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[자유 기사] COVID-19 대책으로 나온 통화량 증가에 대한 수리적 의미 탐구
손종우 2020.05.31 17:49

COVID-19로 인해 경제에 미치는 악영향은 매우 심각하게 보고되고 있다. 미국의 경우에는 트럼프 대통령이 전 국민을 대상으로 1인당 1000달러를 지급하는 계획을 추진하고 있으며, 우리나라에서도 재난소득을 가구당 40만원100만원 차등 지급 방안을 발표하였다. 그러나 코로나 19 바이러스가 사상 초유의 사태인 만큼 이런 경기부양책들이 효과가 있을지 의문을 제기하는 목소리도 있다. 즉 통화량을 증가시키면, 사회의 총 통화량이 증가하고 물가가 지속적으로 상승하지 않을까 하는 입장이며, 이는 화폐가치가 하락하고 모든 상품의 물가가 오르는 인플레이션을 초래할 수 있기 때문이다. 화폐의 수요와 공급에 대해 이해하고 이를 바탕으로 정부의 경기부양책인 통화량 증가가 사회 경제에 어떤 영향을 미칠 수 있는지 미적분학을 통해 살펴보고 통화량의 증가가 인플레이션에 어떤 영향을 줄 수 있는지 시그마를 이용해 알아보고자 한다.

 

1. 어빙 피셔의 화폐수량설 (수량방정식

 

어빙 피셔는 고전학파 경제학자로 화폐공급량의 증감이 물가수준의 등락을 정비례적으로 변화시킨다고 하는 경제이론인 화폐수량설을 주장한 사람이다. 그의 화폐수량설은 통화량의 변화와 물가상승의 관계를 설명한 현재까지 가장 타당하다고 여겨지는 식이며 경제이론의 큰 축을 이루었다.

화폐수량설은 한 경제에 존재하는 통화의 총량과 재화의 총거래액이 주어지면 언제나 성립되는 항등식이다

 

M × V = P × T(Y)

M = 통화량, 명목화폐수량, 화폐공급

       : 현 신용화폐 제도내에서는 중앙은행에 의하여 결정됨

  V = 화폐의 거래유통속도

      :일정 기간동안에 화폐의 소유주가 변하는 횟수

        일정 기간동안에 1달러가 평균적으로 구매에 사용된 횟수         

       일정 기간동안에 개개의 화폐가 거래에 사용된 평균적인 횟수  

P = 상품과 서비스의 평균가격 혹은 평균가격지수, 거래가격 (교환되는 화폐의 수) 

T = 일정기간 동안의 총거래의 수이다.  

      :일정 기간동안 화폐와 교환되는 재화와 용역의 수  

       일정 기간동안 상품과 서비스의 총량 지수를 의미한다

피셔는 T를 최종적 재화와 서비스의 구매, 중간거래, 그리고 주택이나 주식의 구입과 같 은 자본 거래를 포함하는 모든 거래를 나타내는 것으로 사용하였다.

Y = 일정기간 동안의 생산량

      : 최종생산물의 거래량(실질소득)

      실질 GDP, 총산출, 총소득

 

MV=PT(Y)라는 그의 식에서 가장 중요한 점 중 하나는 피셔는 V(유통속도)T(총거래수)는 고정되어 있다고 가정한다는 것이다. 피셔는 화폐의 유통속도를 결정하는 습관이나 제도는 크게 변하지 않는다고 생각했다. 또한 거래량도 국민소득에 의해 비례하므로 단기적으로는 변화하지 않기 때문에 불변이라고 생각한다. 어빙 피셔는 고전학파 경제학자로 1800년대 후반에서 1900년대 초반까지 주로 활동했었다. 그 당시에는 주식이나 채권 등 V(유통속도)Y(총생산량)에 영향을 크게 미치는 요소가 거의 없었기 때문에 그가 V(유통속도)Y(총생산량)의 변화가 없었다고 생각한 것 같다. 하지만 우리는 지금 코로나19 라는 특수한 상황에 처해있기 때문에 V(유통속도)Y(총생산량)의 변화량이 없다고 생각하기에는 무리가 있을 것이다. 이에 나는 두 가지 가설을 세워 미적분을 활용해 각각의 예상되는 상황을 분석해보고자 한다.

 

가설 1. V(유통속도)T(총거래수)의 변화량이 거의 없다고 가정할 때

 

이 가설은 V(유통속도)Y(총생산량)이 일정하다는 어빙 피셔의 주장을 바탕으로 한 식이다

 

MV = PT (양변에 로그를 취한다)

 

logMV = log PT

 

logM+logV= log P+logT

 

위 식에서 VT의 변화량은 없다고 가정하기 때문에, logM = logP  (이 식을 미분한다)

 

즉,  \frac{M'}{M} = \frac{P'}{P}

 

 \frac{\frac{\Delta M}{t}'}{M} = \frac{\frac{\Delta P}{t}'}{P}  ⇒  \frac{\Delta M}{M} = \frac{\Delta P}{P}  ⇒ \frac{M}{\Delta M} = \frac{ P}{\Delta P}

, M(통화량)P(물가)가 비례한다.

위의 계산을 바탕으로 한 위의 수식으로 보면 M(통화량)P(물가)가 비례하기 때문에 고전학파는 통화량 증가는 물가의 상승으로 직결된다고 믿었고 따라서 화폐수량설에 따르면 인플레이션의 원인은 절대적으로 통화 공급의 확대에 있다. 이에 고전학파는 통화량의 증가가 물가 상승을 유발시킬 뿐, 실물부분인 생산물 시장에서는 산출량 증가에 기여하는 것이 전혀 없다고 여겼다.

COVID-19의 대책으로 나온 재난기본소득 역시 통화량의 증가이기 때문에 재난기본소득은 물가 상승의 원인이 될 것이고 인플레이션이 일어날 위험이 있다. 따라서 재난기본소득은 물가상승으로 직결되기 때문에 시행할 경우 많은 문제들이 생길 것이며 재난기본소득의 사용에는 주의가 필요해 보인다.

 

가설 2. V(유통속도)T(총거래수)가 증가한다고 가정할 때

 

 

먼저 가설에 대해 설명을 해보겠다. 코로나19 가 발생하면서 우리사회는 잠시 정지하기 시작했다. 많은 사람들은 주로 집에서 생활을 하고 있고 이에 따라 사람들의 경제활동이 줄어들면서 화폐의 V(유통속도)T(총거래수)는 감소한다. 이때 재난기본소득을 제공하게 되면 자연스레 V(유통속도)T(총거래수)는 증가할 것이다. 이런 점을 들어 V(유통속도)T(총거래수) 가 증가한다고 가설을 세워 보았다. 이 역시 그 전의 가설 1)의 방법대로 양변에 로그를 취하고 미분을 하면 다음과 같다.

 

MV = PT (양변에 로그를 취한다)

 

logMV = log PT = logM+logV =logP+logT

 

\frac{M'}{M}+\frac{V'}{V} = \frac{P'}{P}+\frac{T'}{T} ⇒ \frac{\frac{\Delta M}{\Delta t}}{M} + \frac{\frac{\Delta V}{\Delta t}}{V} = \frac{\frac{\Delta P}{\Delta t}}{P} + \frac{\frac{\Delta T}{\Delta t}}{T}

 

⇒ \frac{\Delta M}{M}+\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta P}{P}+\frac{\Delta T}{T}

 

그러므로, M(통화량)의 변화율 + V(유통속도)의 변화율 = P(물가)의 변화율 + T(총거래수)의 변화율이라는 방정식이 성립한다.

여기서 재난기본소득은 M(통화량)의 증가로 이어지고 앞에서 말한 것처럼 V(유통속도)도 증가하다고 가정했으므로 좌변의 값은 증가할 것이다. 이 때 우변에서는 가설 2)의 가정에 따라 T(총거래수)가 증가하기 때문에 우변의 값 역시 증가함을 알 수 있다. 그렇다면 위 가정에서 중요한 것은 각각의 항목들이 얼마나 변화하는지에 관한 것 일 것이다. 예를 들어 M(통화량)의 변화율 + V(유통속도)의 변화율 = P(물가)의 변화율 + T(총거래수)의 변화율이라는 식에서 좌변의 M(통화량)의 변화율 + V(유통속도)의 변화율의 값이 우변의 T(총거래수)의 변화율보다 크다면 물가는 상승하게 될 것이다. 하지만 좌변의 값이 우변의 T(총거래수) 변화율과 비슷하다면 물가의 변화는 거의 없을 것이다.

역사는 단순한 과거가 아니라 앞으로 일어날 수 있는 일에 대한 해결책을 주기도 한다. 이런 점에서 나는 앞으로 일어날 수 있는 일을 예방하기 위해 과거의 잘못을 반면교사삼아 문제의 해결책을 찾아보려 한다. 코로나 19 바이러스는 사상 초유의 경제 위기를 만들었으며 이를 해결하고자 정부는 통화량을 증가시키고 있다. 그렇다면 과거의 경제위기 때 우리가 통화량을 증가시켜 인플레이션이 일어났던 적은 없을까? 나는 비교적 근대의 예시이면서 통화량 증가에 중점을 둔 정책 때문에 인플레이션이 일어났던 사례를 찾으려 했고 그 예시로는 2008년 일어난 리먼 브라더스 사태가 있었다.

 

2. 물가상승률을 고려한 인플레이션 분석

 

먼저 물가상승률을 구하기 위해서는 물가 지수라는 개념을 이해해야 한다. 물가지수란 인플레이션을 나타내는 가장 대표적인 지표로 소비자가 구입하는 상품이나 서비스의 가격변동을 나타낸다. 그 물가지수 중에서도 대표적으로 라스파이레스 식, 파쉐 식, 피셔 식이 있으나 세계적으로 라스파이레스 식을 제일 많이 사용하고 한국은행도 물가지수를 매년 계산할 때 라스파이레스 식을 이용하기 때문에 나 역시 라스파이레스 식을 이용해 물가지수를 구할 것이다.

 

 

라스파이레스 식은 쉽게 말해 비교시점의 가격이 기준시점에 비해 얼마나 변화했는지를 나타내는 식이다. 시그마를 이용한 식은 아래와 같다.

 

P_{L} = \frac{\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{1}q_{i}^{0}}{\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{0}q_{i}^{0}} =\frac{p_{1}^{1}q_{1}^{0} + p_{2}^{1}q_{2}^{0} + \cdot \cdot \cdot + p_{n}^{1}q_{n}^{0}}{p_{1}^{0}q_{1}^{0} + p_{2}^{0}q_{2}^{0} + \cdot \cdot \cdot + p_{n}^{0}q_{n}^{0}}

 

여기서 price, 즉 가격을 의미하고 quantity, 즉 수량을 의미한다.

p^{0} q^{0} 는 각각 기준시점의 가격과 수량을 나며 p^{1}는 비교시점의 가격이다.

여기서 시그마를 풀면 이렇게 되는데,

 

\frac{p_{1}^{1}q_{1}^{0} + p_{2}^{1}q_{2}^{0} + \cdot \cdot \cdot + p_{n}^{1}q_{n}^{0}}{p_{1}^{0}q_{1}^{0} + p_{2}^{0}q_{2}^{0} + \cdot \cdot \cdot + p_{n}^{0}q_{n}^{0}}

 

 

 

_{}p_{1} 1번째 항목의 가격을, p_{2}2 번째 항목의 가격을, p_{n} n 번째 항목의 가격을 나타낸다.

q_{1}1 번째 항목의 수량을, q_{2}2 번째 항목의 수량을, q_{n}n 번째 항목의 수량을 나타낸다.

그렇다면 지금부터 특정한 분야에 라스파이레스 식을 이용해 물가지수를 계산해보겠다. 참고로 우리는 리먼 브라더스 사태가 일어나고 이 때문에 대한민국에 경제 위기가 일정시간이 지나 온다는 것을 감안하여 2009년의 물가상승률, 2009년을 비교시점으로, 2008년을 기준시점으로 하여 2008년에 비해 2009년의 물가가 어떻게 달라졌는지를 분석해볼 것이다.

- 과일

 

위 도표는 과일에서의 3항목, 딸기, 감귤, 사과의 수량과 가격을 도식화한 도표이다. 여기서 p_{1} q_{1} 은 각각 첫 번째 항목인 딸기의 가격과 수량을, p_{2} q_{2}는 두 번째 항목인 감귤의 가격과 수량을, p_{3} q_{3}는 세 번째 항목인 사과의 가격과 수량을 나타낸다.

 

즉 , P_{L} = \frac{\sum_{i=1}^{3}p_{i}^{1}q_{i}^{0}}{\sum_{i=1}^{3}p_{i}^{0}q_{i}^{0}}      이 된다. 

 

이것을 도표에 있는 수를 대입해서 나타내보면

 

\frac{6,100   imes 500+3,080   imes500+12,300   imes360}{5,900   imes500+3,000   imes500+12,000   imes360} = \frac{9,018,000}{8,770,000} = 1.028

 

1.028-1=0.028이므로 퍼센트로 바꾸면 0.028 100=2.8, 즉 과일의 물가상승률은 2.8%가 된다.

실제로 통계청에 따르면 2008년을 기준으로 한 2009년 물가상승률은 2.8%로 나의 계산과 거의 유사했다.

그렇다면 2008년의 리먼 브라더스 사태 때문에 2009년 우리나라에 인플레이션이 일어난 것일까? 물론 2009년의 물가상승률이나 경제성장률이 리먼 브라더스 사태외에 다른 변수가 개입했을 수 있고 물가상승률이 경제성장률보다 높다고 인플레이션이 일어났다고는 단정하여 말하기는 어렵지만 리먼 브라더스 사태가 2008~2009년에 전 세계경제 시장에 가장 영향을 많이 주었고 통상적으로 물가상승률이 경제성장률보다 월등히 높으면 인플레이션이 일어났다고 한다는 점을 들어 결론을 내린다.

내가 2009년 계산한 물가상승률과 통계청의 자료를 종합적으로 보면 2008년에 비해 2009년에는 물가가 약 2.9% 상승하였다. 그리고 한국은행이 발표한 2009년 경제성장률을 보면 0.8%로 물가상승률에 1/3 조차 되지 않는다는 것을 알 수 있다. , 2009년 물가상승률이 경제성장률보다 3배 이상 높다는 것으로 보아 2009년에는 리먼 브라더스로 인한 경제위기를 극복하기 위해 통화량을 증가시켰지만 이로 인해 인플레이션이 일어났다는 것을 알 수 있다.

리먼 브라더스 사태는 전 지구적이고 극심한 경제 위기라는 점에서 코로나 19 바이러스와 많이 닮아 있다. 리먼 브라더스 사태에서는 우리나라가 제대로 대응하지 못했고 그 결과로 물가상승률이 경제성장률보다 3배나 높게 뛰며 인플레이션이 나타나게 되었다. 하지만 이번에는 달라져야 한다. 큰 규모의 돈이 사용 될 때는 신중해야 하고 인플레이션과 같은 역효과가 발생하지 않을지 고려해야 한다. 과거의 리먼 브라더스 사태는 오늘날과 미래에 언제라도 반복될 수 있으며 그 때마다 혁신적인 아이디어를 통해 사건을 해결해나가되 과거에서 답을 찾는 자세도 필요할 것이다.

 

<오늘의 퀴즈> 

 

그렇다면 다른 종류의 품목의 물가지수 변화는 어떨까?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

수학동아 기자의 한마디
수학동아 기자 2020.06.01
현재 일어나는 경제 현상과 정책에 주목하고, 뉴스를 그대로 받아들이지 않고 직접 수학적 배경을 탐구하면서 제도가 타당한지 살피는 모습이 멋집니다.
저도 배우고 싶은 자세예요.

글을 쭉 읽어보니 '경기부양책 중 하나인 재난지원금 제도가 국내 통화량을 높이고, 물가가 지속적으로 상승할 수 있고, 결국 화폐가치가 하락하고 모든 상품의 물가가 오르는 ‘인플레이션’이 일어날 수 있으니 주의가 필요하다'로 요약할 수 있을 것 같습니다. 논리에 반박할 여지가 없어요.

하지만 그렇다면 통화량을 늘리는 어떤 정책도 인플레이션의 위험을 피할 수 없지 않나 하는 생각도 듭니다.
제가 만약 '재난지원금 제도가 오히려 경제를 악화시킬 것 같다'하는 의문이 든다면, 지금 기사처럼 의문을 지지하는 방향으로도 탐구해보고
반대로 재난지원금 제도가 경제를 살렸던 수학적 논리나 사례도 탐구해볼 것 같아요.
그럴때 진짜 현상을 바로 보고 단점을 보완하는 정책을 생각해낼 수 있을 거라고 생각합니다.

다음에는 기사에 어울리는 이미지와 퀴즈, 태그를 빼놓지 말아주세요.
수고하셨습니다:)
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    GUN.007 Lv.11 2020.06.08 18:25

    오~매우 관심가는 내용이네요!

    근데 그럼 같은 것이 너무 없어 좀 밋밋하네요ㅠㅠ

    (근데 마지막 표 밑에 왜 비어있죠?)

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