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[자유 기사] 내쉬균형이란?
원형파이 2020.07.25

안녕하세요? 오늘은 노벨 경제학상과 아벨상을 수상한 존 내쉬 교수님과의 가상 인터뷰를 하려고 합니다.

존 내쉬 교수님은 1928년 미국 버지니아 주에서 출생하였고, 전액 장학금으로 현재의 카네기멜론대학교에 입학했습니다. 대학교에서는 화학공학에서 화학, 화학에서 수학으로 전공을 바꾸며 열아홉 살, 이미 학사와 석사 학위를 받았습니다. 스무 살이 된 해, 지도 교수가 써준 추천서에 '내쉬는 천재다'라고 써있었는데, 이 추천서만으로 내쉬는 미국 프린스턴대학교 대학원 과정을 역사상 최고의 장학금을 받고 들어갔습니다. 서른 살이 되던 해에는 업적을 인정받아 필즈상 후보로 올랐으나, 나이가 어리다는 이유 등으로 메달을 받지 못하게 됩니다. 계속해서 연구에 몰두해 필즈상을 수상할 수도 있었지만, 안타깝게도 교수님은 정신분열증 판정을 받게 됩니다. 교수님은 그러함에도 불구하고 연구를 이어갔으며, 아내 알리샤의 도움으로 증세가 호전돼 1994년 노벨 경제학상을 수상하게 됩니다. 또, 2015년 평생의 수학 업적을 인정받아 아벨상을 수상하였습니다. 그러나 아내와 함께 시상식에 참석한 후 집에 돌아가는 길 교통사고를 당해 안타깝게도 세상을 떠나셨습니다.

(2006년 당시 교수님의 모습)

그럼 본격적으로 인터뷰를 시작해보겠습니다.

소피 : 안녕하세요, 존 내쉬 교수님?

존 내쉬 : 안녕하세요.

소피 : 젊었을 때 수학 역사에 크게 이바지하신 것으로 알고 있습니다. 수학에 관해 어느 분야를 연구하셨나요?

존 내쉬 : 제가 2015년 경제학상을 받은 것은 22살 때 프린스턴 대학에서 박사학위를 받기 위해 쓴 논문이 영향이 컸습니다.

소피 : 22살 때 박사학위... 와, 정말 대단하시네요.

존 내쉬 : 아, 아닙니다. 그 때 썼던 논문은 게임에서 이기는 전략을 수학적으로 분석한 내용입니다.

소피 : 게임이라면 가위바위보 같은 것을 말하나요?

존 내쉬 : 물론 가위바위보도 포함하고, 가위바위보 하나 빼기 등 다양한 게임을 의미합니다.

존 내쉬 : 가위바위보나 가위바위보 하나 빼기 등은 제로섬 게임이고, 죄수의 딜레마 같은 게임들은 비제로섬 게임입니다.

소피 : 제로섬 게임이란 무엇인가요?

존 내쉬 : 제로섬 게임(Zero-Sum game)이란, 게임 참가자가 택할 수 있는 모든 경우의 이익과 손해의 총합이 0이 되는 게임을 말합니다.

소피 : 예를 들어, 가위바위보나 가위바위보 하나빼기를 생각해볼게요.

소피 : 한 명이 이기는 경우, 이긴 사람은 +1을, 진 사람은 -1을 갖게 되고, 비기는 경우, 모두 0을 갖게 되므로 제로 섬 게임이 되겠네요.

존 내쉬 : 맞습니다. 그렇다면 아래와 같은 죄수의 딜레마 문제는 제로 섬 게임일까요?

두 용의자 A, B가 있다. 둘 중 누가 범인인지 모르기 때문에 다음과 같은 상황을 주었다. 각각은 서로 대화를 나눌 수 없게 서로 다른 방에 가둬진다. A와 B 모두 자백 혹은 침묵을 택할 수 있다. 둘 모두 자백하면 A, B 모두 징역 2년을 받게 된다. 둘 중 한 명만 자백하면 침묵한 사람만 징역 3년을 받는다. 둘 모두 침묵하면 두 명 다 징역 1년을 받게 된다. (A와 B는 동일한 조건을 제시받는다.)

소피 : 둘 모두 자백하면 합 -4, 둘 모두 침묵하면 합 -2, 둘 중 한 명만 자백하면 2가지 합 -6이네요. 모두 합하면 -12이므로 이는 제로 섬 게임이 아니에요.

존 내쉬 : 제로 섬 게임이 아닌 것을 비제로섬 게임이라고 합니다. 비제로섬 게임의 예를 하나만 더 찾아볼까요?

소피 : 랜덤으로 0, 1, 2 중 하나를 골랐을 때, 각 수에 알맞는 점수를 받는 게임도 예가 될 수 있을 것 같아요. 모든 경우의 합은 0이 아닌 3이기 때문이죠.

존 내쉬 : 잘 찾았어요. 이런게 바로 제로섬 게임과 비제로섬 게임이랍니다.

소피 : 굉장히 신기하네요! 전에 내쉬균형이라는 말을 들어본 적이 있는 것 같은데, 내쉬균형이란 무엇인가요?

존 내쉬 : 내쉬균형을 설명하려면 우선 '사회적으로 최적의 해결책' 이라는 것을 알고 가는게 좋습니다.

소피 : 사회적으로 최적의 해결책...? 이렇게 긴 단어도 정해진 용어인가요?

존 내쉬 : 한국어라서 그럴 수도 있을 것 같아요. 영어로는 Socially optimal solution 이라고 칭합니다.

소피 : 그렇군요. 사회적으로 최적의 해결책으로는 무엇이 될 수 있을까요?

존 내쉬 : 이런 예를 들으면 이해가 빠를 것 같아요. 여러분들 모두 항상 길을 다니다보면 한동안 마트가 안보이다가 마트 여러 개가 모여 있는 일, 겪어보신 적 있나요?

소피 : 음... 있었던 것 같아요.

존 내쉬 : 어떤 것을 예로 들어도 좋습니다. 주유소는 여러 개가 모여있고, 카페들도 여러 개 모여 있습니다.

소피 : 네. 제 경험으로도 그건 사회적으로 최적의 해결책이 아닐 것 같네요.

존 내쉬 : 왜 그렇게 생각하시나요?

소피 : 왜냐하면, 사회적으로 최적이라는 것은 모두에게 최적의 상황을 주자는 것인데 옹기종기 모여있으면 멀리 있는 사람에게는 불편하고, 가까이 있는 사람에게는 편리하게 되기 때문이에요..

존 내쉬 : 정답입니다~! 그렇다면 가게들은 왜 최적의 상황을 만들지 않을까요?

소피 : 흠... 잘 모르겠어요.

존 내쉬 : 이런 게 바로 내쉬균형이라는 것입니다. 가게 주인들은 사회적으로 최적인 방법을 택하기보다는 자신의 이익을 추구하죠.

소피 : 물론, 저도 가게 주인이라면 그럴 것 같아요. 그런데 같은 가게가 여러 개 모여있다면 이익이 높아질까요?

존 내쉬 : 네! 얼핏 보면 아닌 것 같지만 사실 이익을 위한 경쟁입니다. 자, 마트 3군데가 균등히 분포해 있다고 생각해봅시다. 각각 얼마나 많은 손님이 올까요?

소피 : 전체 주민이 X명이라면 X/3명이 오겠죠. 이런게 사회적으로 최적인 것, 맞죠?

존 내쉬 : 맞습니다. 그렇다면 이렇게 생각해볼게요. 어느 날, 한 마트 주인이 엄청 일찍 가게문을 열었다고 합시다. 그리고 손님들은 모든 시간에 분포해서 마트를 방문한다고 하고요.

소피 : 그렇다면, 도시 한 쪽에 치우쳐 있는 것보다 도시 한 가운데에 있는게 더 많은 손님을 받을 수 있겠네요.

존 내쉬 : 오~ 이해가 빠르시군요! 그래도 사진 자료를 올려볼게요.

존 내쉬 : 한 도시가 이렇게 생겼다고 합시다. 세 마트가 어디에 있으면 사회적으로 최적일까요?

소피 : 노란색으로 나뉜 세 부분의 정 가운데에 가게를 배치하면 되겠죠. 그림에서는 보라색 원으로 표시했어요.

존 내쉬 : 그렇습니다. 그런데, 가장 왼쪽의 원에 있는 마트의 주인이 가장 먼저 마트를 열었다고 합시다. 과연 주인에게 유리할까요?

소피 : 흠... 혼자 마트를 연 상태라면 도시 한 가운데에 있는게 더 유리할 테니 자신에게 불리한 상황이 됩니다.

존 내쉬 : 그래요! 그리고 이익을 추구하는 주인들은 손님을 더 받기 위해 가게를 일찍 열죠.

소피 ; 그럼, 모든 가게가 정가운데에 있으면 모두가 가장 많은 이익을 추구할 수 있겠네요. 아래 그림처럼요.

존 내쉬 : 이제 왜 가게들이 모두 모여있는지 아시겠나요?

소피 : 네! 이런게 바로 내쉬 균형이라는 것이군요!

존 내쉬 : 네. 옹기종기 모여있으면 사회적으로는 최적이 아닐 수도 있지만, 각각의 가게의 이익을 생각한다면 최적이 됩니다.

소피 : 내쉬 균형이라는 것은 참 신기하네요. 얼핏 보면 균형적이지 않아보이지만 자세히 살펴보면 균형적인 상황인 것을 알 수 있군요.

소피 : 이쯤에서 인터뷰를 마치도록 하겠습니다. 교수님, 인터뷰 참여해주셔서 감사합니다.

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오늘의 퀴즈~!

다음 중 내쉬 균형을 이루는 상황과, 사회적으로 최적인 상황을 각각 고르시오. (각각 정답 1개)

(1) 가게들이 옹기종기 모여있는 경우

(2) 가게들이 다양한 상품을 판매하는 경우

(3) 해변에서 아이스크림을 팔 때 해변의 정 가운데에 아이스크림 카트를 배치하는 경우

(4) 해변에서 두 명이 아이스크림을 팔 때 한 명은 한쪽 끝에, 한 명은 다른 쪽 끝에 카트를 배치하는 경우

(5) 가게 문을 일찍 열고 늦게 닫는 경우

(6) 서로 가격을 낮추려고 경쟁하는 경우 

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이 기사는 『십대를 위한 영화 속 수학 인문학 여행』(염지현 저), https://www.youtube.com/watch?v=jILgxeNBK_8https://talkingtransport.com/2019/01/31/socially-optimal-solutions/ 를 참고하여 작성했습니다. 기사의 사진은 모두 직접 그린 것으로 출처를 표기하지 않습니다.

수학동아 기자의 한마디
수학동아 기자 2020.07.27
내쉬 균형이라는 개념을 실생활 사례에 접목해서 재미있게 소개한 기사입니다!
비제로섬게임, 가게가 한 곳에 몰리는 이유를 쏙쏙 이해할 수 있었어요. 그리고 내가 평소에 내리는 의사결정이 얼마나 합리적으로 이뤄졌는가도 돌아볼 수 있었네요.
다음에도 유익하고 재미있는 기사로 찾아와주세요:)
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