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[개념 기사] 평행선이 없다고? 비유클리드 기하학
아인수타인 2020.06.04 23:28

 여러분, 유클리드 원론의 5가지 공준을 아시나요? 공준은 쉽게 말하자면 ‘기하학에서의 공리’로, 증명 없이 그대로 받아들여지는 것입니다. 5가지 공준을 말하자면 아래와 같습니다.

 

1. 한 점에서 다른 점에 직선을 그을 수 있다.

2. 선분을 연장하여 하나의 직선을 만들 수 있다.

3. 한 점을 중심으로 하고, 한 선분을 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.

4. 모든 직각은 서로 같다.

5. 두 직선이 한 직선과 만날 때, 동측내각의 합이 180도보다 작다면, 두 직선은 어느 한 점에서 만난다.

 

 어찌 보면 너무 당연한 이야기 같죠? 그도 그럴 것이 공준은 기하학의 토대가 되기 때문에 간결할수록 좋습니다. 만약 증명 없이 받아들여지는 공준이 너무 복잡하거나 너무 많다면 ‘이것도 당연, 저것도 당연’ 식으로 되기 때문에 좋지 않습니다. 그런데 다른 공준들은 충분히 납득이 되지만, 5번째 공준은 좀 복잡해 보이죠? 이 공준은 ‘평행선 공준’이라 불리며, 다르게 말하자면 ‘한 점을 지나고 한 직선에 평행한 직선은 하나뿐이다’와 같습니다. 이렇게 설명하면 단순해 보이지만, 어쩐지 다른 공준으로 어떻게든 증명이 가능해 보이지 않나요? 당시 수학자들도 이 평행선 공준을 다른 공준을 이용해 증명해 보려고 노력했습니다. 어떻게 됐을까요? 결론만 말하자면 실패했습니다. 다른 공준으로 증명이 불가능했던 것이죠. 그런데 비유클리드 기하학이 주제인데, 왜 이 잉기를 꺼냈냐고요? 바로 이 이야기가 비유클리드 기하학의 토대가 되기 때문입니다.

 

 당시 평행선 공준을 증명하려고 노력했던 수학자들 중 한 명인 로바체프스키는 평행선 공준이 증명 불가능하다는 것을 알아냅니다. 이 평행선 공준을 아래와 같이 바꿔도 모순이 없었던 것이죠.

 

 ‘어떤 한 점을 지나고, 한 직선에 평행한 직선은 없다.’

 

 반대로 무한히 많다고 가정해도 모순이 발생하지 않습니다. 아니 어떻게 한 점을 지나는 평행선이 없나고요? 아니면 무한히 많이 존재할 수가 있냐고요? 네, 평면에서는 불가능하죠. 그러나 구면이나 쌍곡면이라면 어떨까요?

 

 이것을 논하려면 우선 ‘구면에서의 직선’이 무엇인지 정의해야겠죠? 구면은 말 그대로 우리가 살고 있는 지구처럼 구 모양인 면을 말합니다. 직선은 무엇일까요? ‘어떤 두 점을 최단거리로 잇는 선의 연장’이 직선 아닐까요? 그럼 구면에서의 직선은 구면 상의 두 점을 잇는 가장 짧은 선을 연장한 것이겠군요. 이것을 만족하는 선은 구의 중심을 지나는 원의 둘레입니다. 이런 원을 ‘대원’이라 부르는데, 그림으로 그리면 아래와 같죠(그림 못 그린 건 죄송합니다).

 그럼 구에서는 과연 평행한 직선이 존재할까요? 언뜻 보기엔 위 그림에서 하늘색 두 원이 평행한 것처럼 보이긴 하지만 하늘색 원은 애초에 구면에서의 직선으로 볼 수 없습니다. 이 둘은 대원이 아니라 그냥 원이기 때문이죠. 2개의 대원을 어떻게 그리든 어딘가에서는 만나 버리죠? 심지어 한 곳도 아니고 두 곳에서 말입니다. 예를 들어 주황색 원뿐만 아니라 노란색 원 역시 구면에서의 직선으로 볼 수 있는데요, 주황색과 노란색 원은 두 점에서 만나 버리죠. 즉, 구면에서는 평행선이 존재할 수가 없습니다. 따라서, 평면에서 성립하던 평행선 공준이 성립하지 않고, 평행선이 없다고 가정해야 구면에서의 기하학이 성립합니다. 또한, 구면에서 기하학도 역시 모순은 없죠.

 

 그러면 이번엔 쌍곡면일 경우를 볼까요? 쌍곡면? 구면은 직관적으로 구의 표면이겠거니 생각했는데 쌍곡면은 그렇게 직관적으로 와닿지 않죠? 쌍곡면은 쌍곡선을 대칭축을 중심으로 회전해 만들어진 면입니다. 이러면 쌍곡선이 뭐냐고 물어볼 수도 있는데 마침 무한대의끝을본남자님의 기사랑 겹치는 내용이라 참고하시면 될 것 같습니다(링크는 걸어둘게요! http://www.polymath.co.kr/article/view/58). 그림으로 그리면 대략 아래와 같이 그려집니다.

 쌍곡면에 간다고 해도 직선의 정의가 달라지는 건 아무것도 없습니다. 이건 자세하게 설명하려면 좀 어려울 것 같아 넘어갑니다만 조금만 생각해 보면 위 그림에서 주황색 선과 노란색 선이 모두 쌍곡면에서의 직선이라고 생각해볼 수 있습니다. 그런데 주황색 직선은 단 하나고, 노란색 직선은 노란색 점들을 지나가는데, 둘 다 주황색 직선과 안 만나죠? 이건 아주 일부만 그린 거지만 똑같이 그려 보면 무수히 많겠죠. 이처럼 쌍곡면에서는 평행한 직선이 무수히 많습니다.

 

 평면에서 다루는 기하학을 ‘유클리드 기하학’이라고 한다면, 이렇게 평면이 아닌 면에서 다루는 기하학은 유클리드 기하학에 반한다고 해서 ‘비유클리드 기하학’이라고 부릅니다. 이 비유클리드 기하학을 발견하는 데 큰 공을 세운 로바체프스키는 안타깝지만 죽기 전에는 인정받지 못했습니다. 당시에는 유클리드의 원론이 세상을 지배한다는 사상이 있어 반발을 심하게 받았기 때문이죠. 우리가 살아가는 지구는 둥글기 때문에 실용성에서는 유클리드 기하학보다 비유클리드 기하학이 더 뛰어납니다. 일반상대성이론을 만든 아인슈타인도 비유클리드 기하학이 없었으면 일반상대성이론을 발견하지 못했겠죠. 비유클리드 기하학에는 우리가 흔히 알고 있는 원주율의 값이 3.141592…가 아니거나, 삼각형의 세 내각의 합이 180도가 아닌 등 유클리드 기하학과는 크게 다른 성질이 나타납니다. 이건 조만간 다른 기사에서 자세히 다뤄 볼게요. 지금까지 평행선이 없거나 무한한 기하학, 비유클리드 기하학에 대해 알아보았습니다.

 

-오늘의 퀴즈-

평면에서 다루지 않는 기하학을 무엇이라고 부를까요?

1. 비유클리드 기하학

2. 레인유클리드 기하학

3. 아이클리드 기하학

수학동아 기자의 한마디
수학동아 기자 2020.06.08
아인수타인 기자! 그림을 직접 그려서 소개하려는 자세가 예쁩니다.
공리가 무엇이며 왜 필요한지, 평행선 공준이 왜 문제가 되는지를 차근차근 소개했네요.
비유클리드 기하학의 발전에 크게 공헌한 로바체프스키가 생전에 인정받지 못한 점이 슬프네요. 자신의 생각을 믿고 나아가는 자세에 대해 많이 생각하는 요즘, 이 부분이 특히 인상깊습니다. 다음에도 좋은 기사 부탁해요!
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    아인수타인 Lv.12 2020.06.05 00:01

    아래쪽 그림은 급하게 오류 발견하고 수정한 거라... 좀 이상하게 보일 수도 있겠네요...

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    •  
      아인수타인 Lv.12 2020.06.05 00:12

      쌍곡면 그림은 대표이미지가 더 잘 나와 있는 것 같긴 합니다.

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  •  
    Yunite Lv.6 2020.07.25 16:11

    제 기사가 없다구요...?

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    •  
      Lv.5 2021.05.28 15:44

      ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

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