 아닐까요??

    실수집합은, 유리수 집합과 같이 일대일대응을 할 수 없으니 유리수집합처럼 셀 수 없는 무한집합 같습니다.

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    •  
      사인 Lv.4 2021.04.13 22:45

      실제로 집합론을 공부하다 보면 알게 되시겠지만

      유리수 집합은 자연수 집합과 크기가 같습니다. 즉 일대일 대응 ㄱㄴ

      힐베르튼가 누구였나 대각선법으로 깔쌈하게 증명했던 것 같은데 누군진 잘 모르겠네요

       

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    •  
      피타고라수 Lv.4 2021.04.14 10:12

      저, 이번주에 그 사실에 대해 배웠습니다. 이야,, 정말 대단한 방법이더라고요

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  •  
    아르키메데스 Lv.4 2021.01.11 20:59

    잘 쓰셨네요!!!

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  •  
    룬위스퍼 Lv.4 2021.02.07 07:18

    못난명서!

    못난명서!

    못난명서!

    못난명서!

     

    그는... 신이야!!

     

    이 짤 알죠?

    기사 잘봤습니다. 예전에 판수에서 봤던 내용인데 이렇게 만나니까 반갑고 그러네요. 히히

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