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[자유 기사] 물을 멀리 뿌리는 방법
아인수타인 2020.03.28 14:51

(대표이미지 출처: https://pixabay.com/ko/photos/%ED%99%94%EC%9E%AC-burning-house-2946038/)

 

어느 집에서 화재가 발생했는데 소방서가 멀리 있어 혼자 불을 꺼야 한다고 생각해보세요. 다행히 마당에 물을 뿌릴 수 있는 긴 호스가 있어 그걸로 불을 끌 수 있습니다. 하지만 불이 난 집에 가까이 다가가면 위험하기 때문에 최대한 멀리서 물을 뿌려야 합니다. 그러면 물을 몇 도의 각도로 뿌려야 가장 멀리 쏠 수 있을까요? 단, 공기저항 등의 마찰을 따지면 너무 복잡해지기 때문에 여기서는 무시할게요.

호스는 몇 도로 쏘든 항상 같은 속력으로 물을 뿌립니다. 만약 각도가 너무 작다면, 물은 같은 시간 동안 오른쪽으로 더 멀리 가겠지만 대신 금방 땅에 닿게 됩니다. 반대로 각도가 너무 크다면, 땅에 금방 닿지는 않지만 대신 같은 시간 동안 오른쪽으로 멀리 가지는 못합니다(물 뿌리는 속도는 일정하기 때문에 위로 뿌리면 물은 높이 올라가지만 멀리 가지는 않게 됩니다). 그러니 각도를 너무 크게 하지도, 작게 하지도 않아야겠지요(아래 그림 참조)?

물을 몇 도로 쏘았을 때 가장 멀리 쏠 수 있는지 계산하려면 어떤 정보가 필요할 것 같나요? 물이 나아간 거리 R을 구하는 공식이 있긴 하지만, 조금 뒤에 나올 사례를 보면 이 방법을 적용할 수 없습니다. 한마디로 ‘일반적이지 않은’ 거죠. 물을 몇 도의 각도로, 얼마의 속도로 뿌릴지 결정한다면, 물이 나아가는 궤적은 자동적으로 결정됩니다. 그럼 물이 나아가는 궤적의 함수식이 가장 필요하지 않을까요? 그것만 구하면 함수식의 x절편이 최댓값이 될 때, 각도를 구하면 풀리겠죠. 함수식을 구하려면, 초기 조건(각도와 초기속도)을 정해 둬야 합니다. 그럼 이것을 미지수로 잡아 봅시다. 초기속도는 v, 각도는    heta로요. 이 때    heta는 변할 수 있는 변수지만, v는 항상 일정한 상수라는 사실을 기억해둬야 합니다. 앞에서 말했듯이, 물 뿌리는 속력은 일정하기 때문이죠.

시계이(가) 표시된 사진자동 생성된 설명

   hetav를 나타내서 물이 나아가는 함수를 유도할 수도 있지만, 그러면 복잡하기도 하고 물리학적인 관점으로 넘어가야 해서 이 기사에서는 넘어갈게요. (혹시라도 유도 과정이 궁금하신 분들은, https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=5741299&cid=60217&categoryId=60217를 참조하세요. 맨 마지막에 tx에 대해 나타내주고, 그걸 y에 대입해주기만 하면 나옵니다.) 결론만 말하면, 물이 나아가는 함수식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

y=(   extup{tan}   heta )x-(\frac{g}{2v^2   extup{cos}^2   heta })x^2

여기서 g는 지구에서의 중력가속도로, 대략 9.8로 항상 일정한 값을 가집니다. 함수식이 나왔으니 x절편을 구해볼까요? y=0으로 놓고 x절편을 구하면 다음과 같이 나옵니다.

0=(   extup{tan}   heta )x-(\frac{g}{2v^2   extup{cos}^2   heta })x^2

(   extup{tan}   heta )x=(\frac{g}{2v^2   extup{cos}^2   heta })x^2

   extup{tan}   heta=\frac{gx}{2v^2   extup{cos}^2   heta } (x\neq 0이므로)

2v^2   extup{cos}^2   heta   extup{tan}   heta=gx

x=\frac{2v^2   extup{cos}^2   heta   extup{tan}   heta}{g}=\frac{2v^2   extup{cos}^2   heta\frac{   extup{sin}   heta }{   extup{cos}   heta }}{g}=\frac{2v^2   extup{cos}   heta   extup{sin}   heta}{g}

gv는 상수죠. 그러면    extup{sin}   heta    extup{cos}   heta가 최대가 될 때    heta의 값만 구하면 되겠네요?    extup{sin}^2   heta +   extup{cos}^2   heta =1과 산술기하평균부등식을 적용하면 다음과 같이 나옵니다.

   extup{sin}^2   heta +   extup{cos}^2   heta \geq 2\sqrt{   extup{sin}^2   heta    extup{cos}^2   heta }=2   extup{sin }   heta   extup{cos}   heta

산술기하평균부등식의 등호성립조건은    extup{sin}^2   heta =   extup{cos}^2   heta이므로    heta =45^{\circ}일 때 가장 멀리 뿌릴 수 있겠네요!

 

한편, 다른 집에서도 화재가 발생해 불을 끄려고 합니다. 그런데 이 집은 땅이 45^{\circ}의 각도로 경사져 있어요(너무 가파르긴 하지만). 이 때 물을 가장 멀리 쏘려면 어떻게 해야 할까요?

이 때는 x절편으로 구하면 안 되겠죠? 그래서 아까 제가 ‘R을 구하는 공식이 있긴 하지만 이것이 적용되지 않는 사례가 있다’라고 한 겁니다. 물 뿌리는 함수는 똑같습니다. 다만 마지막에    heta를 구하고 45^{\circ}를 빼 줘야 한다는 사실 잊지 마세요. 이번에는 x절편을 구하는 대신 ‘y=x의 그래프(땅의 함수)와 만나는 지점의 x좌표의 최댓값’을 구해야겠네요(사실 아까 상황도 y=0과 만나는 지점을 구한 것이라고 볼 수 있습니다). 이 상황에서는 몇 도로 뿌려야 할까요? 아까와 똑같이 하면 됩니다. 이건 여러분의 퀴즈로 남겨둘게요!

수학동아 기자의 한마디
수학동아 기자 2020.03.30
아인수타인 기자! 똑똑한 불 끄기 전략에 관한 기사 잘 읽었습니다.
요즘처럼 건조한 날씨에는 늘 화재를 조심해야 하죠? 시기에 맞는 주제를 골랐네요.
x, y, θ와 같은 기호가 많은데, 이를 쉽게 이해할 수 있도록 그림을 그린 점도 칭찬합니다!

중간에 작은 실수가 있네요. '2. 각도가 너무 큼'과 '3. 각도 적당함'은 서로 바꿔야 하는 것 맞죠?
그리고 수식을 전개할 때는 각 변수가 무엇을 의미하는지 분명하게 밝히고 전개하길 권장해요. 지금은 첨부해 준 링크를 눌러봐야만 x와 y가 뭔지 추측할 수 있겠어요.

이 기사를 읽는 모두 건강하고 안전하길 바라요!
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