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[개념 기사] 지하철노선도 속에 숨어 있는 그래프 이론
아인수타인 2020.03.16

수도권 지역에 사시는 분들이라면 아마 지하철을 자주 이용할 텐데요, 지하철을 이용할 때 가장 자주 보는 지도가 지하철노선도이죠. 지하철노선도를 보면 목적지까지 어떻게 가야 하는지 쉽게 알 수 있습니다. 그런데 과연 지하철노선도에 나와 있는 노선과 실제 노선이 완벽하게 일치할까요? 위의 사진은 서울지하철노선도이고, 아래 사진은 항공 사진 위에 지하철노선을 겹친 지도입니다.

 

 

(출처: 네이버지도)

 

어때요? 차이가 많이 나죠? 실제 지하철노선은 지하철노선도처럼 역 사이 간격이 일정하지 않고, 심지어 지하철노선도에서 남북을 잇는 구간이 실제로는 동서를 잇는 구간이기도 합니다. 그런데도 우리는 지하철을 이용할 때 일반 지도보다는 지하철노선도를 많이 보고 지하철노선도를 볼 때가 일반 지도를 볼 때보다 더 이해하기 쉽고 한눈에 들어옵니다. 왜 그럴까요? 그건 지하철노선도가 '그래프 이론'을 통해 만들어졌기 때문입니다.

 

 사실 런던 지하철노선도가 처음 만들어질 당시, 지하철노선도는 현재의 지하철노선도와 아주 달랐습니다. 현재의 지하철노선도와 달리, 지형에 대한 정보를 빼 놓지 않았고, 지하철이 산이나 호수 등을 빙 둘러 가면 노선도도 그대로 곡선으로 연결되어 있었죠. 사실 옛날 런던에는 지하철 노선이 얼마 없기는 했지만, 그래도 알아보기는 어려웠습니다. 만약 그 방식 그대로 현재까지 이어졌으면 정말 알아보기 힘들었을 겁니다.

 

 그럼 이제 지하철노선도가 만들어진 원리인 '그래프 이론'에 대해 알아볼까요? 그래프 이론의 '그래프'는 무엇일까요? 물론 무엇이 얼마의 비중을 차지하는지, 시간에 따라 어떻게 변화했는지 알려주는 도표도 그래프라 부르지만, 그래프 이론의 그래프는 그거와는 다릅니다. 그래프는 '점과 선으로 단순화시켜 나타낸 그림'을 말합니다. 예를 들어 서울 지도를 대략적으로 아래와 같이 나타내고 그래프로 그려봅시다.

 

(출처: 내가 그렸기 때문에 없음)

 

이제 강북, 강남, 여의도 3곳의 아무 위치에나 점을 찍습니다.

 

 

그 다음, 한강 다리를 따라 점들을 연결합니다.

 

 

마지막으로, 지형에 대한 정보 등은 전부 빼줍니다. 여기서는 보라색을 제외한 나머지는 전부 없애줍니다.

 

 

이렇게 되면 위 그림이 서울 지도를 그래프로 간단하게 나타낸 그림이 됩니다. 그래프가 뭔지 이제 감을 좀 잡으셨나요? 그런데 여기서 중요한 사실은, 점을 어떻게 찍고 선을 어떻게 긋든, 연결 상태가 같다면 전부 같은 그래프로 취급한다는 것입니다. 이런 그래프를 '위상이 같은 그래프'라고 합니다. 예를 들어 아래 세 그래프는 모두 위에 그렸던 서울 그래프와 위상이 같습니다.

 

 

모두 연결 상태가 같기 때문입니다. 예를 들어 A라고 표시되어 있는 점들은 모두 한 점과 선 1개, 나머지 한 점과 3개로 연결되어 있습니다. 여기서 마지막 3번째 그래프에서 선이 교차하는 지점이 생기는데요, 이런 부분은 점으로 치지 않습니다. 서울지하철노선도에도 노선이 그냥 교차하기만 하고 역이 없는 부분이 있는 것처럼요. 모두 똑같은 그래프지만, 많은 분들은 2번째 그래프를 가장 알아보기 쉬워할 것 같습니다. 다른 그래프들은 선들이 마구잡이로 뻗어 있는 반면(특히 3번째 그래프는요), 2번째 그래프는 선이 딱 떨어지게 직선으로 그려졌기 때문입니다.

 

이러한 그래프가 가진 성질을 연구하는 학문을 '그래프 이론'이라고 합니다. 그러면 이제 서울지하철노선도의 원리를 알겠나요? 서울지하철노선도도 알고 보면 역이 점으로, 노선이 선으로 그려진 하나의 그래프입니다. 서울지하철노선도는 실제 지하철 노선과 위상이 같게 그려져 실제 지하철노선과 일치하지는 않지만, 연결 상태(예를 들어 역이 위치한 순서)는 완벽히 일치합니다. 그래서 서울지하철노선도는 위 그림의 2번째 그래프처럼 여러 그래프 중에서도 알아보기 쉬운 그래프를 선택해 그려진 것이죠. 이 그래프 이론은 매우 많은 분야에 응용이 됩니다. 이 기사에서 알아본 지하철노선도도 그 중 하나고, 순수 수학에서도 많이 이용됩니다. 가장 대표적인 예가 4색 정리이죠. 이 기사에서 알아본 것처럼 수학과 전혀 상관없어 보였던 서울지하철노선도에도 수학이 숨어 있었습니다. 놀랍지 않나요?

 

-오늘의 퀴즈-

서울지하철노선도는 어떤 원리에 의해 만들어졌을까?

1. 그래프 이론

2. 해석학

3. 기하학

수학동아 기자의 한마디
수학동아 기자 2020.04.13
10년 전, 제가 서울에 처음 갔을 때가 생각나네요. 지하철 노선도에는 다음 역의 위치가 아주 가깝게 나와있길래 실제로도 가까울 줄 알고 걸어가려고 했었거든요. 이 기사를 읽었더라면 아마 40분동안 추위 속에서 걷진 않았을 거예요...

기사 덕분에 지하철 노선도가 왜 실제와 다른지, 복잡한 정보를 어떻게 보기 쉽게 나타낼 수 있었는지를 알게 됐어요. 그림이 있어 그래프를 이해하기도 쉬웠고요.
직접 그림 그리느라 수고했을 아인수타인 기자에게 박수를 보내요!

다음에 기사를 쓸 때 도움이 될 몇 가지 방법을 알려드리자면, 글도 그래프처럼 단순하게 만들어야 해요.
그 첫 번째 방법은 접속사 없애기예요.
'사실', '물론', '그러면'과 같은 부사나 접속사가 있는 문장은 다시 살펴보세요. 이것들을 빼도 말이 되면 빼는 거지요.

두 번째 방법은 비슷한 문장 없애기예요.
기사 속에 '지하철노선도는 그래프다'라는 뜻인 문장이 여러 번 나와요. 글을 여러 번 읽어보면서 비슷한 의미인 문장이 반복되지 않게 편집한다면 술술 읽히는 글이 될 거예요!

도움이 됐으면 좋겠습니다~
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