타원에 대해 아시나요? 원이 중심으로부터 거리가 같은 점들의 집합이라면, 타원은 두 초점으로부터 거리의 합이 같은 점들의 집합입니다.
타원은 자연에서도 볼 수 있어요. 행성들의 공전궤도가 대표적인 예입니다.
그런데, 타원의 넓이는 어떻게 구해야 할까요?
타원의 방정식을 적분해서 구할 수도 있지만, 좀 더 간단한 방법으로 타원의 넓이를 구할 수는 없을까요?
(출처 : zh.m.wikipedia.org, 타원 위의 점들은 두 초점들로부터 거리의 합이 같다)
적분의 기초가 된 카발리에리의 원리
보나벤투라 프란체스코 카발리에리는 1500년대 이탈리아의 수학자예요.
이 때는 미적분의 개념이 정립되지 않았던 시기고요.
카발리에리가 창시한 원리는 다음과 같습니다.
"어떤 두 개의 평면도형을 여러 개의 평행인 직선으로 나눌 때, 잘린 길이의 비가 항상 m:n으로 일정하다고 했을 때. 두 평면도형의 넓이의 비도 m:n이다"
카발리에리의 원리는 나중에 구분구적법으로 발전하게 되었고, 이는 다시 정적분으로 발전했어요.
(출처 : ko.wikipedia.org,
보나벤투라 카발리에리의 모습이다.)
타원의 넓이를 구해보자!
이제, 타원의 넓이를 구해볼까요?
준비물은 긴반지름의 길이가 a, 짧은 반지름의 길이가 b인 타원과 반지름의 길이가 b인 원입니다.
종이에 그려주세요!
이 때 타원의 방정식은 , 원의 방정식은
이라고 알려져있어요.
원점으로부터 축 방향으로
만큼 떨어진 지점에서
축과 평행한 직선
을 그려볼까요?
방정식에 를 대입하면 타원, 원이
과 만나는 교점의
좌표를 알 수 있어요.
타원과 만나는 점의 좌표는
이고, 원과 만나는 점의
좌표는
입니다.
카발리에리의 원리에 의해, 타원의 넓이는 원의 넓이의 배가 될 거예요.
원의 넓이는 이니까, 타원의 넓이는
!
신기하지 않나요? 쉽지 않지만, 적분에 비하면 훨씬 쉽답니다ㅠㅠ.. 카발리에리의 원리를 또 다른 곳에 사용할 수 있을까요? 좋은 아이디어가 있다면 알려주세요!
<오늘의 QUIZ>
카발리에리의 원리를 3차원으로 확장시켜보자!
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카빌리에리의 원리는 타원이나 타원체의 면적, 부피를 구하는 것 뿐만 아니라 다른 복잡한 입체도형의 부피를 구할 때도 되게 유용하게 쓸 수 있습니다. 예를 들어, 복잡하게 생긴 어떤 입체도형에 대해 높이가 h인 부분의 넓이가 kh^2(k는 상수) 꼴로 표현된다면, 이는 뿔형 도형에 대응이 가능함을 알 수 있습니다. 이러한 방식으로, 복잡하게 생긴 도형을 간단한 도형에 대응시키는 방법으로 부피를 구할 수 있습니다.
이렇게 적어놓으면 '당연한 소리 아닌가?' 하고 생각하는 분들이 많으실텐데 막상 문제로 만들면 엄청 고난이도 문제가 됩니다 ㄷㄷ (특히 영재학교 시험 문제에 자주 나오는 형태)
알아두시면 좋을 것 같아서 한 번 적어봤습니다 ㅋㅋ