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[개념 기사] 4차원을 알아보자.
ππ 2020.06.24 19:33

차원이란 자유롭게 움직일 수 있는 방향의 개수이다.

1차원은 직선 1개,

2차원은 직선 2개가 직교하고,

3차원은 직선 3개가 직교한다.

그러면 4차원은 수직선 4개가 서로 직교하는 공간이며,

5차원은 수직선 5개가 서로 직교하는 공간이라는 것을 알 수 있다.

하지만 이런 공간들은 우리가 평면 위에 그릴 수 없고 단지 머릿속으로 상상만 할 수 있을 뿐이다.

만약 4차원이 존재한다 해도 상상하기 어렵다.

왜냐하면 우리가 3차원 공간에 살고 있기 때문이다.

하지만 3차원과 2차원의 차이를 살펴서 추측하면 4차원을 어렴풋이 짐작할 수 있다.

3차원의 구가 2차원 면을 통과한다면 2차원 세계에서 보면 갑자기 작은 점이 생기고 그것이 점점 큰 원으로 자라다가

다시 작아져 소멸하는 것처럼 보인다.

그렇다면 4차원 구가 3차원 공간을 지나는 모습은 갑자기 작은 구가 생겨서

점점 커지다 사라지는 모습으로 보일 것이다.

즉 4차원 구를 상상할 수는 없지만 4차원 구가 3차원을 통과하는 모습은 볼 수 있다.

4차원의 도형을 초입체, 초입체의 크기를 초부피, 4차원의 정육면체를 초정육면체라고 한다.

우리는 4차원 도형의 단위를 cm⁴로 한다.

1차원부터 4차원을 전개하면 다음과 같다

.차원 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

초정육면체의 전개도는 다음과 같다.

Dimensions.

초정육면체의 겨냥도는 다음과 같다.

ShadedHyperCube.svg

초정육면체의 전개도가 초정육면체가 되는 과정은 다음과 같다.

점의 개수, 모서리의 개수, 면의 개수, 입체의 개수를 가각  f_{0},f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}라 하면

다음식이 성립한다.f_{0}-f_{1}+f_{2}-f_{3}+f_{4}=1

4차원의 입체도형에는 정오포체, 정팔포체, 정십육포체, 정이십사포체, 정백이십포체, 정육백포체가 있다.

정오포체는 정사면체 5개, 정팔포체는 정육면체 8개, 정십육포체는 정팔면체 16개, 정이십사포체는 정사면체 24개,

정백이십포체는 정십이면체 120개, 정육백포체는 정사면체 600개로 이루어져 있다.

이때 초정육면체는 정팔포체이다.

  전개도 겨냥도 모서리 입체
정오포체 5 10 10 5
정팔포체 16 32 24 8
정십육포체 8 24 32 16
정이십사포체 24 96 96 24
정백이십포체 600 1200 720 120
정육백포체 120 720 1200 600

 

위의 표에서도 f_{0}-f_{1}+f_{2}-f_{3}+f_{4}=1가 성립하는 것을 알 수 있다.

 

4차원 입체도형 중에 도형이 이 6개만 있는 것은 아니다.

 

+보너스

초구는 4차원의 구입니다.

충격적인 사실은....

초구를 반으로 자르면....

단면은 구라는 것!!! 

오늘의 퀴즈 

4차원의 도형을 뭐라고 할까요?

1.초체입

2.체초입

3.체입초

4.입체초

5.초입체

6.입초체

수학동아 기자의 한마디
수학동아 기자 2020.06.29
상상으로만 볼 수 있는 4차원은 항상 신비롭네요. 3차원의 구가 2차원 면을 통과할 때 관찰할 수 있는 모습을 통해 4차원 도형의 생김새를 추측하는 과정이 재미있습니다.
최대한 이미지와 함께 소개한 점도 칭찬해요!
그런데 '점의 개수, 모서리의 개수, 면의 개수, 입체의 개수를 각각 f0, f1, f2, f3, f4라 하면'이라고 쓴 문장에서 아마 f4가 뭔지를 빠뜨린 것 같아요.
그리고 f0-f1+f2-f3+f4=1이 왜 성립해야 하는지도 궁금해요.
그 부분을 보충하고, 초정육면체의 전개도가 초정육면체가 되는 과정을 조금 더 자세히 소개하면 더욱 알찬 기사가 될 거예요. 그리고 이미지 출처도 꼭 밝히고요.
유튜브에 영상이 있네요? https://youtu.be/BVo2igbFSPE


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