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[자유 기사] 왜 사각형 건물이 많을까?
집돌이 페렐만 2020.05.13 21:40

(대표 이미지 출처 PIXABAY, 이하 출처는 PIXABAY)

네모난 침대에서 일어나 눈을 떠보면 네모난 창문으로 보이는 똑같은 풍경...

여러분은 이 노래를 아시나요? 네, 바로 '네모의 꿈'이라는 꿈입니다.

그런데 노래를 듣다 보니 궁금한 게 있지 않나요?

우리 주변에는 왜 이렇게 네모난 것들, 특히 사각형 건물이 많을까요?

 

<처음부터 사각형은 아니었다?>

건축을 할 때, 고려해야 할 요소로는 무엇이 있을까요? 건물을 튼튼하게 짓고, 외부와 내부의 디자인을 결정해야 할 것입니다.

그리고 이왕이면 적은 재료로 최대한 넓게 짓는다면 조금 더 효율적이고 경제적으로 건물을 지을 수 있을 것입니다.

그렇다면 적은 길이로 가장 넓게 그릴 수 있는 도형은 무엇이 있을까요? 직접 알아봅시다.

 

  둘레의 길이가 같은 다각형의 넓이를 계산하면 쉽게 알 수 있습니다. 먼저 둘레의 길이가 같은 한 종류의 다각형 중 넓이가 가장 큰 것은 정다각형이라는 것을 알고 있어야 합니다. 또, 정n각형의 한 변의 길이가 t일 때 정다각형의 넓이를 구하는 공식을 알아야 합니다.

{\displaystyle A={\frac {n}{4}}\cot({\frac {\pi }{n}})t^{2}}

바로 이 공식입니다. 왜 이런 공식이 나올까요? 정n각형은 모든 변의 길이가 같습니다. 따라서 한 변의 길이가 t인 정n각형에 내접하는 원을 그렸을 때, 그 원의 중심에서 각 변의 이등분선에 내린 수선의 길이 h도 모두 같습니다. 자, 내접원의 중심에서 다시 모든 모서리에 선분을 그었을 때, 각 이등변 삼각형의 높이가 바로 h가 될 것입니다.

위 사진에서 알 수 있듯이 한 변의 길이가 t인 정n각형의 넓이 = n    imes \frac{1}{2}th가 됩니다.

그런데 위의 이등변 삼각형에서 꼭지각의 크기 = 360/n이므로 삼각비를 사용해 위의 공식을 유도할 수 있습니다!

 

자, 다시 본문으로 돌아와 각 정다각형의 넓이를 구해봅시다. 둘레의 길이가 30\pi인 정삼각형, 정사각형, 정오각형의 넓이를 위의 공식을 이용해 각각 구해보면

정삼각형 = 약 43.3\pi^{2}

정사각형 = 56.25\pi^{2}

정오각형 = 약 61.92\pi^{2}

원 = 225\pi^{2}

 

넓이를 비교해봤을 때 정삼각형 < 정사각형 < 정오각형 < ... < 원 임을 알 수 있습니다. 즉, 정n각형의 n의 값이 커질수록 같은 둘레의 길이에 대해 넓이가 넓어지는 것입니다.

따라서 건물을 원 모양으로 짓는다면 적은 재료로도 훨씬 더 넓게 지을 수 있겠죠?

하지만 건물을 원 모양으로 짓기는 매우 어렵습니다. 그 이유는 건물의 뼈대를 이루는 철근을 원 모양으로 구부려야 하는 등 건축에 어려움이 따르기 때문입니다.

 

19세기 미국의 건축가 파울러는 위와 같은 이유에서 원 모양이 완벽하다고 생각했습니다. 그러나 원 모양 건물을 지을 수 없었기 때문에 팔각형 모양으로 건물을 지었답니다. 대표적인 건축물로 롱펠로우-헤이스팅스 옥타곤 하우스가 있습니다.

(사진은 앞서 말한 건축물과 관련이 없습니다)

 

<왜 사각형이 되었을까?>

답은 우리 주변만 봐도 금방 찾을 수 있습니다. 책장, 책상, 침대 등 대부분의 가구가 사각형 모양입니다.

왜 하필 사각형 모양일까요? 그 이유는 '테셀레이션'에서 찾을 수 있습니다.

 

일정한 모양의 도형으로 공간을 가득 채우는 것을 '테셀레이션'이라고 합니다.

앞서 말한 대로 원으로 물건을 만들면 둘레에 비해 넓이가 가장 넓지만, 공간을 완전히 채우지 못하고 사이사이 빈 틈이 생기게 돼요.

그렇지만 모든 볼록 사각형은 네 각의 합이 360도이기 때문에 항상 공간을 꽉 채울 수 있습니다.

이제 대부분의 건물이 사각형이 이유를 아시겠나요? 바로 가구를 효율적으로 채우기 위함이라는 사실!

또, 삼각형에 비해 같은 둘레에서 넓이가 더 넓기 때문에 비교적 경제적이기도 합니다.

 

오늘은 우리 주변에 사각형이 특히 더 많이 있는 이유를 알아봤습니다!

아무 이유 없어 보였던 사각형에 이렇게 놀라운 비밀이 숨겨져 있었다는 사실, 알고 계셨나요?

지금까지 집돌이 페렐만 기자였습니다!

 

<오늘의 퀴즈>

학교에 있는 책상은 대부분 사각형 모양입니다. 왜일까요?

수학동아 기자의 한마디
수학동아 기자 2020.05.18
정다각형이 경제적인 이유, 그 중에서도 사각형이 건물 모양으로 적합한 이유를 논리적으로 소개했습니다.

수학을 공부하다보면 당연하다고 생각했던 것들을 다시 보게 되는데 지금이 딱 그런 때가 아닐까요?
이 기사를 읽은 분들은 사각형 건물을 체계적인 고민의 산물로 다시 보게 될 거예요.

다음에도 알차고 재미있는 기사 기대할게요~!
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