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개념 기사 기사 작성법
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[개념 기사] 파이에 대해 알아봐요!
TEAM PI 2020.12.24 11:13

안녕하세요!

팀 파이 입니다. 

이번에는 앞선 문제(링크)에 앞서서 기사를 써보았어요!

많은 팀원 분들의 노력이 들어가 있으니 길어도 끝까지 읽어주세요!

 

 

 

 

파이는 굉장히 오래전부터 존재했고, 현재까지도 쓰이곤 합니다.

파이는 원둘레와 지름의 비 즉, 원의 지름에 대한 둘레의 비율을 나타내는 수학 상수이고, 수학과 물리학의 여러 분야에 두루 쓰여요.

그리스 문자 π로 표기하고, 파이라고 읽습니다.

파이는 수학에서 다루는 가장 중요한 상수 가운데 하나이죠.

무리수인 동시에 초월수 입니다.

파이의 값은 3.141592653589793238462643383...으로 순환하지 않는 무리수이기 때문에, 근삿값으로 3.14를 사용하거나 기호 파이(π)로 사용해요.

B.C. 2000년경에는 바빌로니아 사람들과 이집트 사람들이 원의 넓이와 원의 둘레를 재려고 사용해 3.1605라는 값을 구했어요. 이는 직접 원형의 바퀴를 굴려서 구한 것으로 여겨집니다.

B.C. 250년경에는 아르키메데스가 원 안에 내접하는 96각형을 활용하여 3.14163보다 조금 큰 값이라는, 시대 당시에 비해 놀라운 결과를 내었습니다.

 

동양에서도 정확한 원주율을 계산하기 위한 노력은 있었어요.

263년, 위나라의 수학자 유희가 정백구십이각형을 이용하여, 동양 최초로 원주율 값을 3.14로 계산했어요.

480년에는 중국 남조의 수학자 조충지가 원에 내접하는 정이만사천오백칠십육각형을 이용하여, 3.141592라는 값을 얻었습니다.

이는 현대 공학 계산에 쓰여도 손색이 없을 정도로 굉장한 발전이었죠.

 

1400년에는 인도의 마다바가 라이프니츠 급수를 고안하여 소수점 10자리까지,

1424년 페르시아의 잠쉬드 알 카샤니가 정팔천오백삼십만육천삼백육십팔각형을 이용하여 16자리까지 계산했어요.

1593년 프랑수아 비에트가 유럽에서 처음으로 무한급수를 이용한 계산법을 고안했습니다.

1596년에는 루돌프라는(루돌프? 산타?) 수학자가 원의 둘레를 계속 이등분하여 결국 원에 내접, 외접하는 정다각형으로부터 원주율을 소수점 20자리까지 계산했습니다.

그는 1621년에 35자리까지 계산하기도 했죠.

 

1706년에는 윌리엄 존스가 π를 처음으로 원주율로 나타내는 기호로 사용했습니다.

1722년에는 일본의 타케베 타가히로가 원주율을 소수점 이하 41자리까지 계산했고,

1739년에는 마츠나가 유시스케가 소수점 이하 49자리까지 구했다고 해요.

1766년에는 람베르트가 π가 무리수임을 증명했습니다. 1853년에는 러더퍼드가 파이를 400자리까지 계산했어요.

1873년에는 윌리엄 샹크스가 소수점 이하 707자리까지 15년간 계산하였지만 1945년에 527자리부터 틀렸다는 사실이 밝혀졌어요.

이는 수작업으로 π  근삿값의 최고기록으로 남아있어요.

1882년에는 독일의 린데르만이 π가 초월수임을 증명하여 원적 문제의 작도 불가능성을 최종 증명했습니다.

1948년에는 영국의 퍼거슨과 렌치가 공동으로 808자리까지 계산했고, 1961년에는 100265자리까지 계산했다고 해요.

 

또한 1900년대 후반부터 슈퍼컴퓨터를 사용하면서 파이의 근삿값이 정확히 계산되면서 정밀도가 엄청나게 높아지기 시작했어요.

현대에는 원주율이 몇 번째 자리까지 계산되었는지 살펴보면, 2010년 5조 자리, 2011년 10조, 2013년 12.1조 자리까지 한 회사원이 연속적으로 기록을 경신했습니다.

2014년에는 13.3자리, 2016년에는 파이의 자연로그 제곱 조인 22조 4591억 5771만 8361자리까지 계산했다고 해요.

2019년 파이 데이에는 구글이 31조가 넘는 자리까지 계산했음을 발표했죠.

2020년에는 무려 50조 번째 자리까지 기록이 경신되었습니다.

앞으로 얼마나 정밀하게 계산될지는 무궁무진할 것입니다.

현재는 평범한 컴퓨터를 이용하더라도 1억 번째 자리까지 계산하는 데에 1분도 걸리지 않는다고 해요.

그러나 이렇게 수작업으로 파이를 계산한 것이 전혀 도움이 안 된 것은 아니예요.

그 과정에서 파이에 대한 몇몇 유도식을 발견했기 때문이죠. 예를 들어, 파이를 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

 

대표적인 몇가지 식에 대하여 알아보겠습니다.

 

1. 오일러 공식 (가장 아름다운 공식이라고도 부릅니다)

e^{x}=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\cdots     e^x의 테일러 급수

e^{ix}=1+ix+\frac{1}{2!}(ix)^2+\frac{1}{3!}(ix)^3+\frac{1}{4!}(ix)^4+\cdots    x에 ix를 대입

      = 1+ ix-\frac{1}{2!}x^2-\frac{1}{3!}ix^3+\frac{1}{4!}x^4\cdots

e^{ix}=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots) +(ix-\frac{ix^3}{3!}+\frac{ix^5}{5!}-\frac{ix^7}{7!}+\cdots)     실수항과 허수항을 분리

cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots        cos x의 테일러 급수

sin x=1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots       sin x 의 테일러 급수

i\cdot sin x=ix-\frac{ix^3}{3!}+\frac{ix^5}{5!}-\frac{ix^7}{7!}+\cdots    양변에 i를 곱함

e^{ix}=i \cdot sinx +cos x         e^{ix}의 허수항 = i \cdot sin x,  실수항 = cos x

sin \pi =0, cos \pi =-1         *단위는 라디안

e^{i\pi }+1=0       x에 \pi를 대입

 

2. 라이프니츠 공식

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right).\end{aligned}}}

{\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx={\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow 0{   ext{ as }}n\rightarrow \infty .}

{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}

 

3. 가우스 적분

가우스 적분은  가우스 함수에 대한 실수 전체 범위의 이상적분인데요, 그 값은 아래와 같아요.

\int _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-x^{2}}}\,dx={\sqrt  {\pi }}

이 공식을 증명하는 방법에는 2가지가 있지만 여기서는 극좌표 변환을 이용하는 방법만 다루겠습니다.

우선 

\int _{{{\mathbf  {R}}^{2}}}e^{{-(x^{2}+y^{2})}}dxdy를 직교 좌표계 상에서 계산하면 다음과 같아집니다.

\int _{{{\mathbf  {R}}^{2}}}e^{{-(x^{2}+y^{2})}}dxdy=\int _{{-\infty }}^{\infty }\int _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-(x^{2}+y^{2})}}dxdy=\left(\int _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-x^{2}}}dx\right)^{2}

그리고 이 식을 극좌표로 변환하면 다음과 같습니다.

\int _{{{\mathbf  {R}}^{2}}}e^{{-(x^{2}+y^{2})}}dxdy=\int _{0}^{{2\pi }}\int _{0}^{{\infty }}re^{{-r^{2}}}drd   heta =2\pi \int _{0}^{\infty }re^{{-r^{2}}}dr=2\pi \int _{{-\infty }}^{0}{\frac  {1}{2}}e^{s}ds

=\pi \int _{{-\infty }}^{0}e^{s}ds=\pi (e^{0}-e^{{-\infty }})=\pi (1-0)=\pi

따라서 \left(\int _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-x^{2}}}dx\right)^{2}=\pi

\int _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-x^{2}}}dx={\sqrt  \pi }가 됩니다.

 

4. 연분수

이제 파이의 근사분수들을 계산해 봅시다.

무리수를 무한 연분수로 나타내는 방법은, 처음 몇 항까지의 연분수가 좋은 유리수 근삿값을 주기 때문에 특히 유용해요.

이런 근사 유리수값을 연분수의 근사분수라 부릅니다.

짝수 근사분수는 실제값보다 작은데 비하여, 홀수 근사분수는 실제값보다 커요.

{\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=\lfloor \pi \rfloor =3&u_{1}&={\frac {1}{\pi -3}}\approx {\dfrac {113}{16}}=7.0625\\a_{1}&=\lfloor u_{1}\rfloor =7&u_{2}&={\frac {1}{u_{1}-7}}\approx {\dfrac {31993}{2000}}=15.9965\\a_{2}&=\lfloor u_{2}\rfloor =15&u_{3}&={\frac {1}{u_{2}-15}}\approx {\dfrac {1003}{1000}}=1.003\end{aligned}}}

이런식으로 근사분수가 나오게 되요. 이를 반복하면, 무한 연분수

{\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\cdots ]\\&=3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}

가 나옵니다.

예를 들어, 355/133=3.14159292035.... 으로 파이의 근접합니다.

 

위에서 설명한 파이 이외에도 다른 파이들도 참 많이 존재합니다.

특히 수학만 해도 다른 파이들이 여럿 존재하는데요, 지금부터 알아보겠습니다!

 

1. π의 큰형님, Π

사실 이 친구는 우리가 익히 알고 있는 π의 대문자입니다. 이렇게 보니 마치 π의 아버지 같기도 하네요...

조합을 하셨으면 많이들 보셨을 것 같기도 합니다.

 

1) 곱 시그마

여러 연속적인 수들의 합을 나타내는 기호로 시그마(Σ)가 있습니다.

그렇다면 곱으로는 바로 이 기호가 있습니다. 바로 파이 시그마라고도 부르는 Π(n, k = 1)입니다.

여러 연속적인 수들의 곱으로, 곱이 많이 나오는 다항식에서 이를 축약할 때 자주 사용합니다. 

 

2) 중복 순열

이건 한국에서 좀 특화(?) 된 방법입니다.

이는 사실 기존의 거듭제곱으로 충분히 표현 가능한데, 굳이 기호를 만들었다는 점에서 약간 이해가 되지는 않지만... 혹시 어디선가 본다면, 

nΠm은 중복 순열로, n^m과 같다는 점만 알아두시면 될 거 같습니다.

 

3. π의 또다른 모습

보통 π하면 다들 원주율을 많이들 떠올리시지만, 사실 더욱 많은 의미가 존재합니다!

원주율이라는 가면에 가려진 파이의 다른 면들을 알아보죠!

 

1)삼투압

많이들 들어보셨겠지만 짚고 넘어가보겠습니다.

삼투압이란, 농도가 낮은 저장액에서 높은 고장액으로 용매가 이동하는 현상을 삼투 현상이라고 하는데, 이 현상으로 생기는 압력이 바로 삼투압입니다.

이때의 압력을 π로 나타내는데, 식은 π = nRT/V로, 언뜻보면 이상기체 상태방정식과 많이 유사하지만, 유도는 따로 이루어진다고 합니다!

 

2)소수 계량 함수

이 함수는 저도 이번에 조사하면서 처음으로 알게 되었는데요, π(n)는 n보다 작거나 같은 소수의 개수로 정의된다고 합니다.

즉, n보다 작은 소수의 개수를 세는 함수입니다.

 

4. 그 밖의 파이

이 이외에도, 다른 수많은 파이들이 존재합니다! 먹는 파이부터 ㅠ까지, 다양한 생활속 파이를 만나보죠!

 

1) 먹는 파이

먹는 파이는 다들 아시다시피 영국에서 유래된 크러스트 위에 재료를 얹거나 크러스트 안에 재료를 넣어 먹는 넓적한 접시 형태의 과자입니다.

속재료는 일반적으로 과일, 고기, 생선, 야채, 치즈, 크림, 초콜릿, 커스터드 크림, 견과류, 계란, 건포도, 시나몬 등이 대표적으로 있고,

파이는 후식, 식사, 간식용등 그 식용도가 정말 다채로운 음식중 하나입니다.

(이 중에서 저는 메이플 시럽을 뿌린 간식용 호두파이를 제일 좋아합니다)

 

2)파이데이 및 ㅠ 

그래서 파이데이는 파이의 근사값 중 하나인 3.1415926를 이용해 3월 14일 1시 59분 26초에 한다고 하며, 이날에는 파이를 먹기도 한답니다!

ㅠ는 생긴 것이 파이와 비슷해서(π) 가끔 사람들이 슬프거나 기분이 좋지 않아서 ㅠㅠ라고 보내면, 파이파이라고 하며 놀리는 사람도 간혹 있습니다..

주로 공학도들이 대부분입니다.

 

이처럼 파이의 다양한 모습들을 만나보았습니다.

이렇게 보니 파이가 매력적이지 않나요?

 

-오늘의 퀴즈!-

먹는 파이에 대한 부분의 작성자가 가장 좋아하는 파이는?

1. 딸기 시럽을 뿌린 간식용 호두파이

2. 메이플 시럽을 뿌린 사과파이

3. 파이 기호처럼 모양을 낸 파이데이용 사과파이

4. 메이플 시럽을 뿌린 간식용 호두파이

5. 10만자리까지의 π

수학동아 기자의 한마디
수학동아 기자 2020.12.28
파이에 대한 거의 모든 것을 다룬 정성스러운 기사네요! 하지만 기사는 한 가지에 집중해서 써야 독자들이 이해를 더 잘 할 수 있어요. 지금은 여러 유도식과 다양한 수학적 파이 등 파이에 대해 다루는 것이 너무 많아요. 다음에 기사를 쓸 때는 한 가지 주제에 집중해서 써보면 어떨까요? 수학동아 잡지 매스포터 코너에 실리는 기사들을 참고해 주세요!
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