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[개념 기사] 타원의 넓이는 어떻게 구할까? 카발리에리의 원리
Benedict 2020.04.02 01:37

타원에 대해 아시나요? 원이 중심으로부터 거리가 같은 점들의 집합이라면, 타원은 두 초점으로부터 거리의 합이 같은 점들의 집합입니다.

타원은 자연에서도 볼 수 있어요. 행성들의 공전궤도가 대표적인 예입니다.

그런데, 타원의 넓이는 어떻게 구해야 할까요? 

타원의 방정식을 적분해서 구할 수도 있지만, 좀 더 간단한 방법으로 타원의 넓이를 구할 수는 없을까요?

 

(출처 : zh.m.wikipedia.org, 타원 위의 점들은 두 초점들로부터 거리의 합이 같다)

 

 

 

적분의 기초가 된 카발리에리의 원리

보나벤투라 프란체스코 카발리에리는 1500년대 이탈리아의 수학자예요.

이 때는 미적분의 개념이 정립되지 않았던 시기고요.

카발리에리가 창시한 원리는 다음과 같습니다.

"어떤 두 개의 평면도형을 여러 개의 평행인 직선으로 나눌 때, 잘린 길이의 비가 항상 m:n으로 일정하다고 했을 때. 두 평면도형의 넓이의 비도 m:n이다"

카발리에리의 원리는 나중에 구분구적법으로 발전하게 되었고, 이는 다시 정적분으로 발전했어요.

 

 

 

 

(출처 : ko.wikipedia.org,

보나벤투라 카발리에리의 모습이다.)

 

 

타원의 넓이를 구해보자!

이제, 타원의 넓이를 구해볼까요?

준비물은 긴반지름의 길이가 a, 짧은 반지름의 길이가 b인 타원과 반지름의 길이가 b인 원입니다.

종이에 그려주세요!

이 때 타원의 방정식은 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, 원의 방정식은 x^2+y^2=b^2이라고 알려져있어요.

원점으로부터 y축 방향으로 h만큼 떨어진 지점에서 x축과 평행한 직선 l을 그려볼까요?

방정식에 y=h를 대입하면 타원, 원이 l과 만나는 교점의 x좌표를 알 수 있어요.

 

타원과 만나는 점의 x좌표는 x=a\sqrt{1-\frac{h^2}{b^2}}=\frac{a}{b}\sqrt{b^2-h^2}이고, 원과 만나는 점의 x좌표는 \sqrt{b^2-h^2}입니다.

 

카발리에리의 원리에 의해, 타원의 넓이는 원의 넓이의 \frac{a}{b}배가 될 거예요.

원의 넓이는 \pi b^2이니까, 타원의 넓이는 ab\pi!

 

신기하지 않나요? 쉽지 않지만, 적분에 비하면 훨씬 쉽답니다ㅠㅠ.. 카발리에리의 원리를 또 다른 곳에 사용할 수 있을까요? 좋은 아이디어가 있다면 알려주세요!

 

<오늘의 QUIZ>

카발리에리의 원리를 3차원으로 확장시켜보자!

수학동아 기자의 한마디
수학동아 기자 2020.04.06
원과 비슷하게 생겼지만 넓이를 구하는 방법은 잘 몰랐던 타원! 이 기사를 읽으면 타원의 넓이도 간단하게 구할 수 있겠어요.
글과 식을 간결하게 적었고, 기사에 필요한 사진과 그림도 적절하게 배치했다는 점 칭찬합니다!

다만, 카발리에리의 원리를 소개하면서 '어떤 두 개의 평면도형을 여러 개의 평행인 직선으로 나눌 때, 잘린 길이의 비가 항상 m:n으로 일정하다고 했을 때'라고 썼는데요.
글만 읽어서는 어디가 m:n인지 잘 이해가 되지 않아요. 나중에 타원의 넓이를 구할 때 핵심이 되는 원리이기 때문에 그림 설명을 추가해서 이해하기 쉽게 해 주세요.

그리고 수식에서 x, y가 나올 때는 꼭 좌표평면을 추가해서 무엇이 x이고 y인지를 분명히 하는 게 좋습니다.
(지금은 으레 그렇듯 긴 반지를 a와 짧은 반지름 b가 만나는 지점이 xy평면의 원점이겠거니 하고 넘어갔지만! 매스포터 기사라고 쉽게 넘어가진 않겠다!)

앞으로도 발전하는 모습 기대합니다:-)
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    가우스9 Lv.3 2020.05.16 19:39

    우와~~!

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    매스파이 Lv.7 2020.05.26 12:42

    abc\pi^{2}

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    •  
      Benedict Lv.5 2020.05.27 00:13 비밀댓글
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  •  
    리프 Lv.6 2020.05.30 22:40

    카빌리에리의 원리는 타원이나 타원체의 면적, 부피를 구하는 것 뿐만 아니라 다른 복잡한 입체도형의 부피를 구할 때도 되게 유용하게 쓸 수 있습니다. 예를 들어, 복잡하게 생긴 어떤 입체도형에 대해 높이가 h인 부분의 넓이가 kh^2(k는 상수) 꼴로 표현된다면, 이는 뿔형 도형에 대응이 가능함을 알 수 있습니다. 이러한 방식으로, 복잡하게 생긴 도형을 간단한 도형에 대응시키는 방법으로 부피를 구할 수 있습니다.

     

    이렇게 적어놓으면 '당연한 소리 아닌가?' 하고 생각하는 분들이 많으실텐데 막상 문제로 만들면 엄청 고난이도 문제가 됩니다 ㄷㄷ (특히 영재학교 시험 문제에 자주 나오는 형태)

    알아두시면 좋을 것 같아서 한 번 적어봤습니다 ㅋㅋ

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  •  
    황금 열쇠 Lv.7 2020.07.27 12:15

    \frac{4}{3}\pi abc  아닐까요

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      Benedict Lv.5 2020.07.27 15:43 비밀댓글
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  •  
    모르는것 많습니다 Lv.2 2020.09.30 21:54

    \frac{4}{3}\pi\frac{abc}{2} +\frac{abc}{2}이지 않을까요?

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    •  
      Benedict Lv.5 2020.10.03 00:44 비밀댓글
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