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[개념 기사] 1+1이 2인 이유는 무엇일까?
황금 열쇠 2020.06.10 23:33

 

안녕하세요! 황금 열쇠입니다! 

오늘은 제가 1+1이 2인 이유에 관해 이야기해보려고 합니다.

 

먼저 여러분에게 1+1이 무엇이냐고 물어보겠습니다. 당연히 2죠. 이 질문에는 모두 맞게 대답하였을겁니다.

그렇다면 왜일까요? 이 질문에는 대부분이 대답하지 못하였을겁니다. 그럼 지금부터 저와 함께, 1+1이 2인 이유를 알아보죠.

 

 

먼저 "페아노 공리계"를 살펴보겠습니다.

공리는 이론체계에서 가장 기초적인 근거가 돼는 "명제"입니다. 따라서, 증명할수도 없고 증명할 필요도 없다는거죠.

 

페아노 공리계

1. 1 은 자연수이다.

2. n이 자연수이면, n 다음에 오는 수도 자연수이다.

3. n 다음에 오는 수를 n'이라 쓰면 n' = 1 인 자연수 n 은 존재하지 않는다.

4. m'=n' 이면 m=n 이다..

5. P(1)이 참이고 모든 자연수 n에 대해 P(n)이 참일 때 P(n')이 참이면 P는 모든 자연수에 대해 참이다.

 

 

자 그럼, 이 페아노 공리계를 차근차근 살펴보면서 1+1의 값을 구해보겠습니다.

 

 

1. 1은 자연수이다. 

네. 1은 자연수입니다. 끝이예요.

 

2. n이 자연수이면, n다음에 오는 수도 자연수이다.

수들을 1, 1', 1'', 1''', ...... 이런식으로 이름붙여 봅시다. 그럼 자연수의 집합은 이렇게 됩니다.

 

 

 

와! 드디어 저희가 상상하는 자연수의 모습이 나왔군요!... 라고 할줄 알았겠지만 사실 그렇지 않습니다. 

이 두 개의 공리로는 자연수의 집합을 아직 정의할수 없습니다. 왜냐하면 다음과 같은 집합도 나올수 있기 때문입니다.

우리가 원하지 않는 집합 1 우리가 원하지 않는 집합 2
우리가 원하지 않는 집합 3 우리가 원하지 않는 집합 4

 

 

위와 같이 4개의 경우나 우리가 원하지 않는 집합의 경우의 수가 있습니다. 

하지만 우리에게는 3,4,5번 공리가 남아있죠. 하나씩 살펴봅시다.

 

3. n 다음에 오는 수를 n'이라 쓰면 n' = 1 인 자연수 n 은 존재하지 않는다.

이것으로 '우리가 원하지 않는 집합 2'는 안됩니다. 왜냐하면 1을 a'으로 나타낼수 있죠. 하지만 이 공리에서  n' = 1 인 자연수 n 은 존재하지 않는다고 했기 때문입니다. 

 

 

4. n'=m' 이면 n=m 이다.

 

이 공리의 대우명제는 m≠n 이면 m'≠n'이죠. 따라서 '우리가 원하지 않는 집합' 1번과 4번도 안됩니다.

왜냐하면 1번과 3번 모두 n'의 역순서 자연수가 여러개 존재하기 때문입니다.

 

 

 

5. P(1)이 참이고 모든 자연수 n에 대해 P(n)이 참일 때 P(n')이 참이면 P는 모든 자연수에 대해 참이다.

 

이 자연수의 집합에는 어느 숫자의 계승자도 아닌 a가 자연수 집합에 있을 수 있습니다.

하지만 그렇다면, 5번 공리에서 P(a)는 참이 아닐 수 있습니다. 계승자가 하나도 없기 때문이죠.

따라서 5번 공리를 만족하지 않으므로 '우리가 원하지 않는 집합 3'도 안됩니다.

 

 

그럼 남은 자연수의 집합은 무엇일까요? 바로 이것입니다. 

 

 

이제 수들에 이름을 붙여줍시다.

 

1'=2

1''=3

1'''=4

1''''=5

.

.

.

 

그럼 자연수의 집합 P는 이렇게 됩니다! 우리가 알고있는 자연수가 되는것이죠!

 

이제 덧셈만 정의하면 되겠네요. 덧셈의 정의는 간단합니다. 다음 두가지 성질을 만족시키는 연산을 +로 정의하죠.

 

1) 모든 자연수 n에 대하여 n+1=n' 이다.

2) 모든 자연수 n, m에 대하여 n+m'=(n+m)' 이다.

 

 

<1+1=2 증명>

 

그래서 1도 정의하고 2도 정의하고 +도 정의했겠다, 한번 1+1=2를 증명해 보도록 합시다.

 

먼저 덧셈의 정의의 1번에 의해 1+1=1'과 같습니다.

그런데 페아노 공리계를 통해 1'=2로 정의했습니다.

따라서 1+1=1'=2 이므로 1+1=2가 성립합니다.

 

 

생각보다 간단하죠? 이를 이용하면 1+1뿐만 아니라 3+4, 5+7, 심지어는 5256453645613+427319473416도 증명할수 있습니다. 심지어 이 페아노 공리계로 결합법칙과 분배법칙도 증명할수 있다니 놀랍죠? 생활속에서 당연하다고 느끼는 것도 한번쯤은 "왜 그럴까?" 하고 물어보는 것도 필요할것 같습니다.

수학동아 기자의 한마디
수학동아 기자 2020.06.12
'자연수란 무엇인가', '왜 1+1은 2인가'와 같이 결과가 너무 당연해서 생각해보지 않는 의문을 깔끔하게 해결했군요!
자연수 집합의 생김새를 고민할 때 페아노 공리계 덕분에 어떤 집합을 제외할 수 있는지 보여준 점도 재미있어요.

제가 수학을 전공할 때 적응하기 힘들었지만 동시에 가장 즐거웠던 점도 이 기사와 비슷해요.
기자와 독자 여러분 모두 '두말할 것 없이 당연해보이는 것'에도 의문을 품고 확인해보는 습관을 길러보길 바랍니다:)

그리고 다음부턴 기사 끝에 퀴즈를 꼭 넣어주세요!
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    황금 열쇠 Lv.7 2020.06.12 21:49

    퀴즈 수정했습니다.

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    기사 내용 퀴즈) 다음중 이 기사에서 다룬 자연수에 관한 공리의 이름은 무엇일까요?

     

    1. 피아노 공리계

    2. 페노아 공리계

    3. 페아노 공리계

     

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    •  
      오블리기 Lv.5 2020.06.14 07:30

      제가 퀴즈로 냈던게 비슷하게 나오네요.

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    •  
      외계파이 Lv.3 2020.09.08 13:06

      ekqdms vpdksh rhdforPdlqslek!

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    •  
      루트root Lv.3 2020.10.19 22:32

      3. 페아노 공리계

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  •  
    눈누난나1211 Lv.4 2020.06.12 21:50

    좋은 기사 감사합니다

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  •  
    Marshall Lv.6 2020.06.13 10:36

    진짜 잘 쓰셨네요! 집합에 대한 설명도 그림을 그려 설명해주셔 좋았어요

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  •  
    MathlabJ Lv.8 2020.07.13 02:39

    뒷북이지만.. 잘 읽고갑니다! 기사 내용도 좋고 그림도 있어 이해하기 편했네요.

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  •  
    DeltaX Lv.3 2020.07.21 21:14 비밀댓글
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    •  
      황금 열쇠 Lv.7 2020.07.22 08:35 비밀댓글
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  •  
    제로 Lv.2 2020.07.28 12:14 비밀댓글
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    •  
      황금 열쇠 Lv.7 2020.07.29 19:01 비밀댓글
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  •  
    불사조CROW Lv.1 2020.08.12 22:06

    ㅜㅘ

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  •  
    수학만 Lv.6 2020.09.08 11:55

    좋은 기사네요!

    저는 1+1=2가 당연한 건 줄 생각했는데...

    그걸 증명하다니!

    대단합니다!

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  •  
    Sagan Lv.5 2020.10.05 17:11

    아마 1+1=2를 처음 증명한 건 논리학자 러셀이었죠?

    비슷한 방식인가요?

    좋은 글 잘 보고 갑니다~

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