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[개념 기사] 4차원의 뫼비우스 띠, 클라인 병
전자기역학 2020.07.12 00:08

(출처는 뒷부분에 따로 표시)

클라인 병이란, 면이 하나로 연결되어 있는 경계선이 없는 4차원의 도형입니다. 바깥쪽 면과 안쪽 면이 구분되지 않기 때문에 이 병은 3차원 공간에서 만들기 위해서는 옆쪽에 구멍을 뚫어야 해 경계선이 생겨버리죠. 결국 클라인 병은 4차원에서 존재해야지만 자연스러운 도형이라 할 수 있습니다. 

이 클라인 병의 면을 훑어 봅시다.

(출처는 나중에)

위의 gif와 같이 면을 훑다 보면 안쪽에 들어갔다가 바깥쪽 면으로 나와서 다시 안쪽으로 들어오는 것을 보실 수가 있습니다. 

이는 3차원의 도형 중 하나인 뫼비우스 띠와 매우 유사한 형태입니다.

(https://www.pinterest.co.kr/pin/444167581970330288/)

뫼비우스 띠는 앞면과 뒷면이 연결된 단 하나의 면으로 이루어져 있으며, 모서리 수도 보면 오직 1개라는 것을 알 수 있습니다.

다각형처럼 하나의 면을 이루어진 도형은 3차원의 공간 속에 있어도 2차원이라 하지만, 이 뫼비우스의 띠는 특별하게도 하나의 면이지만 3차원 도형이라 할 수 있습니다.

마찬가지로 클라인 병도 하나의 공간으로 이루어져 있지만, 4차원의 도형이라는 것입니다.

마지막으로 하나 신기한 점은 클라인 병을 2개로 잘랐을 때에 이루어집니다.

(마찬가지로 출처는 나중에)

위와 같이 단면이 뫼비우스 띠로 되어 있음을 알 수 있습니다.

 

※퀴즈

클라인 병은 공간은 하나지만 3차원에서는 표현할 수 없는 이유는?

(위의 것들 출처:

http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=ooooooooooo0&logNo=220201069788&parentCategoryNo=&categoryNo=79&viewDate=&isShowPopularPosts=true&from=search)

수학동아 기자의 한마디
수학동아 기자 2020.07.14
클라인 병이라는 흥미로운 소재를 간단히 소개한 글이군요!
이 주제는 흥미로우면서도 아리송해서 더 매력있어요.
아마 독자 여러분도 이 글을 읽고 나면 여러가지 궁금증이 생길 거예요. 글을 쓴 '전자기역학' 기자도 마찬가지일 거고요.

클라인병은 3차원 입체도형처럼 보이지만 4차원에서만 존재한다니?
구멍을 뚫고 안 뚫고에 따라 도형의 차원이 달라지는 이유는?
뫼비우스의 띠는 그래서 2차원 도형인가, 3차원 도형인가? 등이요.

기사를 읽거나 쓰고 나서 뭔가 알 것 같으면서도 정확히 설명하기는 어려운 느낌이 있다면 관련 자료를 꼭 찾아보길 바라요.
http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=forfriend5&logNo=220478991707
https://www.youtube.com/watch?v=A9AS_jZyZfQ

저도 잠깐 찾아봤는데 클라인 병이 어떻게 만들어지는지도 훨씬 명확히 알게 됐고, 기사에 나온 표현의 의미도 이해하게 됐어요.
이렇게 궁금했던 부분을 나름대로 정리해본다면 앞으로 기사 내용도 풍부해지고 문장도 정확하게 구사할 수 있을 거예요!
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    삼각파이 Lv.9 2020.07.14 23:02

    4차원의 뫼비우스의 띠라니 정말 흥미롭네요.

    아마 저것도 4차원이 3차원으로 투영되어 보이는 걸까요?

    4차원은 정말 신비로운 것 같아요.

     

    그러면 저 뫼비우스의 띠를 만들기 위해서, 다른 하나의 축을 어떻게 해야 할까요?

    그러니까, 공간의 세 축이 x,y,z축이고, 4차원의 축이 w축이라고 하면, w축을 어떻게 변환시켜야 저 모양을 만들 수 있을까요?

    시간의 축으로 저걸 만들 수 있을까요?

    어쨌든 좋아요 박고 갑니다!

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  •  
    ππ Lv.8 2020.07.15 13:04

    그렇다면 클라인병에 물을 넣으면 어떻게 되나요?

    좋아요 누르고 갑니다.

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    •  
      전자기역학 Lv.8 2020.07.15 13:07

      내부랑 외부랑 연결되어 있어서 아마 4차원에선 안 들어갈 거 같아요

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    •  
      mathwizard Lv.7 2020.07.26 12:02

      물이 병 안에 갇힐 것 같은데요?

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    •  
      아인수타인 Lv.12 2020.07.30 23:07

      만약 3차원에서 구멍을 뚫어서 가짜 클라인병을 만들면 당연히 물이 차겠지만, 실제 4차원 클라인병이라면 면이 하나로 연결되 있어서 물이 차지 않습니다.

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    •  
      수학중독자 Lv.2 2020.09.03 11:13

      안들어가지 않을까요? 물을 넣자마자 다시 나올 거 같습니다

      좋아요0
  •  
    mathwizard Lv.7 2020.07.26 11:59

    정말 신기하고 흥미롭네요! 클라인 병에 대해 잘 몰랐는데, 알게 되어서 좋았어요. 클라인 병의 단면이 뫼비우스의 띠라는 것도 놀랍네요. 

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  •  
    황금 열쇠 Lv.7 2020.07.30 13:27

    좀 헷갈리네요;; 흥미로운 기사였습니다

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  •  
    루트 Lv.4 2020.08.30 19:45

    제가 모르던 사실이에요..

    알게 됐으니까 유익해요 눌러드릴게요!

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